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1、根的分布教案一元二次方程根的分布 汤丽娅 一、教材及学情分析 二次函数是重要的初等函数类型，一元二次方程是初中阶段学习的一个重要内容，含参的一元二次方程根的分布实际上是综合应用一元二次方程根与系数的关系、二次函数的基本性质、分类讨论思想、数形结合思想等思想方法来解决的一类专题性内容，是基于人教版九年级二次函数与人教版A版高中教材必修1第二章函数的基本性质的一节专题教学或研究性学习。本节教学结合解一元二次方程及根与系数的关系、二次函数的性质、函数的基本性质，是初等函数思想方法，特别是数形结合思想应用的典型。虽然教材并没有单独成节，但教材中却处处渗透着这一内容。一元二次方程根的分布问题是二次函数性
2、质的集中体现，是对函数的基本思想方法的巩固和提升，是难得的好素材。本节教学内容是在学生初中已初步探讨学习了正比例函数、反比例函数、一次函数等简单函数，高中探讨了集合工具和函数的基本性质的基础上重新回到一元二次方程根的问题上，学生既能提升对函数、方程等知识的认识，又能提升对分类讨论、数形结合、转化等数学思想的认识，提高解决问题的能力，巩固、完善学生的函数知识、方法体系。 二、教学目标 1、知识与能力目标：加深对一元二次方程、二次函数的认识；利用函数知识、方法重新审视一元二次方程更本质的规律；会熟练利用二次函数的图象性质解决一元二次方程根的分布问题。 2、过程与方法目标：经历观察、归纳、概括等数学
3、活动过程，获得一元二次方程根的分布与系数的重新夺得关系的条件限制；通过运算获得具体、简洁的数量关系；通过创造性思维提出新的问题并尝试通过合作、交流解决所提出的新问题；并会运用规律解决综合问题，并对此进行反思、推广。 3、情感态度与价值观目标：体会二次函数乃至函数知识、思想的丰富多彩；能积极参与数学学习活动，体验数学学习充满着的探索性和创造性，锻炼克服困难的意志，建立自信；培养对知识的科学态度和辩证唯物主义观点。 三、重难点分析 重点：一元二次方程根的分布的函数解法 难点：利用换元法将不熟悉的方程转化为一元二次方程 四、教法与教具设计 教法：采用高中数学“问题解决”教学方法：创设问题情境发现问题
4、探索问题解决问题发现问题探索问题 ；采用多媒体演示，提高效率；师生互动，活跃课堂气氛。 教具：PPT 五、教学过程设计 教学环节 一 创 2过程设计 问题一 师生活动及设计意图 师在黑板上依次写下 5x2、4x、3是什么式子？将这三个式子相加又会三个式子，回顾简单得到什么?在相加后的式子再添上“=0”，就会变成我们熟悉的一元二次方程，请问一元二次方程的一般表达式是，且要注意什么？ 答：单项式，多项式，ax2+bx+c=0(a0) 的知识，使学生获得成功感。 回顾韦达定理，为下面例题讲解奠定基础 问题二 若一元二次方程有两个实根，则两个根如何用系数表示？描述两根之间关系的韦达定理是？ 答：x1,
5、2= 设 情 境 bc-bb-4ac，x1+x2=-，x1x2= aa2a问题三、解一元二次方程： 1、x-6x+8=0 x1=2,x2=4 2、x-5x-1=0 x1,2=22巩固韦达定理，在第二个方程不能运用十字相乘法，使学生自然想到求根公式，为问题四作铺垫。 529 2 揭 示 课 题 问题四：求证方程3456x2-3458x+1=0 在区间(-2,2)上有实数根？ 思考： 2学生在探究问题四遇1、3456x-3458x+1=0与y=3456x-3458x+1 到困难，激发学习新有什么联系？ 2、若a是方程3456x-3458x+1=0的根，则函数值22知的兴趣，继而引出这节课的内容。
6、f(a)=? 3、求方程的根是否可以转化为函数图象与x轴交点得问题？ 总结：求一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的分布问题可以转化为函数f(x)=ax2+bx+c图象与x轴交点位置的问题，并指出下面讨论一般情况时只考虑a0时的情况。 二 例 题 讲 解 探 究 例1 若关于x的方程x2-5x+m=0有两个正根， 则实数m的取值范围是_. 解： 由题意得： 在例题中总结，从特殊到一般。 D=b2-4ac025-4m025 0050 4m0xx012 y 2.5 x令f(x)=x2-5x+m m D0b525=00000 一 元 二 次 方 程 根 的 分 布 规 律 方法总结： D=b2
7、-4ac0 有两个正根x1+x20 xx012 D0 b x=-02a f(0)0例2中要考虑二次项2例2 若关于x的二次方程(k-2)x-(3k+6)x+6k=0系数的正负，使学生有两个负根，则实数k的取值范围是_. 形成分类讨论的思解： 想，提高数形结合的由题意得 能力。 D=(3k+6)2-4(k-2)6k0D03k+6 0x1+x2012 6k0k-22-k0D0 bx=-0y 0 x k-20D0或 bx=-02af(0)0y -k0 250 x D=b2-4ac0方法总结：有两个负根x1+x2012在总结完前两种情况后，让学生自己归纳根出现一正一负的情况，回归让学生自主探索问题。
8、D0bx=-0 D0有一个正根一个负根 x1x20f(0)0)的两个例3与上述意图一致，实根，k,k1,k2为常数，试在下表中画出对应的函通过让学生到黑板书数图象，填上对应的等价条件： 当x1x20b等价条件：-0当kx10b等价条件：-k 2af(k)0当x1k1k20等价条件：f(k1)0 f(k)02y x1k1k20 x2x 当k1x1x20bk-0f(k)02 0 x 三 练习：已知关于x的一元二次方程2ax22x3a 应 用 新 知 体 验 成 功 20的一个根大于1，另一个根在0与1之间，及时巩固新知，为下求a的取值范围 一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内； 有一个根大于1，另一个根小于1； 两个根都大于2. 四 思 考 中 完 善 知 识 体 系 思考题： 面思考题作铺垫 若方程4x+(k-1)2x+k+2=0有一个正根和负根， 求k的取值范围。 解： 令t=2，则t(0,+) 原方程化为t2+(k-1)t+k+2=0有一个t1=2x1和一个0t2=2x0由此得 -2k-1 f(1)0x+x0x=-2a正xx0 根 f(0)0 两 2 例2 思考题 21212个负根一正一负D=b-4ac0x1+x2012D0b0xx0f(0)0
