柯西中值定理的证明及应用.docx

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1、柯西中值定理的证明及应用湖南科技大学本科生毕业设计 湖南科技大学本科生毕业设计 摘 要 本论文首先讨论了柯西中值定理的四种证明方法；其次对柯西中值定理的应用进行初步探索，列举了其在求极限、不等式与等式的证明等方面的应用. 关键词：柯西中值定理；罗尔定理；达布定理；闭区间套定理 -i- 湖南科技大学本科生毕业设计 -ii- 湖南科技大学本科生毕业设计 ABSTRACT This thesis discussed the first cauchy value of the law of the four types of proof to the second method ； cauchy va

2、lue of the law of the initial application to explore and to its limit, inequalities and the equality that the application. Keywords: Cauchy mean value theorem；Rolle theorem；Daab theorem；Close of the theorem. -iii- 湖南科技大学本科生毕业设计 -iv- 湖南科技大学本科生毕业设计 目 录 第一章 前言 1 第二章 柯西中值定理的证明 2 2.1 利用罗尔定理证明柯西中值定理2 2.2利

3、用闭区间套定理证明柯西中值定理3 2.3利用反证法证明柯西中值定理6 2.4利用达布定理证明柯西中值定理7 第三章 柯西中值定理的应用 10 3.1柯西中值定理在求极限中的应用10 3.2柯西中值定理在证明题中的应用11 3.2.1柯西中值定理在证明不等式中的应用11 3.2.2柯西中值定理在证明等式中的应用12 3.2.3柯西中值定理在证明连续性中的应用14 第四章 总结 16 参考文献 17 致谢18 -v- 湖南科技大学本科生毕业设计 -vi- 湖南科技大学本科生毕业设计 第一章 前 言 微分中值定理是微分学中的一个重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.而柯西中值定理

4、较前两者更具有一般性，其叙述如下： 柯西中值定理1 若f(x)与g(x)在(a,b)上可导，且g(x)0，则在(a,b)内至少存在一点x，使 f(b)-f(a)f(x) (1) =g(b)-g(a)g(x)其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题.本文主要讲解了证明柯西中值定理的四种方法及其应用，这些方法的探讨有利于更好的掌握微分学知识，熟练的运用相关的知识解决实际问题. - 1 - 湖南科技大学本科生毕业设计 - 2 - 湖南科技大学本科生毕业设计 第二章 柯西中值定理的证明 本章主要讲解了柯西中值定理的四种证明方法：利用构造辅助函数，根据罗尔定理证明；利用闭区间套定理证明；借助引理，并应

5、用反证法证明；用达布定理和反证法证明. 2.1 利用罗尔定理证明柯西中值定理 罗尔定理2 设函数在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)上可导，而且在两端点处函数f(x)的值相等(f(a)=f(b)，那么在开区间(a,b)上至少有一点c，使得f(x)在这点的导数等于零(f(c)=0). 证明 设M和m分别是f(x)在区间a,b上的最大值和最小值.由于f(x)在a,b上是连续的，所以f(x)的最大值和最小值是存在的.如果等式M=m=f(a)成立，那么对于一切xa,b都有f(x)=0.如果M=f(a)和m=f(a)不能同时成立，那么M和m这两个数中间至少有一个不等于数f(a)，为了确切起见，设M是

6、这样的数.于是，在开区间(a,b)的某点c，函数f(x)达到闭区间a,b上的最大值，因而在这点f(x)同时有局部极大值。因为在点c的导数f(c)存在，所以根据费尔马定理，它等于零.mf(a)的情况可以类似的讨论. 下面证明柯西中值定理 证明 引入函数 F(x)=g(b)-g(a)f(x)-f(b)-f(a)g(x) 这个函数在a,b上显然是连续的，而且在开区间(a,b)上有导数.此外，F(a)=F(b).因此根据罗尔定理可以找到这样的点c(a,b)，使得，F(c)=0，即 g(b)-g(a)f(c)=f(b)-f(a)g(c) (2) 数f(c)0，否则的话，由于f(b)-f(a)0，就应该有

