概率与数理统计历届考研真题.docx

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1、概率与数理统计历届考研真题概率与数理统计历届真题 第一章 随机事件和概率 数学一： 15 设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=，P=P=P0,P(A|B)=1，则必有 P(AB)P(A). P(AB)=P(A). P(AB)P(B). P(AB)=P(B). 数学三： 19 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件“电炉断电”，而T(1)T(2)T(3)T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于 T(1)t0 T(3)t0 T(2)t0 T(4)t0 20 将一枚硬

2、币独立地掷两次，引进事件：A1=掷第一次出现正面，A2=掷第二次出现正面，A3=正、反面各出现一次，A4=正面出现两次，则事件 A1,A2,A3相互独立。 A1,A2,A3两两独立。 A2,A3,A4相互独立。 A2,A3,A4两两独立。 1 第二章 随机变量及其分布 数学一： 7 设随机变量X服从正态分布N(m,s2)(s0)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为。 1，则m= 28 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的a(0aua=a，若PXx=a，则x等于 (A) ua. (B) u21-a2. (C) u1-a . (D) u1-a . 229 设随机变量X服从正态分布

3、N(m1,s12)，Y服从正态分布N(m2,s2)，且 P|X-m1|P|Y-m2|1, s1s2. m1s2. m1m2. 13,f(x)=2,90,若x0,1若x3,6 其他2,则k的取值范围是 3。 若k使得PXk=15 设随机变量X的概率密度为 132,3xf(x)=0,若x1,8其他F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数. 16 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的(0,1), 数u满足PXu=, 若2 P|X|x=, 则x等于 (A) u. (B) u21-2. (C) u1-. (D) u1-. 22217 设随机变量X服从正态分布Nm1,s1,随机

4、变量Y服从正态分布Nm2,s2,且()()PX-m1PY-m21,则必有 ( ) (A)(B) (C) (D) s1s2 m1m2 第三章 二维随机变量及其分布 数学一： 9 设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度 分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则 f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度； f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度； F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数； F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数。 10 设二维随机变量的概率密度为 6x,0xy1 f(x,y)=其他0则PX+Y1=

5、 。 11 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，X中任取一个数，记为Y，则PY=2= . 12 设二维随机变量的概率分布为 Y X 0 1 0 1 0.4 b a 0.1 3 已知随机事件X=0与X+Y=1互相独立，则 a=0.2, b=0.3 a=0.4, b=0.1 a=0.3, b=0.2 a=0.1, b=0.4 13 设二维随机变量的概率密度为 1,0x1,0y2x, f(x,y)=其他0, 求：的边缘概率密度fX(x),fY(y); 14设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布，则PmaxX,Y1= . Z=2XY的概率密度fZ(z). 12,-1x0

6、1215随机变量x的概率密度为fx(x)=,0x2令y=x,F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函40,其他数. ()求Y的概率密度fY(y) ()F- 数学三： 1,4 29 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G=(x,y:1x3,2y3上的均匀分布。试求随机变量U=|X-Y|的概率密度p(u)。 110 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为X0.3而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。 2 0.74 11从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，X中任取一个数，记为Y，则PY=2= . 12 设二维随机变量的概率分布为 Y X 0 0 1 1 a

7、 0.1 0.4 b 若随机事件X=0与X+Y=1互相独立，则a =_, b =_. 13 设二维随机变量的概率密度为 1,0x1,0y2x, f(x,y)=0,其他. 求：(X,Y) 的边缘概率密度fX(x),fY(y); Z=2X-Y的概率密度fZ(z); PY11X. 2214 设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上的均匀分布,则Pmax(X,Y)1=_ 第四章 随机变量的数字特征 数学一： 15 设二维随机变量服从二维正态分布，则随机变量x=X+Y与h=X-Y不相关的充分必要条件为 E(X)=E(Y) E(X)-E(X)=E(Y)-E(Y) E(X)=E(Y) 2222225

