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1、概率论与数理统计习题解答2 一、填空题： 1. 2. PXx，F(x2)-F(x1) kkPX=k=Cnp(1-p)n-k，k = 0，1，n 3. PX=k=11+llkk!e-l,l0为参数，k = 0，1， 4. 1, axb 5. f(x)=b-a 其它0, 6. f(x)=12pse-(x-m)22s2,-x+ 7. j(x)=F(b-m1e2p-x22,-x+ ) 8. s)-F(a-ms9. X pi -1 0.4 1 0.4 2 0.2 分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。 10. 964分析：每次观察下基本
2、结果“X1/2”出现的概率为X取值的观察可看作是3重伯努利实验，所以 12-f(x)dx=22xdx=011，而本题对随机变量4119PY=2=C322(1-)3-2=446411. 2.2-1X-12.2-1PX 2.2=P=F=0.7257, 2225.8-1-1.6-1-1.6-1X-15.8-1P-1.6X 5.8=P=F-F 22222=F(2.4)-F(-1.3)=F(2.4)+F(1.3)-1=0.8950,同理，P| X | 3.5 =0.8822. 12. y-1y-1G(y)=PY=3X+1y=PX). =F(331348，利用全概率公式来求解： 13. PY=2=PY=2
3、X=1PX=1+PY=2X=2PX=2 +PY=2X=3PX=3+PY=2X=4PX=4 =0二、单项选择题： 1. B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导 F(-a)=a101f(x)dx=-f(x)dx=-f(x)dx 2-a20111111113+=.424344448-a-f(x)dx=0-f(x)dx-x+0-a2. B，只有B的结果满足F(+)=limF(x)=1 3. C，根据分布函数和概率密度的性质容易验证 4. D，Y2,X2，可以看出Y=X,X0， qPXy,y20edx,y21-e,y2q可以看出，分布函数只有一个间断点. 5. C, 事件的概率可看作为事件A与事
4、件B同时发生的概率，即 1p=P(AB)=P(A)P(B)=C3p(1-p)3-2p. 三、解答题 1(1) X pi 分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有C211指任选某次点数为1，6为另一次有66-1或C25+1种，故1 2 3 4 5 6 11 369 367 365 363 361 36种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C211C26-1C25+111PX=1=,其他结果类似可得. 363636(2) x1 0 ，PX=1，1x2PX=1+PX=2，2x3 F(x)=PX=1+PX
5、=2+PX=3， 3x4PX=1+PX=2+PX=3+PX=4， 4x5PX=1+PX=2+PX=3+PX=4+PX=5，5x61 ， x6 x1 0 ，11，1x236202x3，3627=， 3x4 3632 4x536，35，5x636 x61 ，2 X -1 99 pi 125 1261 126注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然PX=99=21. =5126C103ak!=ael=1，所以a=el. -lkk=04(1) 0，x-110，x-1，-1x2PX=-1，-1x24f(x)=， PX=-1+PX=2，2x33，2x341，x31，x311513PX=pX=
6、-1=、 PX=PX=2=、 24222(2) P2X3=PX=2UX=3=PX=2+PX=3=3； 45(1) 1121-2i11122PX=偶数=2+4+L+2i+L=limi12221-22PX5=1-PX4=1-151=， 1616=1， 3(2) (3) PX=3的倍数=i=11=lim3ii21231i1-32=1. 171-326(1) (2) XP(0.5t)=P(1.5) PX=0=e-1.5. 0.5t=2.5 Px1=1-Px=0=1-e-2.5. 7解：设射击的次数为X，由题意知XB(400，0.2) 1kPX2=1-PX1=1-k=0C4000.02k0.98400-
