概率论与数理统计答案徐雅静.docx

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1、概率论与数理统计答案徐雅静1 习题答案 第1章 三、解答题 1设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A B) = P(A) 解：(4) (6)正确. 2设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为P(AB)P(A)+P(B)-P(AUB)， 又因为P(B)P(AUB)即P(B

2、)-P(AUB)0. 所以 (1) 当P(B)=P(AUB)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)=P(A)=0.6. (2) P(AUB)=1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件A，B满足P(AB)=P(AB)，记P(A) = p，试求P(B) 解：因为P(AB)=P(AB)， 即P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)， 所以 P(B)=1-P(A)=1-p. 4已知P(A) = 0.7，P(A B) = 0.3，试求P(AB) 解：因为P(A B) = 0.3，所以P(A ) P(AB) = 0.3

3、, P(AB) = P(A ) 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7 0.3=0.4，P(AB)=1-P(AB)=0.6. 5 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有n=C410种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑：k=C1C21254(C2)+C25 其中：C12125C4(C2)为恰有1双配对的方法数 法二：分两种情况考虑：k=C1C1185C622!+C5 1 2 11C8C6 其中：C2!15为恰有1双配对的方法数 法三：分两种情况考虑：k 其中：C5(C81211=C5(C82-C

4、4)+C52 1-C4)为恰有1双配对的方法数 12=C5C8-C52 法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k法五：考虑对立事件：k 其中：C544414=C10-C5(C2) 14(C2)为没有一双配对的方法数 1111C10C8C6C4法六：考虑对立事件：k=C-4!4101111C10C8C6C4 其中：4!k13. 所求概率为p=4=C1021为没有一双配对的方法数 6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率 12C3A5C5211 解：(1) 法一：p=3=，法二：p= =3C1

5、01212A10122C3A4C411 (2) 法二：p=3=，法二：p= =3A1020C1020 7将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则 213C32A4A4C4391P(M1)=3=, P(M2)=P(M)=, 34316843164 8设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 9口袋中有5个白

6、球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率 解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则112C32C3C2C2P(M2)=2=0.3,P(M1)=0.6,P(M1)=2=0.1 2C5C5C5M=M1UM2且M1IM2=f. 22C5C313所以P(M)=P(M1UM2)=P(M1)+P(M2)=2+2=. C8C828 10 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率 解：这是一个几何概型问题以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间W = (x，

7、y)：0 x，y 1 事件A =“两数之和小于6/5”= (x，y) W ： x + y 6/5 因此 2 3 141-A的面积17 25P(A)=W的面积125图？ 2 11随机地向半圆0y2ax-x2内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于p的概率 4 解：这是一个几何概型问题以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，q表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 W=(x，y)：0x2a,0y2ax-x2 事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于 =(x，y)：0因此

8、 p” 4x2a,0y2ax-x2,0qp4 1212a+paA的面积2114P(A)=+ 12W的面积p2pa2111=,P(BA)=,P(AB)=，求P(AUB) 432P(AB)111111=, 解：P(AB)=P(A)P(BA)=,P(B)=P(A|B)12264312 12已知P(A) P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1111+-=. 46123 13设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产

9、品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”； 22C6C422P(A)=1-P(A)=1-2=，P(B)=2=， C103C1015P(B|A)=P(AB)P(B)221=/= P(A)P(A)1535 14有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“

10、从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则1C232P(A)=1=,P(A)=，由全概率公式得 5C55 3 4 113C52C423P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=1+1=, 5C95C945由贝叶斯公式得 1P(A)P(B|A)3C52315P(A|B)=1/=. P(B)5C94523 15将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？ 解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知 P(N|M)=0.0

11、2,P(N|M)=0.01,P(M)=所以 2. 31P(N|M)=0.98,P(N|M)=0.99,P(M)=, 3由贝叶斯公式得 P(M|N)=P(M)P(N|M)221196=0.98(0.98+0.01)=. P(M)P(N|M)+P(M)P(N|M)333197 16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为多少？ 解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知P(A1)111,，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是534111423=,P(A2)=,P(A3)=,所以P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=, 53453442331-P(A1A2A3)=1

12、-P(A1)P(A2)P(A2)=1-=. 5345至少有一人能将此密码译出的概率为 17设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7，求P(B 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且 A). P(AB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B) 将P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以 P(BA)=1-P(BA)=1-P(AB)P(A)P(B)=1-=1-P(B)=1-0.5=0.5. P(A)P(A)或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以 P(