7、g(c)=0.但是根- 3 - 湖南科技大学本科生毕业设计 据已知条件.f(c)和g(c)不同时等于零，因此，积f(b)-f(a)f(c)0，用它除等式(2)的右边，即得所证. 2.2利用闭区间套定理证明柯西中值定理 证明思路 由图1，若A、B分别表示点(g(a),f(a),(g(b),f(b)，由柯西中值定理条件，应有一族平行于AB的弦A1B1,A2B2,.它们运动的极限位置就是曲线y=f(x)在点C(g(x),f(x)的切线yOg(a)g(x)g(b)x图1 闭区间套示意图首先介绍三个引理 引理1 设函数f(x)在a,b上有定义，且在x0(a,b)处可导，又an,bn为一闭区间套，且lim

8、an=limbn=x0，则f(x)=limnnnf(bn)-f(an). bn-an证明 由于f(x)在a,b上连续，在x0(a,b)处可导，且 aanbnb,liman=limbn=x0, nn- 4 - 湖南科技大学本科生毕业设计 故 f(bn)-f(an)limnbn-anf(bn)-f(x0)f(x0)-f(an)=lim+limnnbn-anbn-anf(bn)-f(x0)bn-x0f(x0)-f(an)x0-an =lim+limnbn-xobn-annx0-anbn-anb-xx-an=f(x0)limn0+lim0nb-anb-annnn=f(xo)即等式f(x0)=limnf

9、(bn)-f(an)成立2. bn-an引理23 设函数f(x)在a,b上连续，则存在a1,b1a,b，且b1-a1=f(b)-f(a1)f(b)-f(a)1. =(b-a)，使得12b1-a1b-a+(f)b1211-a-fx-证明 作辅助函数F(x)=fx+(b)()22a+b上连续. F(x)在a,2，显然(f)a(1)若F(a)=0,则令a1=a,b1=a+ba+ba+b=0,则令a=,b1=b; ;若F1222a+b若F(a)=F=0,则以上两种情况中任取其一确定a1,b1. 2(2)若F(a)0，则F(a)+Fa+ba+b=0,FaF().g(x)g(b)-g(a)g(x)g(b)

10、-g(a)f(x)-fxf(x)-f(x)f(x)f(b)-f(a)x-x=lim=由于lim， xxg(x)-f(x)xxg(x)-g(x)g(x)g(b)-g(a)x-x所以存在u0(x,d)(0xg(x)-g(x)g(b)-g(a)由liman=limbn=x知，存在正整数m,使am,bmu0(x,d)，且有 uuf(bm)-f(x)f(b)-f(a).g(bm)-f(x)g(b)-g(a)(3)由(2)式得 f(b(x)m)-fg(b(x)m)-g-(f)a(f)b， (4) g)b-(g)a(-(f)a(f)b。 (5) g)b-(g)a(f(x)-f(am) g(x)-g(a)m因

11、为g(x)0，不妨g(x)0,又amxbm，所以g(am)g(x)g(bm)-g(x),g(b)-g(a)f(x)-f(am)(6) f(b)-f(a)g(x)-g(am). (7) g(b)-g(a)f(b)-f(a)将，两式两边相加，得f(bm)-f(am)g(bm)-g(x), g(b)-g(a)即 f(bm)-f(am)f(b)-f(a). g(bm)-g(am)g(b)-g(a)这与式矛盾. 同理可证 f(x)f(b)-(f)a 不成立. g(x)g(bg)a)-(f(x)f(x)f(b)-f(a)又由于存在，所以=. g(x)g(x)g(b)-g(a)2.4 利用达布定理证明柯西中

