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1、构造等差数列解三角题构造等差数列解三角题 祁福元 在三角函数问题中，根据题中的信息，利用等差中项a+c=2b的特征，构造相应的等差数列，可改变问题的原有结构，能沟通三角与代数的相互转化，往往会优化解题思路。 一、利用两个函数的和为定值构造数列 例1. 已知sinq+cosq=15q=，p2,p，则cotq=_。 解：sinq+cosq=115=210 构造数列sinq,110,cosq 设sinq=110-d,cosq=110+d q 由p12,p知10+d0 即d0 -C=p5ppp-d0A=+dpd6 66及知6313=164 所以 所以sinB=sin2d sind=1-=213339=
2、448 112A-C+=-coscosB，求2的值。 例4. 在ABC中，A+C=2B，且cosAcosC 解：因为A+C=2B 所以A+B+C=2B+B=180 所以B=60 所以A+C=120=260 构造数列60+，60，60，则 11+cosAcosC11=+cos(60+a)cos(60-a) 2 化简，得4cosa+2cosa-3=0 =-2cos60060+a180 由060-a180 得-60a60 -2+2+4432=242 所以(60+a)-(60-a)A-Ccos=cos22 所以 cosa=三、变量代换构造数列 =cosa=22 2sinA+2的最小值。 例5. 若A为
3、三角形的一个内角，试求sinA2sinAt+=t=222 解：设sinA 因为A为三角形内角，所以00 2tsinA,2 构造数列sinA22tsinAt=+d,=-d22 设sinA2 tt1+d2,0-d22 则2tt1d2-,d-222 即3d4 两式相加，得t=sinA=2-dt2+d 由2 t2-d2=1 得4 22553t=4d+44+4=,t42 4 所以53t=d=2、4时 因为当2225sinA=2-4 3=14 sinA52p+=A=2最小2 2时，sinA 当 例6. 求y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值。 解：设sinx+cosx=t=2t2 psinx+cosx=2sinx+4 因为 所以t-2,2 tsinx,cosx2 构造数列 ttsinx=-d,cosx=+d22 设 1y=t2+t-d24 于是，t-2,2 -b-1t顶点=-2-212a24 因为 1f(t)=t2+t24 所以-2,2为的增区间，且f(t)最大、d最小时，y有最大值。 所以当t=2、d=0、 即sinx=cosx=22 x=2kp+p(kZ)4 2y最大(2)=4+2=1+22
