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1、概率论与数理统计答案 第三章 连续型随机变量第三章 连续型随机变量 3.1 设随机变数x的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率： P(xP(xa)；P(xa)；P(xa) =a)；解：P(x P(x P(x P(x=a)=F(a+0)-F(a)； a)=F(a+0)； a)=1-F(a)； a)=1-F(a+0)。 =11+x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果 3.2 函数F(x)-xp 0x，在其它场合适当定义； x0,有1F(-a)=1-F(a)=-2 PP(xa0p(x)dx； a)=21-F(a)。 =p(x)dx=1-p(x)dx -a-a 证：F(-a) =1+a-
2、ap(-x)dx=1-p(x)dx -a =1-F(a) - P(x=1-p(x)dx -00a1p(x)dx=-p(x)dx； 20a)=1-P(x0,b0是两个常数，且a+b=1。证明 F(x)=aF1(x)+bF2(x) 也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为F1(x)与于是 F2(x都是分布函数，当x10这时 x00F2(x)=x0101+xF(x)=21x001显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。 3.6 设随机变数x的分布函数为 1-(1+x)e-xx
3、0 F(x)=x00求相应的密度函数，并求P(x解：1)。 d1-(1+x)e-x=xe-x，所以相应的密度函数为 dxxe-xp(x)=0x0 x0P(x1)=F(1)=1-3.7 设随机变数x的分布函数为 2。 e0F(x)=Ax21求常数x00x1 x1A及密度函数。 解：因为F(1-0)=F(1)，所以A=1，密度函数为 2x0x1 p(x)=其它03.8 随机变数x的分布函数为F(x)解：因为 =A+Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。 limF(x)=A+B(-)=0 x-2x+plimF(x)=A+Bp2=1 所以 A=因而 11,B=2pF(x)=111。 +arct
4、gx,p(x)=F(x)=22pp(1+x)3.9 已知随机变数x的分布函数为 xp(x)=2-x0 求相应的分布函数F(x)； 求P(x0x11x2 其它1.3),P(0.2x1.2)。 x00xydy=1x20x102解：F(x)= 1x1ydy+(2-y)dy=2x-x2-11218P(x1.3)=1-P(x1.3)=1-F(1.3)=0.245 P(0.2x1.2)=F(1.2)-F(0.2)=0.66P(x0.5)=F(0.5)=3.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。 p(x)=Ae-x； ppAcosx-xp(x)=22 其它0Ax2p(x)=Ax01x2
5、2x3 其它0解：-Ae-xdx=2Ae-xdx=2A=1所以A=p1； 212; pp2-2Acosxdx=2A2cosxdx=2A=1，所以A=0(3)21Axdx+Axdx=228296A=1,所以A=629。 3.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求x解：当0=oP的分布函数。 xR时 43pxxF(x)=P(xx)=3=3 43RpR3所以 0x3F(x)=R1xR3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以x表示每天的耗电率，它具有分布密度为 12x(1-x)20x0.8)=12x(1-x)2dx=0.0272 0.81 P(x0.9)=12x(1-x)2dx=0.003
6、7 0.91因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。 3.14 设随机变数x服从上的均匀分布，求方程 4x2+4xx+x+2=0 有实根的概率。 解：当且仅当 (4x)成立时，方程4x22-16(x+2)0 +4xx+x+2=0有实根。不等式的解为：x2或x-1。 5因此，该方程有实根的概率 p=P(x2)+P(x-1)=P(x2)=3.17 某种电池的寿命x服从正态N(a,s2213dx=。 55，s=35 )分布，其中a=300(1) 求电池寿命在250小时以上的概率； 求x，使寿命在a-x与
7、a+x之间的概率不小于0.9。 解：P(x =P(250)=P(x-30035-1.43) x-300351.43)=F(1.43)0.9236； xx-300x 353535 P(a- =F(即 xx0时，有 x212p 证： 1-F(x)e-x2211-211.1-F(x)e(-3) xxx2px=1-x222p1-e-y22dy=y22p1xe-y22dy =12p1e-11.-x2px1-2edy 2y =所以 111e(-3)+xx2p2px22x22x3ey4-y22dy 12pe-11-211.1-F(x)e(-3)。 xxx2p1x+y0 F(x,y)=0x+y0x23.21
