概率论与数理统计各章重点与公式.docx

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1、概率论与数理统计各章重点与公式第一章 随机事件和概率 排列组 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 合公式 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 加法原理：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n加法和种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理 乘法原理：mn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由mn 种方法来完成。 重复排列和非重复排列 一些常对立事件 见排列 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，随机试但在进行一次试验之前却不能断言它出

2、现哪个结果，则称这种试验为随机试验和随机事验。 件 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 基本事这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 件、样本空间基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 和事件 一个事件就是由 中的部分点组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，为不可能事件。 不可能事件的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件的概率为1，而概率

3、为1的事件也不一定是必然事件。 关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，： 如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。 事件的A、B同时发生：A B，或者AB。A B=，则表示A与B不可能同时发生，称关系与运算 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 运算： 结合率：A(BC)=(AB)C

4、 A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ， 设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个概率的条件： 公理化定义 1 0P(A)1， 2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件 ， ，有 常称为可列可加性。 则称P(A)为事件 的概率。 1 ， 2 。 古典概设任一事件 ，它是由 组成的，则有 型 P(A)= = 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空几何概间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何型 概型。对任一事件A， 。其中L为几何度

5、量。 加法公P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 式 当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 减法公当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 式 当A=时，P( )=1- P(B) 定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称 为事件A发生条件下，事件B发条件概生的条件概率，记为 。 率 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(/B)=1 P( /A)=1-P(B/A) 乘法公式： 乘法公更一般地，对事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有 式 。 两个事件的独立性 设事件 、 满足 ，则称事件

6、、 是相互独立的。 若事件 、 相互独立，且 ，则有 若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。 必然事件 和不可能事件与任何事件都相互独立。 独立性 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性 设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。 设事件 满足 全概公1 两两互不相容， ， 式 2 ， 则有 。 设事件 ， ， 及 满足 1 ， ， 两两互不相容， 0， 1，2， ， 2 ， ，

7、贝叶斯则 公式 ，i=1，2，n。 此公式即为贝叶斯公式。 ，通常叫先验概率。 ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 我们作了 次试验，且满足 u 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； u 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样； u 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不伯努利影响的。 概型 这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。 用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率， ， 。 第二章 随机变量及其分布 设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k

8、=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概离散率为 型随P(X=xk)=pk，k=1,2,， 机变则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 量的。 分布显然分布律应满足下列条件： 律 ， ， 。 设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有 连续， 型随则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 机变密度函数具有下面4个性质： 量的1 。 分布2 。 密度 离散积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用与连相类似。 续型随机变量的关系 设 为随机变量， 是任意实数，则函数

9、 分布 函数 称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间0-1P(X=1)=p, P(X=0)=q 八大分 分布 布 二在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，项则 可能取值为 。 分， 其中 ， 布 则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。 当 时， ， ，这就是分布，所以分布是二项分布的特例。 泊设随机变量 的分布律为 松， ， ， 分则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。 布 泊松分布为二项分布的极限分布。 超 几随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分

10、布，记为H(n,N,M)。 何分布 几，其中p0，q=1-p。 何随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 分布 均设随机变量 的值只落在a，b内，其密度函数 在a，b上为常数 ，即 匀 分 布 axb 其他， 则称随机变量 在a，b上服从均匀分布，记为XU(a，b)。 分布函数为 axb 0， xb。 当ax1x2b时，X落在区间内的概率为 。 指 数 , 分 布 0, , 其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。 X的分布函数为 , x0。 记住积分公式： 正设随机变量 的密度函数为 态， ， 分其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯分布，布 记为

11、。 具有如下性质： 1 的图形是关于 对称的； 2 当 时， 为最大值； 若 ，则 的分布函数为 。 参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为 ， ， 分布函数为 。 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。 (-x)1-(x)且(0) 。 如果 ，则 。 。 下分位表： ； 分位上分位表： 。 数 离已知 的分布列为 函数散 ， 分布 型 的分布列如下： ， 若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。 连先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限续积分的求导公式求出fY(y)。 型 第三章 二维随机变量及其分布 联

12、合离散型 分布 如果二维随机向量 的所有可能取值为至多可列个有序对，则称 为离散型随机量。 设 =的所有可能取值为 ，且事件 = 的概率为pij,称 为 =的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示： Y X x1 x2 xi y1 p11 p21 pi1 y2 p12 p22 yj p1j p2j 这里pij具有下面两个性质： pij0； 连续型 对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D=(X,Y)|axb,cyx1时，有FF(x1,y);当y2y1时，有F(x,y2) F(x,y1); F分别对x和y是右连续

13、的，即 对于 . 离散 型与连续型的关系 边缘离散型 分布 X的边缘分布为 ； Y的边缘分布为 。 X的边缘分布密度为 Y的边缘分布密度为 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为 在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 ； 连续型 条件离散型 分布 连续型 在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为 独立一般型 性 离散型 连续型 F(X,Y)=FX(x)FY(y) 有零不独立 f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形 0 若X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立， h,g为连续函数，则： h和

14、g相互独立。 特例：若X与Y独立，则：h和g独立。 例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。 二维正态分布 随机变量的函数 二维设随机向量的分布密度函数为 均匀分布 其中SD为区域D的面积，则称服从D上的均匀分布，记为U。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 y 1 D1 O 1 x 图3.1 y D2 1 1 O 2 x 图3.2 y D3 d c O a b x 图3.3 二维设随机向量的分布密度函数为 正态分布 其中 是5个参数，则称服从二维正态分布， 记为N函数Z=X+Y 分布 根据定义计算： 对于连续型，fZ(z) 两个独立的正态分布的和仍为正态分布。 n个相互独立的正态分布