7、k8K-81-k=0e=1-0.28=0.9972，其中8=4000.02. k!18解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，则指示灯发出信号的概率 XB(5，0.3) 012p=PX3=1-PX10=1-F(10)=e-2，YB5，e-2则PY() k=k=C5(e-2)k(1-e-2)5-k,k=0,1,L5 5PY1=1-PY=0=1-=0.5167 10. (1)、由归一性知：1=+p-f(x)dx=2pacosxdx=2a，所以a=-21. 21124=(2)、P0X=4cosxdx=sinx|002424ppp. 11. 解 由F(x)在x=1的连续性可得limPx1+F(
8、x)=limF(x)=F(1)，即A=1. x1-0.3X0.7=F(0.7)-F(0.3)=0.4. 2x,0x1. f(x)=F(x)=0, 10x5f(x)=5 0其他X的概率密度12. 解 因为X服从上的均匀分布，所以 若方程4x 2+4Xx2+X+2=0有实根，则D=(4X)2-16X-320，即 X2 X-1 ，所以有实根的概率为 52-1113dx+0dx=x5= 2-555p=PX2+PX-1=13. 解: (1) 因为XN(3，4) 所以 P2X5=F(5)-F(2) =F(1)-F(0.5)-1=0.8413+0.6915-1=0.5328 P-42=1-PX2=1-P-2
9、X2 =1-F(2)-F(-2)=1-F(-0.5)-F(-2.5)=1-F(2.5)-F(0.5)=1-0.3023=0.6977 PX3=1-PX3=1-F(3)=1-F(0)=1-0.5=0.5 (2) PXc=1-PXc，则PXc=1=F(c)=F(c-3)=1，经查表得 222c-3=0，得c=3；由概率密度关于x=3对称也容易看出。 2d-3)0.9， (3) PXd=1-PXd=1-F(d)=1-F(2d-3d-3)0.1，即F(-)0.9，经查表知F(1.28)=0.8997， 则F(22F(0)=12，即故-14. 解：Pd-31.28，即d0.44； 2kkk=1-PXk=
10、1-P-kXk=1-F+F(-) ssk =2-2F=0.1 skk所以 F=0.95，pXk=F(k)=F=0.95；由对称性更容易解出； Xss15. 解 XN(m,s2)则 PX-ms=Pm-sXm+s =F(m+s)-F(m-s) =F(m+s-mms)-F(-s-ms) =F(1)-F(-1) =2F(1)-1=0.6826 上面结果与s无关，即无论s怎样改变，PX-m0时，FY(y)=pexy=pxlny 当fY(y)=FY(y)=(F(lny)=1y12ps1-e-(lny-m)22s2所以Y的概率密度为1fY(y)=y0(lny-m)22s2ey0； 2psy018. 解XU(
11、0,1)，1f(x)=00x1， FY(y)=pYy=p1-xy=1-F(1-y)， 所以1,01-y11,0y1 fY(y)=fX(1-y)=0,其他0,其他XU(1,2)，则19. 解：1f(x)=01x0时， FY(y)11=PXlny=FX(lny)， 22111fX(lny)e2xe4fY(y)=FY(y)=(F(lny)=222其他0124exe=2y其他020. 解: (1) 11FY1(y)=PY1y=P3Xy=PXy=FX(y) 33111fY1(y)=FY1(y)=(F(y)=fX(y) 3333x2-1x1因为fX(x)=2 其他0所以112111y,-1y1y2,-3y
12、3=18fY1(y)=fX(y)=18 3,其他33其他0,0(2) FY2(y)=PY2y=P3-Xy=PX3-y=1-FX(3-y)， fY2(y)=FY2(x)=1-FX(3-y)=fX(3-y) 因为3x2fX(x)=20-1x1， 其他 所以33(3-y)2,-13-y1(3-y)2,2y0时，FY3(y)=P-yXy=FX(y)-F1fXX(-y)， fY3(y)=FY3(x)=F1fXfY3(y)=2y(y)-F(-Xy)=2y(y)+fX(-y) 所以 (y)+f0(-y),y0， y0因为所以3x2-1x1， fX(x)=2其他03y,0y1 fY3(y)=2,其他0XB(1
13、0 ,0.2) 四应用题 1解：设X为同时打电话的用户数，由题意知设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则 PXk=C0.20.8i10ii=0k10-ii=0klii!e-l=0.99，其中l=2, 查表得k=5. 2解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-e-0.4，记X为10块组件中不能正常工作的个数，则 XB(10,1-e-0.4)， 5小时后系统不能正常工作，即X2，其概率为 PX2=1-PX101 =1-C10(1-e-0.4)0(e-0.4)10-C10(1-e-0.4)1(e-0.4)10
