概率论习题解答.docx

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1、概率论习题解答第1章 习题答案 三、解答题 1设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A B) = P(A) 解：(4) (6)正确. 2设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为P(AB)P(A)+P(B)-P(AUB)， 又因为P(B)P(AUB)即P(B)-P(AUB)

2、0. 所以 (1) 当P(B)=P(AUB)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)=P(A)=0.6. (2) P(AUB)=1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件A，B满足P(AB)=P(AB)，记P(A) = p，试求P(B) 解：因为P(AB)=P(AB)， 即P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)， 所以 P(B)=1-P(A)=1-p. 4已知P(A) = 0.7，P(A B) = 0.3，试求P(AB) 解：因为P(A B) = 0.3，所以P(A ) P(AB) = 0.3, P(AB)

3、= P(A ) 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7 0.3=0.4，P(AB)=1-P(AB)=0.6. 5 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有n=C410种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑：k=C15C2124(C2)+C25 其中：C1C21254(C2)为恰有1双配对的方法数 法二：分两种情况考虑：k=C15C1C18622!+C5 其中：C15C1C1862!为恰有1双配对的方法数 法三：分两种情况考虑：k=C12-C15(C84)+C25 其中：C125(C8-C14)为恰

4、有1双配对的方法数 法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k=C1225C8-C5 法五：考虑对立事件：k=C41410-C45(C2) 其中：C45(C142)为没有一双配对的方法数 1 1111C10C8C6C4法六：考虑对立事件：k=C-4!4101111C10C8C6C4 其中：4!k13所求概率为p=4=. C1021为没有一双配对的方法数 6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率 12C3A5C5211 解：(1) 法一：p=3=，法二：p= =3C101212A10122C3

5、A4C411 (2) 法二：p=3=，法二：p= =3A1020C1020 7将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则 231C32A4A4C4391P(M1)=3=, P(M2)=P(M)=, 33341681644 8设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 9口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个

6、，求取到的两个球颜色相同的概率 解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则112C32C3C2C2P(M2)=2=0.3,P(M1)=0.6,P(M1)=2=0.1 2C5C5C5M=M1UM2且M1IM2=f. 22C5C313所以P(M)=P(M1UM2)=P(M1)+P(M2)=2+2=. C8C828 10 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间W = (x，y)：0 x，y 1 事件

7、A =“两数之和小于6/5”= (x，y) W ： x + y 6/5 因此 141-A的面积17 25P(A)=W的面积125图？ 2 11随机地向半圆0y2ax-x2内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于p的概率 4 解：这是一个几何概型问题以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，q表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面 2 上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 W=(x，y)：0x2a,0y2ax-x2 事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于 =(x，y)：0因此 p” 4x2a,0y2ax

8、-x2,0qp4 1212a+paA的面积2114P(A)=+ 12W的面积p2pa2111,P(BA)=,P(AB)=，求P(AUB) 432111P(AB)111,P(B)=, 解：P(AB)=P(A)P(BA)=4312P(A|B)1226 12已知P(A)=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1111+-=. 46123 13设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件

9、均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”； 22C6C422P(A)=1-P(A)=1-2=，P(B)=2=， C103C1015P(B|A)=P(AB)P(B)221=/= P(A)P(A)1535 14有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球

10、”，则1C232P(A)=1=,P(A)=，由全概率公式得 5C55113C52C423P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=1+1=, 5C95C945由贝叶斯公式得 1P(A)P(B|A)3C52315P(A|B)=1/=. P(B)5C94523 15将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？ 解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知 3 2P(N|M)=0.02,P(N|M)=0.01,P(M)

11、=. 3所以 1P(N|M)=0.98,P(N|M)=0.99,P(M)=, 3由贝叶斯公式得 P(M|N)=P(M)P(N|M)221196=0.98(0.98+0.01)=. P(M)P(N|M)+P(M)P(N|M)333197 16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为多少？ 解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知P(A1)111,，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是534=111423,P(A2)=,P(A3)=,所以P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=, 53453442331-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2)P(A2)=1-

12、=. 5345至少有一人能将此密码译出的概率为 17设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7，求P(BA). 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且 P(AB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B) 将P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以 P(BA)=1-P(BA)=1-P(AB)P(A)P(B)=1-=1-P(B)=1-0.5=0.5. P(A)P(A)或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以 P(BA)=P(B)=1-P(B)=1-0.