8、E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2 16 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0pDX= . 21n21 设随机变量X1,X2,L,Xn(n1)独立同分布，且其方差为s0. 令Y=Xi，则 ni=1(A) Cov(X1,Y)=(C) D(X1+Y)=s2n. (B) Cov(X1,Y)=s2. n+22n+12s. (D) D(X1-Y)=s. nn22 设A,B为随机事件，且P(A)=111,P(BA)=,P(AB)=，令 432,1,A发生1,B发生, X= Y= 0,0,A不发生;B不发生.求：二维随机变量(X,Y)的概率分布； X和Y的相关系数rXY. 6 数学三： 1

9、5 设随机变量X在区间-1，2上服从均匀分布，随机变量 1,Y=0,-1,则方差DY= 。 16 设A，B是二随机事件，随机变量 若X0若X=0 若X-1试求X和Y的联合概率分布； 7 -1,若U1 Y=1,若U1 D。 20设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)。 21 设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数为 。 22 设随机变量X服从参数为的指数分布, 则PX23 设A，B为两个随机事件,且P(

10、A)=DX= . 111, P(B|A)=, P(A|B)=, 令 432A发生，1,1,B发生， Y= X=0，A不发生，0，B不发生.求 () 二维随机变量(X,Y)的概率分布; () X与Y的相关系数 XY; () Z=X+Y的概率分布. 24设随机变量X的概率密度为 2212,-1x01fx(x)=,0x0)，从该总体中抽取简单随机样本X1,X2,L,X2n(n2)，其样本n12n2的均值X=求统计量的数学期望E。 X,Y=(X+X-2X)in+ii2ni=1i=13 设随机变量Xt(n)(n1),Y=Yx(b) YF(n,1) 21，则 2X2Yx(n-1) YF(1,n) 4 设X

11、1,X2,L，Xn(n2)为来自总体N的简单随机样本，X 为样本均值，S2为样本方差，则 1）nXNnS2c2(n) F(1,n-1) (n-1)Xt(n-1) S(n-1)X12Xi=2n2i9 5设X1,X2,L,Xn(n2)为来自总体N的简单随机样本，X为样本均值，记Yi=Xi-X,i=1,2,L,n. 求：Yi的方差DYi,i=1,2,L,n; Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn). 数学三： 5 设总体XN，而X1,X2,L,X15是来自总体X的简单随机样本，则随机变量 2X12+L+X10 Y=222(X11+L+X15服从 分布，参数为 。 6 设随机变量X和Y都服从标准正态分

12、布，则 X+Y服从正态分布。 X2+Y2服从x2分布。 X2和Y2都服从x2分布。 X2 / Y2服从F分布。 7 设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,LXn为来自总体X的简单随机样本，则当。 12n时，Yn=Xi依概率收敛于 ni=18 设总体X服从正态分布N(1,), 总体Y服从正态分布N(2,), 22X1,X2,LXn1和 Y1,Y2,LYn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则 22n2n1(Xi-X)+(Yj-Y)j=1i=1= . En1+n2-29 设总体X的概率密度为f(x)=本方差S,则ES=_ 221-xe(-xq xq其中0为未知参数。又设x1,x2,L,x

13、n是X的一组样本观测值，求参数的最大似然估计值。 4 设总体X的概率分别为 X0pq2其中是未知参数，利用总体X的如下样本值 23， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3 求的矩估计值和最大似然估计值。 5 已知一批零件的长度X服从正态分布N(m,1)，从中随机地抽取16个零件，得到。 长度的平均值为40cm，则m的置信度为0.95 的置信区间是 ,F(1.645)=0.95） 设总体X的概率密度为 2e-2(x-q)f(x)=0,xq xq其中0是未知参数，从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,L,Xn，记q=min。 求总体X 的分布函数F； 求统计量q的分布函数F(x)； q如果用q作

