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1、数学知识点4五四制初鲁教版初四知识点 鲁东大学商学院经济系 李建鹏 第一章 解直角三角形 一、锐角三角函数 在直角三角形ABC中,a、b、c分别是A、B、C的对边,C为直角。则定义以下运算方式: sin A=A的对边长/斜边长，sin A记为A的正弦；sinA=a/c cos A=A的邻边长/斜边长，cos A记为A的余弦；cosA=b/c tan A=A的对边长/A的邻边长,tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为A的正切 cotA=A的邻边长/A的对边长,cotA=cosA/sinA=b/c cotA记为A的余切 1.sin=对/斜 cos=邻/斜 tan=对/邻 cot=邻
2、/对 2.sinA=cos(90-A) cos A=sin(90-A) tanA=cot(90-A) cotA=tan(90-A) tanAcotA=1 tanA=sinA/cosA sinAcosA 3.增减性(A为锐角) sinA 、tanA随着A的增大而增大,cosA、cotA随着A的增大而减小 4.取值范围:0sinA1,0cosA0,cotA0 二、30,45,60角的三角函数 三角函数 锐角 30 45 60 正弦 sin 122232余弦 cos 3222正切 tan 33余切 cot 3 1 3 1 3312三、解直角三角形及其应用 1.解直角三角形的概念: 在直角三角形的六个
3、元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素。 在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形。 1 2.解直角三角形的依据: (1)三边之间的关系:a2 +b2=c2 (勾股定理) (2)两锐角之间的关系:AB90 (3)边角之间的关系:sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/ b,cot=b/a 3.解直角三角形的原则 (1)有角先求角,无角先求边 (2)有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。 这两句话的意思是:当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法
4、；既可以由已知数据又可由中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据。 4.解直角三角形的应用 (1)把实际问题转化成数学问题,这个转化包括两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系； (2)把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形； (3)仰角和俯角 在进行观察或测量时， 从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角。 第二章 二次函数 一、对函数的再认识 定义:一般地,在一个变化过程中有两个变量,对于自变量x某一范围内的每一
5、个确定值,y都有惟一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数。 强调: 对于函数概念的理解,主要抓住以下三点: 函数不是数,是指在一个变化过程中两个变量之间的关系； 自变量每一个确定值,函数有一个并且只有一个值与之对应； 自变量的取值范围。 函数值的定义:对于自变量在可以取值范围内的一个确定的值函数有惟一确定的对应值,这个对应值叫做当时函数的值,简称函数值。 二、二次函数及其表达式 1.定义:我们把形如y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数。ax叫做二次项,a为二次项系数,bx叫做一次项,b为一次项系数,c为常数项。 注意:二次函数的二次项系数不能为零。因为如果a为0
6、,就没有二次项,也就谈不上什么二次函数! 2.三种表达式: 2(1)一般式:y=ax+bx+c 2(2)顶点式:y=a(x-h)+k,对称轴x=h,顶点坐标是(h,k) (3)交点式:y=(x-x1)(x-x2),与x轴两交点坐标为(x1,0)、(x2,0) 2 223.确定函数的解析式 2一般地,在所给条件中已知顶点坐标时,可设顶点式y=a(x-h)+k,在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可设交点式y=(x-x1)(x-x2)；2在所给的三个条件是任意三点时,可设一般式y=ax+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解。 三、二次函数的图像与性质 二次
7、函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象,是一个轴对称图形,对称轴是直线x=-b/2a 2对于一般式y=ax+bx+c(其中a,b,c是常数,a0),当x=-b/2a时,y最大或最小。即抛物线2顶点坐标为(-b/2a,4ac-b/4a) (1)a决定开口方向:a0开口向上；a0时,开口向上,对称轴左侧(即x-b/2a时),y随x增大而减小；对称轴右侧(x2-b/2a),y随x增大而增大。当x=-b/2a时,有最小值y=4ac-b/4a； 当a0时,开口向下,对称轴左侧(即x0,则-b/2a0)对称轴在y轴左侧 a、b异号(即ab0)对称轴在y轴右侧 b=0对称轴是y轴 (3)c决定抛物
8、线与y轴的交点(与y轴交点的横坐标为0,即x=0,此时纵坐标y=c): c0与y轴正半轴相交 c0与x轴有两个交点 2b-4ac=0与x轴有一个交点 2b-4ac0且b-4ac0(开口向上且与x轴无交点) 22(6)抛物线y=ax+bx+c在x轴下方,即函数y=ax+bx+c(a0)的值永远是负值的条件是 2a0且b-4acr 直线l 和O相切d=r 直线l 和O相交dR+r,公共点0(两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部) (2)外切d=R+r,公共点1(两个圆有唯一公共点,并且除这公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部) (3)相交R-rdR+r公共点2(两个圆有两个公共
9、点) (4)内切d=R-r公共点1(两个圆有唯一公共点,并且除这公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部) (5)内含dR-r公共点0(两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的内部) 注:两圆同心是两圆内含的一种特例； 当两个圆有唯一公共点时,叫做两圆相切(包括外切和内切)。 4.性质 (1)相切两圆的性质:如果两圆相切,切点一定在连心线上； (2)相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦； 证明:经过相交两圆的一个交点,作两圆的公共弦的垂线,则这条直线上被两圆所截得的线段等于圆心距的2倍。 在解决相交两圆的问题时,注意其公共弦和连心线的作用是探求思路的重要手段。 七、弧长与扇形
10、的面积 1.把圆周等分成360份,每一份的弧叫做1的弧；1的弧所对的圆心角叫做1的角。 2.在半径为R的圆中,n的圆心角所对的弧长的计算公式为:l=nR/180 3.如果扇形的半径为R,圆心角为n,那么扇形的面积的计算公式为:S扇形=nR2/360 4.比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式,你能用弧长来表示扇形的面积吗?S=1/2Rl 八、圆锥的侧面积 1.概念:圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴,其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体。斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论转到什么位置,这条斜边都叫做圆锥的母线。另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面。 圆锥有一个顶点和
11、一个底面,底面是一个圆。连结圆锥顶点和底面圆心的线段和圆锥底面垂直,这条线段叫做圆锥的高线。 2.圆锥的基本特征: (1)圆锥的高通过底面的圆心,并且垂直于底面； (2)圆锥的母线长都相等； (3)经过圆锥的高的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形； 6 (4)圆锥的侧面展开图是半径等于母线长、弧长等于圆锥底面周长的扇形。 3.圆锥体展开图由一个扇形(圆锥的侧面)和一个圆(圆锥的底面)组成。此扇形的半径R是圆锥的母线,扇形的弧长是圆锥底面圆的周长 一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3 4.圆锥的侧面积=1/2母线长圆锥底面的周长=圆锥底面半径母线长 5.高(h),底半径(r),母线(l)之间的关系:h2 +r2=l2 (勾股定理得出) 6.圆锥的全面积:圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积) 第四章 统计与概率(略) 7