15、的线性组合，仍服从正态分布。 ， Z=max,min(X1,X2,Xn) 若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为： 分布 设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和 的分布密度为 我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W ，其中 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设 则 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且 可以证明函数 t分布 的概率密度为 F分布 第四章 随机变量的数字特征 一 维随机期望 变量的期望就是平均值 数字特征 函数的期望 方差 D(X)=EX-E

16、(X)2， 标准差 ， 矩 切比雪夫不等式 我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。 设 ，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函数为 我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为Ff(n1, n2). 离散型 连续型 设X是离散型随机变量，其分设X是连续型随机变量，其布律为P( )pk，k=1,2,n， 概率密度为f(x)， Y=g(X) Y=g(X) 对于正整数k，称随机变量对于正整数k，称随机变X的k次幂的数学期望为X的量X的k次幂的数学期望为k阶原点矩，记为vk,即 X的k阶原点矩，记为vk,k=E(Xk)= , k=1,2, . 即 对于正整

17、数k，称随机变量k=E(Xk)= X与E差的k次幂的数 k=1,2, . 学期望为X的k阶中心矩，记对于正整数k，称随机变为 ，即 量X与E差的k次幂 的数学期望为X的k阶中心= ， k=1,2, . 矩，记为 ，即 = k=1,2, . 设随机变量X具有数学期望E=，方差D=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式 切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 的一种估计，它在理论上有重要意义。 期 E(C)=C 望的性 E(CX)=CE(X) 质 E(X+Y)=E(X)+E(Y)， E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 方 D(C)=0；E

18、(C)=C 差的性 D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) 质 D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b D(X)=E(X2)-E2(X) D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。 常 见分布0-1分布 的期望二项分布 和方差 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 t分布 二期望 维随机变量的函数的期望 数字特征 方差 期望 p np n 0 方差 2n (n2) 协

19、方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即 与记号 相对应，X与Y的方差D与D也可分别记为 与 。 对于随机变量X与Y，如果D0, D(Y)0，则称 为X与Y的相关系数，记作 。 | |1，当| |=1时，称X与Y完全相关： 完全相关 而当 时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： 相关系数 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 混合矩 对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为： 协

20、(i) cov (X, Y)=cov (Y, X); 方差的(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); 性质 (iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 独 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。 立和不 若N， 相关 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 第五章 大数定律和中心极限定理 大数定律 切比雪设随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同夫大数一常数C所界：DC(i=1,2,),则对于任意的正数，有 定律 特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望E=，

21、则上式成为 伯努利设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次大数定试验中发生的概率，则对于任意的正数，有 律 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大设X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，数定律 且E=，则对于任意的正数有 中心极限定理 列维设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相 林德伯同的数学期望和方差： ，则随机变量 格定理 的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗设随机变量 为具有参数n, p(0p1)的二

22、项分布，则对于任意实拉普数x,有 拉斯定 理 二项定理 若当 ，则 超几何分布的极限分布为二项分布。 若当 ，则 其中k=0，1，2，n，。 二项分布的极限分布为泊松分布。 在数理统计中，常把被考察对象的某一个指标的全体称为总体。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量。 总体中的每一个单元称为样品。 我 们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分 布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时， 表示n个随机变量；在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值。我们称之为样本

23、的两重性。 泊松定理 第六章 样本及抽样分布 数理统总体 计的基本概念 个体 样本 样本函数和统设 为总体的一个样本，称 计量 为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 为一个统计量。 常见统计量及样本均值 其性质 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 ， ， ， , 其中 ，为二阶中心矩。 正态总正态分布 体下的四大分布 t分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数 其中 表示自由度为n-1的 分布。 设 为来自

24、正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数 F分布 其中 表示第一自由度为 ，第二自由度为 的F分布。 正态总与 独立。 体下分布的性质 第七章 参数估计 点估矩估计 计 设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 由上面的m个方程中，解出的m个未知参数 即为参数的矩估计量。 若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。 极大似然当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中

25、为未知参数。估计 又设 为总体的一个样本，称 为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称 为样本的似然函数。 若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。 若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。 估计无偏性 量的评选标准 有效性 一致性 设 为未知参数 的估计量。若E = ，则称 为 的无偏估计量。 E=E， E=D 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。 设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有 则称 为 的一致估计量。 若 为 的无偏估计，且 则 为 的一

26、致估计。 只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。 区间置信区间设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个估计 和置信度 统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即 那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度。 单正态总设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具体的期望体步骤如下： 和方差的选择样本函数； 区间估计 由置信度 ，查表找分位数； 导出置信区间 。 已知方差，估计均值 选择样本函数 (ii) 查表找分位数 导出置信区间 选择样本函数 (ii)查表找分位数 导出置信区间

27、选择样本函数 查表找分位数 导出 的置信区间 未知方差，估计均值 方差的区间估计 第八章 假设检验 基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。 为 了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受 H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平，通常我们取=0.05，有时也取0.01或0.10。 假设检验的基本步骤如下：

28、(i) 提出零假设H0； (ii) 选择统计量K； (iii) 对于检验水平查表找分位数； (iv) 由样本值 计算统计量之值K； 将 进行比较，作出判断：当 时否定H0，否则认为H0相容。 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立，称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即 P否定H0|H0为真= ； 此处的恰好为检验水平。 基本步骤 两类错误 第二类错误 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立，称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即 P接受H0|H1为真= 。 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平。大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把取得大些。 两类错误的关系 单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 已知 未知 未知 N 统计量 对应样本 函数分布 否定域