14、为的估计量，讨论它是否具有无偏性。 11 7 设总体X的分布函数为 11-b,x1, F(x,b)= xx1,0,其中未知参数b1,X1,X2,L,Xn为来自总体X的简单随机样本，求： b的矩估计量； b的最大似然估计量. 8 设总体X的概率密度为 0x1qF(X,0)=1-q1x2其中q是未知参数(0q1), 0其它X1,X2.,Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2.,xn中小于1的个数,求q的最大似然估计. 数学三： 5 设0.51, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X的简单随机样本值。已知Y=lnX服从正态分布N(m,1)。 求X的数学期望EX； 求的置信度为

15、0.95的置信区间； 利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。 6 设总体X的概率密度为 e-(x-q),若xq f(x;q)=若x， F(x,)=1-x0，x，12 其中参数0,1. 设X1,X2,L,Xn为来自总体X的简单随机样本, () 当=1时, 求未知参数的矩估计量; () 当=1时, 求未知参数的最大似然估计量; () 当=2时, 求未知参数的最大似然估计量. 8 设一批零件的长度服从正态分布N(m,s2)，其中m,s2均未知。现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x=20(cm)，样本标准差s=1(cm)，则m的置信度为0.90的置信区间是 11t0.05(16),20+t

16、0.05(16). 4411B、(20-t0.1(16),20+t0.1(16). 4411C、(20-t0.05(15),20+t0.05(15). 4411D、(20-t0.1(15),20+t0.1(15). 44A、(20-29 设X1,X2,L,Xn(n2)为来自总体N的简单随机样本，其样本均值为X. 记Yi=Xi-X,i=1,2,L,n. 求： Yi的方差DYi,i=1,2,L,n; Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn). (III) 若c(Y1+Yn)2是s的无偏估计量，求常数c. 2q,0x110 设总体X的概率密度为f(x,q)=1-q,1x2,其中q是未知参数(0q1),

17、X1,X2,.Xn0,其它为来自总体的随机样本,记N为样本值X1,X2,.Xn中小于1的个数,求: () q的矩估计; () q的最大似然估计. 13 考研数学概率与统计历年真题答案 第一章 数学一： 5320117311; 3. 4. 5.0.7 6. 7.0.3 8. + 1205332542p3132129. 10. 11. 1-p 12. 13. 14.(C) 15. 16. 17. (C) 8675431. 1-(1-p)n; (1-p)n+np(1-p)n-1 2. 数学二： 1. (C) 2.2; 0.486 3.0.3; 0.5 4. 非 5. 0.943; 0.848 6.

18、(D) 7. 2714 8.(A) 9. ; 10. (D) 5311. 11260 12. (B) 13. (D) 14. (D) 15. 0.94n; Cn-20.94n-20.062; 1-Cnn-1-1nn0.94n-Cn0.94n0.06 16. 18. 2990;2061 19. (C) 20. (C) 第二章 数学一： 1. 0.9876 2. 3(1-y2)p1+(1-y)6yR1ex当x03. 425 4. 1-1-ex2当x01-1y2当0y41当y15. 4 6. y2 0其他0其他7. 4 8. (C) 9. (A) 数学三： 0x11. 是 2. 0.21x20.52

19、x3 13x1e2y0; Q=e-8l t0x-1-1x1 x111. 9 64 12. (C) 13. 14. 1, 3 015. y1第三章 y00y1 y116. (C) 17. (A) 数学一： 1. 01fZ(Z)=(1-e-z)21(e2-1)e-Z2Z00Z2 Z2Z01-e-Z-Ze-Z2. FZ(Z)=03. Z01Z-u+pZ-u-pf-f 2pssZ4. 0141p5. 8. 346. 5 71 4 7. (B) Y X Y1 1 241 81 610. Y2 1 83 81 2Y3 pi 1 43 41 X1 X2 pj 9. (D) 1 121 41 31 415 1

20、1. 13 12. B 4812xy1dx=1-,0y21dy=2x,0x113. fX(x)=，fY(y)=y/2 200,其他0,其他z1-,0z2fZ(z)=2 0,其他14. 1/9 38y,0y11115. fY(y)=FY(y)=,1y4 16. 48y0,其他数学三： 1. (C) 2. 独立；e-1003. e-x; 1-2e-12+e-1 X4. -10.134400.73121p013440y225. F(x,y)=xx2y216. (A) x0,y1,0y10x1,y10x1,0y1x1,y1 7. (A) 8. (A) u0u21-29. f(u)= 0其他1311.