12、值定理 达布定理4 设f(x)在(a,b)上连续可导， - 8 - 湖南科技大学本科生毕业设计 (1)当点x1,x2(a,b),且f(x1)f(x2)0(0)，对一切x(a,b)则f(x)在(a,b)内严格单增(减). 证明 任取(a,b)中的两点a1,b1,不妨设a10,xa1,b1. 由导数的定义和极限的保号性定理可知，存在x的某dx邻域(x-dx,x+dx)(a,b)，使得当t(x-dx,x)时f(t)f(x)。现因f(a1)0及f(b1)0，总可以找到较小的正数d0，使得 f(t)f(a1),t(a1,a1+d0)，且f(t)f(b1),t(b1-d0,b1)， 如果(a1,a1+d0

13、)(b1-d0,b1)， 现取其交集的一x,则有f(a1)f(x)f(b1)，从而有f(a1)f(b1). 否则有a1+d00，从而均可找到该点x的某dx邻域(不妨设dxd0)，使得在其左邻域t(f(x-dx,x)内的点t有f()，x在其右邻域的(x,x+dx)内的t均有f(x)f()t. 易知邻域族(x-d,x+dxx)xa1+d0,b1-d0覆盖了a1+d0,b1-d0利用闭区间的有限覆盖定理知，存在a1+d0,b1-d0的有限覆盖，不妨设其分别为(xj-dj,xj+dj),j=1,2,k且x1x2xk，通过删除多余的邻域后，可使其两两相交，而互不包含， 取x1(a1,a1+d0)(x1-

14、d1,x1),xj(xj-1,xj-1+dj-1)(xj-dj,xj)- 9 - ，湖南科技大学本科生毕业设计 j=2,3,k,xk(xk,xk+dk)(b1-d0,b1). 则由前述xj的dj邻域选取的规则可得 f(a1)f(x1)f(x1)f(x2)f(x2)f(xk-1)f(xk)f(xk)f(xk-1)f(b1),从而也有f(a1)f(b1). 综上知，对(a,b)中的任意两点a1,b1,当a1b1时均有f(a1)f(b1)所以函数f(x)在(a,b)内严格单增. 由上已证得的结论易知当f(x)0,x(a,b)，要么F(x)0，x(a,b)，则由引理5易知F(x)在(a,b)内严格单调

15、，从而在(a,b)上严格单增(因F(x)在a,b上连续).从而F(a)0,$Xo,当xX时，有f(x)+f(x)X,在X,x上应用柯西中值定理，得 - 11 - 湖南科技大学本科生毕业设计 F(x)-F(X)F(x)=,x(X,x), g(x)-g(X)g(x)即 f(x)-f(x)eX-xf(x)ex-f(x)ex=f(x)+f(x) 1-eX-xex-eX或 f(x)f(X)eX-x+f(x)+f(x)(1+eX-x). 由于limeX-x=0.所以$X1X，当xX1时，有eX-xe和eX-xX1,使 f(x)f(x)e+2e=f(X)+2e， ()即 limf(x)=0. x3.2柯西中

16、值定理在证明题中的应用 利用柯西中值定理能够解决很多证明题，这方面的文献已经很多.下面仅仅介绍柯西中值定理在证明不等式、等式及单调性这三个方面的应用. 3.2.1 柯西中值定理在证明不等式中的应用 例1 设函数f在(-1,1)内可微，f(0)=0,f(x)=1,证明：在(-1.1)内，f(x)1+x2(x0). ()- 12 - 湖南科技大学本科生毕业设计 证明 令f(x)=xlnx+1+x2,g(x)=1+x2-1,则上式转化为f(x)g(x)(x0).()由于f(0)=0,g(0)=0,对f(x)和g(x)在0，x上应用柯西中值定理，得 f(x)f(x)-f(0)f(x)=,g(x)g(x

17、)-g(0)g(x)于是f(x)g(x)又转化为f(x)g(x).因为 2f(x)lnx+x+1+x=g(x)x1+x2()1+x2=1+1+x2lnx+1+x2(x) 1而当xx0时，1+x2lnx+1+x20,所以 x()f(x)1f(x)g(x)f(x)g(x), g(x)即 1+xlnx+1+x21+x2.例35 若0x1x2(cosx1-cosx2)ex1. x1ex2-ex1证明 证明e-e(cosx1-cosx2)e，实际上只需证ex1， cosx1-cosx2设f(t)=et,g(t)=cost,则f(t),g(t)在x1,x2上，满足柯西中值定理条件，所以f(x2)-f(x1