13、BA)=P(B)=1-P(B)=1-0.5=0.5. 18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？ 解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”， 已知P(A)=P(B)=1,P(MA)=0.6,P(MB)=0.5,所以 P(M)=P(ABUABUAB)=P(AB)+P(AB)+P(AB). 由于甲乙两人是独立射击目标，所以 P(M)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.60.5+0.40.5+0.60.5=0.8. 4 5 P(A|M)=P(AM)P(A)P(M|A)10.6=0.75

14、 P(M)P(M)0.8 19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？ (2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？ 解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2. 根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为

15、P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.70.80.9=0.504, 第二种工艺加工得到合格品的概率为 P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.70.8=0.56, 可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。 根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为 P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.70.7=0.49. 可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。 1设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC = ，P(A)求P(A) 解：因为ABC = ，所以P(ABC) =0, 因为A，B，C两

16、两相互独立，P(A)=P(B)=P(C)91，,且已知P(AUBUC)=216=P(B)=P(C),所以 P(AB)+P(BC)+P(AC)=P(A)P(B)+P(B)P(C)+P(A)P(C)=3P(A)2 由加法公式P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)得 3P(A)-3P(A)2=考虑到P(A)9 即 4P(A)-34P(A)-1=0 1611,得P(A)=. 241，且P(ABC)=P(ABC)，证明： 22P(ABC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-12 2设事件A，B，C的概率都是 证明：因为P(ABC)=P(ABC)

17、，所以 将P(ABC)=1-P(AUBUC)=1-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)P(A)=P(B)=P(C)=1代入上式得到 23P(ABC)=1-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) 2整理得 12P(ABC)=P(AB)+P(BC)+P(AC)-. 2 3设0 P(A) 1，0 P(B) 0为参数，k = 0，1， 4. 1 1+l1, axb 5. f(x)=b-a 其它0, 6. f(x)=12pse-(x-m)22s2,-x+ 1-27. j(x)=e,-x+ 2pb-ma-m)-F 8. F(x2ss9. X -1 1 2

18、 pi 0.4 0.4 0.2 分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。 10. 9 64 8 9 分析：每次观察下基本结果“X1/2”出现的概率为是3重伯努利实验，所以 12-f(x)dx=22xdx=011，而本题对随机变量X取值的观察可看作411. 119 PY=2=C322(1-)3-2=44642.2-1X-12.2-1PX 2.2=P)=0.7257, =F(2225.8-1-1.6-1-1.6-1X-15.8-1P-1.6X 5.8=P)-F=F( 22222=F(2.4)-F(-1.3)=F(2.4)+F(1.3

19、)-1=0.8950,同理，P| X | 3.5 =0.8822. 12. 13. y-1y-1G(y)=PY=3X+1y=PX). =F(3313，利用全概率公式来求解： 48PY=2=PY=2X=1PX=1+PY=2X=2PX=2111111113+=.424344448 +PY=2X=3PX=3+PY=2X=4PX=4 =0二、单项选择题： 1. B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导 F(-a)=-a-f(x)dx=f(x)dx-f(x)dx=-ax+00101a-f(x)dx=-f(x)dx 2-a202. B，只有B的结果满足F(+)=limF(x)=1 3. C，根据分布

20、函数和概率密度的性质容易验证 4. D，Y2,X2，可以看出Y不超过2，所以 =X,X0， Jqedx,y2PXy,y21-e,y20q可以看出，分布函数只有一个间断点. 5. C, 事件的概率可看作为事件A与事件B同时发生的概率，即 1p=P(AB)=P(A)P(B)=C3p(1-p)3-2p. 三、解答题 1(1) X pi 1 2 3 4 5 6 11 369 367 365 363 361 36 9 10 分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有C212116-1或C5+1种，故PX=1=3636

21、36,其他结果类似可得. (2) x1 0 ，PX=1，1x2PX=1+PX=2，2x3F(x)=PX=1+PX=2+PX=3， 3x4 PX=1+PX=2+PX=3+PX=4， 4x5PX=1+PX=2+PX=3+PX=4+PX=5，5x61 ， x6 x1 0 ，11，1x236202x3，3627=， 3x4 3632 4x536，35，5x636 x61 ，X-1 9 92 pi 1251261126注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然PX=99=21=. 5126C103ak!=ael=1，所以a=el. -lk-k=04(1) 0，x-110，x-1，-1x2PX

22、=-1，-1x24f(x)=， PX=-1+PX=2，2x33，2x341，x31，x3 10 11 (2) PX12=pX=-1=14、 P32X52=PX=2=12、 P2X3=PX=2UX=3=PX=2+PX=3=34； 115(1) PX=偶数=1221-22i22+124+L+122i+L=limi1=11-， 223(2) PX5=1-PX4=1-15116=16， 1(3) PX=3的倍数=121-1i3231i=23i=lim1i1-1=7. 236(1) XP(0.5t)=P(1.5) PX=0=e-1.5. (2) 0.5t=2.5 Px1=1-Px=0=1-e-2.5.