21、12. a=0.4, b=0.1 48）+0.7f10. 0.3f（u-1 12xy1dx=1-,0y21dy=2x,0x113. fX(x)=，fY(y)=y/2 200,其他0,其他z1131-,0z2fZ(z)=2，PYX= 2240,其他14. 1/9 第四章 16 数学一： 1. 1; 2x1 2. ZN(5,9) 3. 4 4. fx(x)=0x1; D(Z)=24 5. 0.2 6. 20其他97. (1) E(X)=0,D(X)=2 (2) cov(x,|x|)=0 (3) 不独立 8. (1)E(Z)=13,P(Z)=3 (2) PXZ=0 (3) 判断不清 9. 10.4

22、10. 2p11. (1) Y 1 2 3 Z 1 19 0 0 2 219 9 0 3 229 199 (2) E(x)=229 12. (D) 13. p(x=k)=Ck23k33-k5(5) k=0,1,L3, E(x)=1.2 14. 1-2p 15. (B) 16. E(x)=11-p311p D(x)=p2 17. (A) 18. 5 19. 2;4 20. e22. (1) Y X 0 1 0 213 12 1 11612 (2) 1515 数学三： 1. 112a2p 2. 2;1 3. (B) 14. pXY=0; 不独立 5. 0.6; 0.46 6. 43;34 -57.

23、 11-1ln25 8. (D) 9. 5.2 10. 70 11. f(t25tett02216)=0t0 E(T)=2512. 14167 13. 0 14. (1) 17 321. (A) D(T)=225 V U 0 1 0 1 1 41 40 1 2 (2) 1315. 8 917. (A) 18. 0.02 19. (1) Y X -1 1 (2) 2 -1 1 1 41 20 1 40y-20. F(y)=1-e5123. (1) y00y2 y221. 0.9 22. 1 eY X 0 1 0 1 2 316 1 121 12(2) (3) 15 15 Z P 0 1 2 11

24、2 341238y,0y11,1y4 24. fY(y)=FY(y)=8y0,其他cov(X,Y)=211 F(-,4)= 324第五章 18 数学一： 1. 1 2112 3. N(a2,a4-a2 6. 98 ) 4. 16 5. 912数学三： k1. (1) p(x=k)=C1000.2k0.8100-k (k=0,1,L100) (2) 0.927 2. 第六章 数学一： 1. 35 2. 2(n-1)62 3. (C) 4. D 5. 1-数学三： 1. (B) 2. t; q 3. 11; - nn111;2 5. F; (10, 5) 6. (C) 7. 8. s2 9. 2

25、20100219 第七章 数学一： 1. q矩2X-1 =1-X=2X qmax=-1-nln(x1Lxn)2. qD(q)=q25n3. q=minxi 1in4. q矩1= 4qmax=7-13 12xq5. (39、51, 40、49) 06. (1) F(x)=1-e-2(x-G)0 (2) F(x)=q1-e-2n(x-G) (3) E(q)=q+xqxqxq1 2n=7. (1) bX=. (2) bX-1nlnXi=1n. 8. q最大=iN n数学三： 1. l=nxaii=1n 2. (C) 3. (4、804, 5、196) 4. (4、412, 5、588) 5. (1) eu+12 (2) (-0.98, 0.98) (3) (e-0.48,e1.48) 6. X-1 7. (1) =X= (2) X-1nlnxi=1n=minX1,X2,L,Xn (3) i12ns28. C 9.() (1-)s () - () n2n-4n10. q矩=3N-X; q最大= 2n20