18、)f(c) c(x1,x2). =g(x2)-g(x1)g(c)ex2-ex1eep即 0x1cx2(cosx1-cosx2)ec(cosx1-cosx2)ex1. sinc其中用到 11及ex是单调增加函数. sinc- 13 - 湖南科技大学本科生毕业设计 3.2.2柯西中值定理在证明等式中的应用 例16 设函数j(x)在x1,x2上可导，且x1x20,证明：存在x(x1,x2),使 x21x1=j(x)-xj(x). x1-x2j(x1)j(x2)证明 引入辅助函数f(x)=j(x)1,g(x)=.因为x1x20,所以在x1,x2上不xx含x=0的点.显然，f(x),g(x)满足柯西中值

19、定理条件，故$x(x1,x2)，使f(x2)-f(x1)f(x)=, x2-x1g(x)即 j(x2)j(x1)xj(x)-j(x)-x2x1x2 =. 21x2-1x1-1x于是 x21x1 =j(x)-xj(x). x1-x2j(x1)j(x2)引入辅助函数的方法通常是：将所证结论变形，分析变形后的等式或不等式找出恰当的函数.较简单的情形，可直接选等式或不等式的一部分作为辅助函数，或将式子的一边移到另一边作为辅助函数.本例就是将欲证等式左边变形为 x2j(x1)j(x2)1x1=-x2x1-x2j(x1)j(x2)x111x-x, 12j(x)1,g(x)=. 从而找出辅助函数f(x)=x

20、x例25 设函数f在a,b上连续，在(a,b)内可导，证明：$x1,x2x3(a,b)，使 f(x1)=(b+a)f(x2)f(x3)=(b2+ab+a2). 22x23x3证明 因为f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理条件，故$x1(a,b),使 - 14 - 湖南科技大学本科生毕业设计 f(x1)=f(b)-f(a). (1) b-a又令g(x)=x2,h(x)=x3.对f(x)与g(x)及f(x)与h(x)分别在a,b上应用柯西中值定理，得 f(b)-f(a)f(x2)f(b)-f(a)f(x2)，x2(a,b), =g(b)-g(a)g(x2)b2-a22x2f(b)-f(a)f(x

21、3)f(b)-f(a)f(x3)=,x3(a,b)， 332h(b)-h(a)h(x3)b-a3x3f(b)-f(a)f(x2)=(b+a)b-a2x2f(b)-f(a)=b2+ab+a2f(x3)()3x2b-a3 (2) (3) 比较式(1)，式(2)，式(3)知，$x1,x2,x3(a,b),使 f(x1)=(b+a)f(x2)22f(x3)=(b+ab+a). 22x23x3例33 设函数f(x)ca,b且在(a,b)内可导，证明：$c(a,b)，使得222cf(b)-f(a)=(b-a)f(c)其中a0. 证明 只须证f(b)-f(a)f(c)=.令g(x)=x2，则f(x),g(x

22、)满足柯西中22b-a2c值定理条件，所以$c(a,b)，使由此可知，原结论成立. f(b)-f(a)f(c)f(b)-f(a)f(c) =即=g(b)-g(a)g(c)b2-a22c从以上的例子中，我们可以看到，在用柯西中值定理解题时，关键是要对结果进行整理变形的基础上，找出满足柯西中值定理的那两个函数. 综上可知，柯西中值定理是借助于导数这个局部性概念来研究函数在区间上的整体形态的重要基本定理，且它有着广泛的应用性，因此我们应该好好地理解它. 3.2.3 柯西中值定理在证明连续性中的应用 xf(x)存在且有限,试证f(x)在例7 设f(x)在(0,a上可导,且lim+n0- 15 - 湖南