8、证明：二元函数 对每个变元单调非降，左连续，且F(-,y) F(x,y)并不是一个分布函数。 =F(x,-)=0，F(-,+)=0，但是 证：设Dx若x+若x+0， y0，由于x+Dx+y0，所以F(x,y)=F(x+Dx,y)=1， y0，则F(x,y)=0。当x+Dx+y0时，F(x+Dx,y)=0； y0时，F(x+Dx,y)=1。所以 F(x,y)F(x+Dx,y)。 y非降。 当x+Dx+ 可见，F(x,y)对x非降。同理，F(x,y)对 x+y0时 =limF(x,y-Dy)=0=F(x,y)， Dy0 limF(x-Dx,y)Dx0 x+y0时， =limF(x,y-Dy)=1=
9、F(x,y)， Dy0 limF(x-Dx,y)Dx0 所以F(x,y)对x、 F(-,y) P(0xy左连续。 =F(x,-)=0，F(+,+)=0。 2,0h2)=F(2,2)-F(2,0)-F(0,2)+F(0,0)=-1， 所以F(x,y)不是一个分布函数。 3.23 设二维随机变数(x,h)的密度 1sin(x+y)p(x,y)=20求的分布函数。 解：当00x其它p2,0yp2xp2，0yp2时， F(x,y) =P(xx,hy) 0xy01sin(t+s)dsdt21x=cot-cos(t+y)dt 201=sinx+siny-sin(x+y),所以 2(x0)(y F(x,y)
10、=222 1pp(1+siny-cosy)x,0y222pp1x,y223.24 设二维随机变数(x,h)的联合密度为 ke-3x-4yp(x,y)=0 求常数k； 求相应的分布函数； 求P(00,y0其它1,0h0,y0时， F(x,y)=x0yy12e-3t-48dtds=12(e-3tdt)(e-48ds) 00xy =(1-e-3x)(1-e-4y)，所以 (1-e-3x)(1-e-4y) F(x,y)=0P(00,y0其它1,0h2) =F(1,2)-F(0,2)-F(1,0)+F(0,0) =1-e-3-e-8+e-11。 325 设二维随机变数(x,h)有密度函数 p(x,y)=
11、求常数A 222p(16+x)(25+y)A及(x,h)的密度函数。 解： =-p(x,y)dxdyA-p2(16+x2)(25+y2)dxdy 4AdxdyA=2=1220020p16+x25+y所以，A=20； F(x,y)=20xyx-yp(t,s)dtdsdtdsp2-(16+t2)(25+s2)y20xdtds=2()()22-p16+t25+s1xpyp=2(arctg+)(arctg+)4252p3.26 设二维随机变数(x,h)的密度函数为 4xy0x1,0y1 p(x,y)=0其它求P(0解： 111115(1)P(0x,h1)=214xydxdy=42xdx1ydy=;00
12、24644411x11,h1);(2)P(x=h);(3)P(xh);(4)P(xh)。 24(2)P(x=h)=(3)P(xh)=(4)P(xh)=x=y4xydxdy=0;124xydydx=2(x-x)dx=;00x2111xy4xydxdy=123.28 设(x,h)的密度函数为 10x1,0y2p(x,y)=2 其它0求x与h中至少有一个小于解： 12的概率。 1111P(x)(h120,h120)=1-P(x120)(h120)=1-P(x120)-P(h120)+P(x120,h120)=1-F(120+0,)-F(,120+0)+F(120+0,120+0) =1-(1-e-1
13、.2)-(1-e-1.2)+(1-2e-1.2+e-2.4)=e-2.40.093.31 设p1(x),p2(x)都是一维分布的密度函数，为使 p(x,y)=p1(x)p2(y)+h(x,y) 成为一个二维分布的密度函数，问其中的h(x,y)必需且只需满足什么条件？ 解：若p(x,y)为二维分布的密度函数，则 p(x,y)0,所以条件(1)h(x,y)-p(x,y)dxdy=1 p1(x)p2(y);(2)-h(x,y)dxdy=0得到满足。 反之，若条件，满足，则 p(x,y)0,p(x,y)为二维分布的密度函数。 因此，为使-p(x,y)dxdy=1 p(x,y)成为二维分布的密度函数，h
14、(x,y)必需且只需满足条件和。 3.32 设二维随机变数(x,h)具有下列密度函数，求边际分布。 2e-y+1p(x,y)=x30x1,y1其它(x2+y2)1-12ep(x,y)=p0x0,y0或x0,y0 其它0x1)x3x32e-y+1-y+1dx=e,(y1)3xx22px(x)=0,(x1) xpx(x)=1px(x)=0,(y1) 0时， 0px(x)=1-p1e1-(x2+y2)2dy=12pe-x0时， px(x)=px(x)=0p1e1-(x2+y2)2dy=12pe-x22所以，2pe-x22。同理，px(y)=12pe-y22。 xk1-11k2-1-ypx(x)=(y
15、-x)edy=xk2-1e-x,(x0) G(k1)G(k2)xG(k1)px(x)=0,(x0) ye-y1k1-1k2-1k1+k2-1ph(y)=x(y-x)dx=y,(y0)0G(k1)G(k2)G(k1+k2) ph(y)=0,(y0)3.34 证明：若随机变数x只取一个值a，则x与任意的随机变数h独立。 证：x的分布函数为 0xa Fx(x)=1xa设h的分布函数、(x,h)的联合分布函数分别为Fh(y),F(x,y)。 当xa时，F(x,y)=P(xx,ha时，F(x,y)=P(xx,hy)=P(hy)=Fx(x)Fh(y)。所以，对任意实数x,y，都有F(x,y)=Fx(x)F