23、7解：设射击的次数为X，由题意知XB(400，0.2) PX2=1-PX1=1-1k-kk=0C4000.02k0.984001-18K-8k=0k!e=1-0.28=0.9972，其中8=4000.02. 8解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，XB(5，0.3) 则指示灯发出信号的概率 p=PX3=1-PX10=1-F(10)=e-2，YB(5，e-2)则PY=k=Ck-25(e)k(1-e-2)5-k,k=0,1,L5 PY1=1-PY=0=1-5=0.5167p10. (1)、由归一性知：1=+1-f(x)dx=2-pacosxdx=2a，所以a=22. p(2)、P0Xp1

24、p4=42cosxdx=12sinx|=20044. 11. 解 由F(x)在x=1的连续性可得xlim1+F(x)=limx1-F(x)=F(1)，即A=1. P0.3X0.7=F(0.7)-F(0.3)=0.4. X的概率密度f(x)=F(x)=2x,0x1. 0, 11 12 12. 解 因为X服从上的均匀分布，所以10x5f(x)=5 0其他 若方程4x 2+4Xx2+X+2=0有实根，则D=(4X)2-16X-320，即 ，所以有实根的概率为 X2 X-1 51-113p=PX2+PX-1=dx+0dx=x5= 225-5513. 解: (1) 因为XN(3，4) 所以 =F(1)-

25、F(0.5)-1=0.8413+0.6915-1=0.5328 =F(3.5)-F(-3.5)-1=2F(3.5)-1=20.998-1=0.996P2X5=F(5)-F(2) P-42=1-PX2=1-P-2X2 =1-F(2)-F(-2)=1-F(-0.5)-F(-2.5)=1-F(2.5)-F(0.5)=1-0.3023=0.6977 PX3=1-PX3=1-F(3)=1-F(0)=1-0.5=0.5 (2) PXc=1-PXc，则PXc=1=F(c)=F(c-3)=1，经查表得 222F(0)=1c-3，即=0，得c=3；由概率密度关于x=3对称也容易看出。 22d-3(3) PXd=

26、1-PXd=1-F(d)=1-F0.9， 2d-3d-3则F0.1，即F(-)0.9，经查表知F(1.28)=0.8997， 22d-3故-1.28，即d0.44； 2kk14. 解：PXk=1-PXk=1-P-kXk=1-F+F(-) ssk=2-2F=0.1 s所以 15. 解 kF=0.95，pXksXN(m,s2)则 sPX-ms=Pm-sXm+s=F(m+s)-F(m-s) =F(k)=F(k)=0.95；由对称性更容易解出； =F(m+s-mm-s-m)-F ss=F(1)-F(-1) 12 13 =2F(1)-1=0.6826 上面结果与s无关，即无论s怎样改变，PX-m0时，F

27、Y(y)=pexy=pxlny (lny-m)2f(y)=F1Y(y)=(F(lny)=12s2Yye-2ps(lny-m)211e-2s2y0所以Y的概率密度为fY(y)=y2ps； 0y018. 解XU(0,1)，f(x)=10x10， FY(y)=pYy=p1-xy=1-F(1-y)， f(x)=1e-(x-m)22s2，2ps 13 14 所以1,01-y11,0y1 fY(y)=fX(1-y)=0,其他0,其他19. 解：XU(1,2)，则FY(y)=PYy=Pe2Xy当y0时，FY当2X(y)=Pe1f(x)=01x0时， 11=PXlny=F(lny)， FY(y)X22111f

28、X(lny)e2xe4fY(y)=FY(y)=(F(lny)=222其他01e2xe4=2y其他011=PXy20. 解: (1) FY(y)=P=F(y) Yy=P3XyX1133111fY1(y)=FY1(y)=(F(y)=fX(y) 33332x-1x1因为fX(x)=2 其他0所以112111y,-1y1y2,-3y3=18 fY1(y)=fX(y)=183,其他33其他0,0(2) FY2(y)=PY2y=P3-Xy=PX3-y=1-FX(3-y)， fY2(y)=FY2(x)=1-FX(3-y)=fX(3-y) 因为32xfX(x)=20-1x1， 其他 所以33(3-y)2,-13-y1(3-y)2,2y0时，FY3(y)=P-yXy=FX