23、科技大学本科生毕业设计 (0,a上一致连续. f(x)存在且有限.e0, 证明 只要证lim+n0xf(x)=1,则$d00(d0a),x:0xd0,有设lim+n0xf(x)-10,$d00(dd0),z,z:0zd,0zd 有z-ze,于是x,x:0xd,0xd有 21+1f(x)-f(x)=2hf(h)2(1+1)x-xe21+1=ef(x)存在且有限,令 其中h在x与x之间,由柯西收敛原理知,lim+n0x=0f(0+0) F(x)=0xaf(x)易知F(x)在0,a上连续,在(0,a)内可导.故F(x)在0,a上一致连续,从而F(x)在(0,a上一致连续,即f(x)在(0,a上一致连

24、续. - 16 - 湖南科技大学本科生毕业设计 第四章 总结 柯西中值定理的证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题，本文主要讲解了微分中值定理柯西中值定理的证明及其应用，在柯西中值定理的证明方面，从多角度全方位的介绍了柯西中值定理的四种证明方法，其中有利用构造辅助函数，根据罗尔定理证明；利用闭区间套定理证明；借助引理，并应用反证法证明；用达布定理和反证法证明，使柯西中值定理更好的被认识、学习在柯西中值定理的应用方面主要列举了柯西中值定理在四个方面的应用，其中有求极限、证明不等式、证明等式以及证明连续性，通过柯西中值定理的应用，使大家能够利用柯西中值定理定理解决实际问题.证明柯西中值定理的证明

25、方法中有很多的证明方法在微分中值定理的其它定理证明中也有一定的借鉴作用. - 17 - 湖南科技大学本科生毕业设计 - 18 - 湖南科技大学本科生毕业设计 参考文献 1华东师范大学数学系编.数学分析(上册)M,北京:高等教育出版社. 2张树义.Cauchy中值定理的又一证明J,南都:南都学坛.1997, 17: 23-26. 3葛健牙,张跃平,沈利红.再探柯西中值定理J,浙江:金华职业技术学院学报.2007,4: 81-85. 4钟朝艳，Cauchy中值定理与Taylor定理得新证明J，云南:曲靖师专学报，1998,3: 83-86 . 5高崚峰.应用微分中值定理时构造辅助函数的三种方法J,

26、四川:成都纺织高等专科学校学报，2007,2: 65-69. 6张太忠，黄星，朱建国.微分中值定理应用的新研究J,江苏:南京工业职业技术学院学报.2007,4: 76-78. 7荆天.柯西中值定理的证明及应用J,北京:科技信息(学术版).2008,27: 91-93. 8姚正安，瞿连林.数学分析方法论M,北京:北京农业大学出版社.1992. - 19 - 湖南科技大学本科生毕业设计 - 20 - 湖南科技大学本科生毕业设计 致 谢 从论文选题到搜集资料，从提纲的完成到正文的反复修改，我经历了喜悦、聒噪、痛苦和彷徨，在写作论文的过程中，心情是如此复杂。如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心

27、情烟消云散，自己甚至还有一点成就感。 论文的顺利完成首先最需要感谢我的指导老师吕胜祥老师本文从开题到定稿都倾注了老师的心血，耗费了大量的时间与精力本论文自始至终都是在老师的悉心指导下完成的老师时时关心我所写论文的进程，不仅为我提供了许多宝贵意见，而且不顾工作的辛劳，经常抽出时间与我探讨所遇到的各种问题老师严谨的治学态度、渊博的专业知识、精益求精的工作作风和平易近人的人格魅力对我影响深远，为我以后的学术道路打下了坚实的基础老师的谆谆教导、耐心教诲都给了我深深的启迪在此向他表示衷心的感谢 其次我还要感谢帮助我的老师和同学，感谢他们能为我提供一些论文资料和参考数据的寻找途径，感谢他们能及时通知我关于论文完成过程中指导老师提出的各项要求，使我能按时完成 同时衷心感谢在百忙之中抽出时间给我评阅论文和参加答辩的老师！ 学生签名： 日 期： 年 月 - 21 -