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1、椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2aF1.F2)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=c(0e1)的动点M的轨a迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e是椭圆的离心率. FF注意：当平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数2a(2a=F1.F2)的点的轨迹是线段12; 当平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数2a(2ab
2、0) a2b2MF1y2x2+=1(ab0) a2b2MF1F2图形 F2范围 对称性 顶点 离心率 焦点 焦距 长轴长 短轴长 准线方程 -axa,-byb -aya,-bxb 关于原点对称 x轴和y轴是椭圆的对称轴 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) e=(c,0),(-c,0) (b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a) c(0,1) a(0,c),(0,-c) F1F2=2c 2a 2b x=a2ca2y= cd=2b2a通径 二 典型练习 x2y2+=1的长轴位于 轴，长轴长等于 ；短轴位于 轴，短轴长等于 ；焦点在 轴上,焦点坐标1.椭圆43分别是 和 ；离
3、心率e= ；左顶点坐标是 ;下顶点坐标是 ；椭圆上点的横坐标的范围 是 ，纵坐标的范围是 ；x0+y0的取值范围是 。 2.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的3倍,则椭圆的离心率 若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍,则椭圆的离心率e 若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率e= 。 考点四 点、线与椭圆的位置关系 2 x2y2一 点p(x0,y0)和椭圆2+2=1(ab0)的位置关系 abx02y02点p(x0,y0)在椭圆外2+21abx02y02点p(x0,y0)在椭圆内2+20;直线与椭圆相切D=0;直线与椭圆相离Db0),左右两
4、焦点分别为F1,F2,在焦点PF1F2中，则 abSDF1PF2=btan2q2 若F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点 cosq1-2e. 2x2y20例 已知椭圆2+2=1(ab0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使得F1PF2=120, 求椭圆ab的离心率e的取值范围。 练习 已知椭圆的焦点是F1 (1，0)、F2 (1，0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项 求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且PF1F2120求tanF2PF 考点六 椭圆标准方程的求法 一 常用方法： 1定义法， 2待定系数法 步骤 定位：确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上；设方程
5、：根据焦点位置设出相应方程； 定值：根据题目条件确定相关的系数。 3当椭圆过两定点时，其标准方程可设为mx+ny=1(m0，n0)， 二 应用示例 1定义法 例1 已知ABC的顶点B，C的坐标分别为(-3，0)(30)，AB边上的中线CE与AC边上的中线BF 交于点G，且GF+GE=5，求点G的轨迹方程 例2求到两定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离和等于10的点的轨迹方程 练习1已知B,C是两个定点BC长等于8，且ABC的周长等于20，求顶点A的轨迹方程 2已知ABC三边AB,BC,CA的长成等差数列，且AB长大于CA长，点B,C的坐标为，求顶 点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线 4
6、22x2y2=1(a5)的两个焦点为F1,F2,且F1F2=8，弦AB过点F1，则ABF2 的周长 3 已知椭圆2+a254 椭圆的两个焦点是(-6,0),(6,0)，过点(6,1），求椭圆的方程。 2待定系数法 例 已知椭圆的焦距离为26且过点(3，2)，求焦点在x轴上时的标准方程 3轨迹法 例ABC的顶点A,B的坐标分别为，边AC,BC所在直线的斜率之积等于-并说明其轨迹是什么曲线； 三 典型练习 练习1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10； 两个焦点的坐标分别是、，并且椭圆经过点(-,)； 长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A
7、 练习2.已知点P(3, 4)是椭圆x2a29，求顶点C的轨迹方程，163522+y2b21 (ab0) 上的一点，F1,F2是它的两焦点，若PF1PF2，求 (1) 椭圆的方程(2) F2PF1的面积 1x2y23根据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆+=1共准线，且离心率为(2) 已知P点在以坐标轴为对称22420轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 425和5，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 33考点七 椭圆定义与性质的应用 一 定义的运用 二 椭圆的几何性质应用 x2y2+=1，求画出草图焦点，焦距顶点，长轴的长，短轴的长，1、基础知识 例 对椭圆259离心率，左右准线方程
8、，P是椭圆上动点，则P到左焦点的距离最值. 练习 求椭圆的标准方程长轴是短轴的2倍，经过点一个焦点为，经过点一个焦点为(2,0)，一条准线方程为x=-4长轴在x轴上，一条准线方程是x=3，离心率为5 5 32离心率 方法：求椭圆离心率e时，只要求出a,b,c的一个齐次方程，再结合a=b+c就可求得e(0eb0)上的两个顶点，F是右焦点，若ABBF，求椭圆的离心率。 abx2y2练习1 设已知椭圆2+2=1(ab0)的右焦点为F, 右准线为l. 若过F且垂直于x轴的弦长等于点F到l的距ab离, 求此椭圆的离心率. 2已知长方形ABCD，AB4，BC3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率 3(全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F1,F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_4 已知椭圆x+(m+3)y=m(m0)的离心率e=223，求m的值 2PF1F2的面积；若不存在，说明理由 6