14、-1 =0.8916.3解：因为 XN(20,402)，所以 PX30=P-30X30=F(30)-F(-30) 30-20-30-20)-F4040=F(0.25)+F(1.25)-1 =F(=0.5187+0.8944-1=0.4931设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则X(1) B(3,0.4931)， 003PY1=1-PY=0=1-C30.4931(1-0.4931)3=1-0.5069=0.8698. 11PY=1=C30.49310.50692=0.3801. (2) 4解： 当y0时，Yy是不可能事件，知F(y)=0， 当0y2时，Y和X同分布,服从参数为5的指数
15、分布错误！未找到引用源。，知F(y)= 当y01-5edx=1-e5x-y5， y2时，Yy为必然事件,知F(y)=1， 因此，Y的分布函数为 0 , y0y-F(y)=1-e5，0y2； 1,y25解：(1) 挑选成功的概率p=11； =4C8701XB10， 70(2) 设10随机挑选成功的次数为X，则该设10随机挑选成功三次的概率为： 3PX=3=C10(1k1)(1-)70.00036， 7070以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。 0,x01x,0x1311. 解：由概率密度可得分布函数F(x)=,1x6由于PXk=21，
16、即F(k)=，易知1k3； 332. 解： X服从的均匀分布，1，X0,1，-1x2f(x)=3，又Y= ，其他X0,-1，0则PY=1=PX0=021f(x)dx=x320=2， 31PY=-1=PX0=1-PX0= 3所以Y的分布律为 3. 解：FY(y)Y2 P -1 1 1 323=P1-3Xy=PX(1-y)3=1-FX(1-y)3， fY(y)=FY(y)=1-F(1-y)3=-fX(1-y)3(1-y)3=3(1-y)2fX(1-y)33(1-y)2=,yR； p1+(1-y)64. 证明：因fx(x)是偶函数，故fx(-x)=fx(x)， FY(y)=PYy=P-Xy=PX-y
17、=1-PX-y=1-Fx(-y)所以fY(y)=FY(y)=fx(-y)=fx(y). 5. 解：随机变量X的分布函数为 0 , x1F(x)=3x-1, 1x8，显然F(x)0,1， 1, x8FY(y)=PYy=PF(X)y， y是不可能事件，知FY(y)=0， 当y0时，F(X)当0当y1时，FY(y)=P3X-1y=PX(1+y)3=y， y1时，F(X)y是必然事件，知FY(y)=1， 即 0 , y0FY(y)=y, 0y0时，即y1时，FY1(y)=PX=2e-xdx=1-e0221-y2当， 所以 y11-y12，fY1(y)=2e； ，其他0,y1FY 当X(y)=PYy=P
18、ey， 22y0时，eXy为不可能事件，则FY2(y)=PeXy=0， 1时，lny0，则FY2(y)=PXlny=e-xdx=1-1， y根据fY2(y)=FY2(y)得 0, y1fY2(y)=1； ,y12yFY当3(y)=PY3y=PX2y， y0时，FY3(y)=PX2y=0， 当y0时，FY3(y)=PX2y=P-yX0, y0-yfY3(y)=e； ,y02yy=e-xdx=1-e-0yy， 所以 7. (1) 证明：由题意知2e-2x,x0。 f(x)=0,x0Y1=e-2x，FY=PY1y=Pe-2Xy， 1当y0时，FY=0， 1y）1y 1时，FY1(y)=Pe-2X当0
19、-lny+-2xy=PX=-lny2edx=y， 22当+-lny-2xy1时，FY1(y)=PX=02edx=1， 2故有1,0y1，可以看出Y1服从区间均匀分布； fY1(y)= 0,Y2=e-2x，FY2(y)=PY21y=P1-e-2Xy=Pe-2X1-y y0时，FY2(y)=Pe-2x1-y=1， y1时， -2X 当1- 当01-FY=Pe2-ln(1-y)1-y=PX=02-2X-ln(1-y)22e-2xdx=y， -ln(1-y)2 当1-y1时，FY2(y)=Pe-ln(1-y)1-y=PX=-20dx=0， 由以上结果，易知 1,0y1，可以看出Y2服从区间均匀分布。 fY2(y)= 0,