13、5=0.5. 18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”， 已知P(A)=P(B)=1,P(MA)=0.6,P(MB)=0.5,所以 P(M)=P(ABUABUAB)=P(AB)+P(AB)+P(AB). 由于甲乙两人是独立射击目标，所以 P(M)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.60.5+0.40.5+0.60.5=0.8. P(A|M)=P(AM)P(A)P(M|A)10.6=0.75 P(M)P(M)0.8 19某零件用两种工艺加

14、工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？ (2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？ 解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2. 根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为 , P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P

15、(A3)=0.70.80.9=0.504 4 第二种工艺加工得到合格品的概率为 P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.70.8=可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。 根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为 P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.70.7可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。 0.56, =0.49. P(A) 1设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC = ，=P(B)=P(C)91,且已知P(AUBUC)=，2求P(A) 解：因为ABC = ，所以P(ABC) =0, 因

16、为A，B，C两两相互独立，P(A)=P(B)=P(C),所以 P(AB)+P(BC)+P(AC)=P(A)P(B)+P(B)P(C)+P(A)P(C)=3P(A)2 由加法公式P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)得 3P(A)-3P(A)2=916 即 4P(A)-34P(A)-1=0 考虑到P(A)12,得P(A)=14. 2设事件A，B，C的概率都是12，且P(ABC)=P(ABC)，证明： 2P(ABC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-12 证明：因为P(ABC)=P(ABC)，所以 P(ABC)=1-P(AUBUC)=1

17、-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)P(A)=P(B)=P(C)=12代入上式得到 P(ABC)=1-32-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) 整理得 2P(ABC)=P(AB)+P(BC)+P(AC)-12. 3设0 P(A) 1，0 P(B) 1，P(A|B) +P(A|B)=1，试证A与B独立 证明：因为P(A|B) +P(A|B)=1，所以 P(AB)P(B)+P(AB)P(B)=P(AB)1-P(AUB)P(B)+1-P(B)=1, 将P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)代入上式得 P(AB)1-P(A)-P(B)+P

18、(ABP(B)+)1-P(B)=1, 两边同乘非零的P(B)1-P(B)并整理得到 P(AB)=P(A)P(B), 所以A与B独立. 16将 5 4设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明P(B| 证明：充分性，由于P(B| A)=P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件A)=P(B|A)，所以P(AB)P(AB)=,即 P(A)P(A)P(AB)P(B)-P(AB)=, P(A)1-P(A)两边同乘非零的P(A)1-P(A)并整理得到P(AB)= 必要性：由于A与B独立，即P(AB)=一方面 P(A)P(B),所以A与B独立. P(A)P(B),且P(A)0,P(A)0,所以

19、P(B|A)=另一方面 P(AB)P(A)P(B)=P(B), P(A)P(A)P(B|A)=所以P(B|P(AB)P(B)-P(AB)P(B)-P(A)P(B)=P(B), P(A)P(A)P(A)A)=P(B|A). p2 5一学生接连参加同一课程的两次考试第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为. (1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率 (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率 解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知P(A1)由全概率公式得 =p,P(A2|A1)=p,P(A2|A1)=p,

20、 2P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)=p2+(1-p)(1) 他取得该资格的概率为 p2P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1)P(A2|A1),p3p-p22=p+p+(1-p)-p=.222(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为 P(A1|A2)=P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)pp2p=. pp+1P(A2)P(A2)2p+(1-p)2 6每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收由于检验误差，一件正品被误判为

21、次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%求检验一箱产品能通过验收的概率 解：设Ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”. 已知P(A0)=由全概率公式 1P(A1)=P(A2)=,P(N|M)=0.02,P(N|M)=0.1, 31989(1+)=, 3101010P(M)=P(A0)P(M|A0)+P(A1)P(M|A1)+P(A2)P(M|A2)= 6 P(M)=1-P(M)=1-91=,又P(N|M)=1-P(N|M)=1-0.02=0.98, 1010910.98+0.1=0.892. 1010由全概率公式得一箱产

22、品能通过验收的概率为 P(N)=P(M)P(N|M)+P(M)P(N|M)= 7用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率 解：A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3. 已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含

23、有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生. 又知P(Bi|A)=0.8,P(Bi|A)=0.9,P(A)=0.4,所以 P(Bi|A)=0.2,P(Bi|A)=0.1,P(A)=0.4,P(A)=0.6, 所求概率为P(A|B1B2B3)=P(AB1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A)=, P(B1B2B3)P(A)P(B1B2B3|A)+P(A)P(B1B2B3|A)由于三次检验是独立进行的，所以 P(A|B1B2B3)=P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)+P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)0.40.80.

24、80.2=0.905.0.40.80.80.2+0.60.10.10.9 8火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？ 解：设Ai=“第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知P(A1)=P(A3)=0.3,P(A2)=P(A4)=0.35,所以 P(A1)=P(A3)=0.7,P(A2)=P(A4)=0.65, (1) 火炮被击毁的概率为 P(A1A2UA1A2A3A4

25、)=P(A1A2)+P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.70.35+0.70.650.70.35=0.356475 坦克被击毁的概率为 P(A1UA1A2A3)=P(A1)+P(A1A2A3)=P(A1)+P(A1)P(A2)P(A3)=0.3+0.70.650.3=0.4365 (2) 都不被击毁的概率为 P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.70.650.70.65=0.207025. 9甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是12，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率 解：Ai=“甲第i局获胜”， Bi=“乙第i局获胜”，Bi=“丙第i局获胜”，i=1,2,.， 已知P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=1,i=1,2,.，由于各局比赛具有独立性，所以 2 7 在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为 1111P(A1C2C3UA1C2B3A4C5C6UA1C2B3A4C5B6A7C8C9U.)=+.=,7同样，在甲乙先2221, 7369比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为丙得冠军的概率为212125=,甲、乙得冠军的概率均为(1-)=. 271477 8