16、h(y)，故x与h相互独立。 3.35 证明：若随机变数x与自己独立，则必有常数c，使P(x证：由于=c)=1。 ，所以P(xx)=P(xx,xx)=P(xx)P(xc故P(x=c)=1。 3.36设二维随机变量(x,h)的密度函数为 1p(x,y)=p0问x与h是否独立？是否不相关？ x2+y21其它解：px(x)=1-x2dy-1-x2p=21-x2p,(|x|1);px(x)=0,(|x|1)。 同理，ph(y)=21-y2p,(|y|1);ph(y)=0,(|y|1)。 由于p(x,y)px(x)ph(y)，所以x与h不相互独立。 又因p(x,y),px(x),ph(y)关于x或关于y
17、都是偶函数，因而Ex=Eh=E(xh)=0，故cov(x,h)=0， x与h不相关。 3.41 设某类电子管的寿命具有如下分布密度： 100x100p(x)=x2 x1000一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又是多少？ 解：设这类电子管的寿命为x，则 P(x150)=所以三个这类管子没有一个要替换的概率为1002dx= 150x23(2)3=8；三个这类管子全部要替换的概率是327(1-2)3=1。 3273.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间a,b内，求球体积的密度函数。 解：设球的直径为x，则其体积为
18、h=px316。1y=px36的反函数x=36yp,dx=2函数为 336py2dy。由x的密度函数px(x)=1(b-a)，axb，得h的密度2ph(y)=(b-a)336py203.45 设随机变数x服从N(0,1)分布，求x的分布密度。 解：在xp6a3yp6其它。b3,0时， P(xx)=P(-xxx)=所以x的分布密度 x12p-xe-t22dt。 px(x)=2/pe-x3.46 设随机变数x服从N(a,s解：为 22/2,(x0);px(x)=0,(x0,22sph(y)=2psy 0y0.3.47 随机变数x在任一有限区间a,b上的概率均大于0，其分布函数为Fx(x)，又h服从
19、0,1上的均匀分布。证明z=Fx-1(h)的分布函数与x的分布函数相同。 解：因为x在任一有限区间a,b上的概率均大于0，所以Fx(x)是严格上升函数。由于0,1上的均匀=P(xx)=P(Fx(h)x)=P(hFx(x)=Fx(x)，对任-1分布，所以z的分布函数Fx(x)意的x都成立。所以z与x的分布函数相同。 3.48 设随机变量x与h独立，求x分布，且a解+h的分布密度。若x与h分布服从(a,b)及(a,b)上的均匀ab0。 px(x)=1/(b-a),axb;px(x)=0,其它。 =1/(b-a),axb;ph(y)=0，其它。 ph(x)px+h(x)=px(x-y)ph(y)dy
20、 - =1man(x-b,a)(b-a)(b-a)dy min(x-a,b) = min(x-a,b)-max(x-b,a)/(b-a)(b-a),a+axb+b;px+h(x)=0，其它。px(x)=1/a,-ax0;px(x)=0，其它， =1/a,0xa;ph(x)=0，其它。 min(x+a,a)max(x,0) ph(x)px+h(x)=px(x-y)ph(y)dy=-1/a2dy =min(x+a,a)-max(x,0)/a2 a-xa2 =,-ax0) 2apx(x)=ph(x)=-1-x/ae， 2apx+h(x)=px(x-y)ph(y)dy， 当x0时， px+h(x)=1
21、|x-y|+|y|exp-dy-4a2ax-y-yx-y+yax-10-=2eady+e04a-1x-x=(1+)ea4aady+ex-y-x+yady 当x0x0x0 x0，求x+h的分布密度。 0时， px+h(x)=me-m(x-y)le-lydy0x=mle-mxe-(l-m)ydy0xml-mx-lx(l-m)ee,lm=2-lxl=mlxe,x0时， px+h(x)=0 3.53 设随机变量x与h独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求|x解：-h服从(-1,0)上的均匀分布，据3.48(2)知， -h|的分布。 x+1-1x0 px-h(x)=min(x+1,1)-max(x,0)
22、=1-x0x1在0x1时，|x-h|的分布函数 F(x)=P(|x-h|x)=P(-xx-hx)=(t+1)dt+(1-t)dt=2x-x-x00x2所以|x-h|的分布密度为 2(1-x)0x0得p-h(x)=memx,x0时， px-h(x)=lex-lmmem(x-y)-lxlmedy=(l+m) 所以 lmemxx0(l+m)px-h(x)= -lxlmex0(l+m)3.56 设随机变量x与h独立，且分别具有密度函数为 1px(x)=p1-x20xxe-ph(y)=02|x|0 x0证明xh服从N(0,1)分布。 证：由ph(x)=xe-x22,x0得p1(x)=xeh-3-12x2
23、,x0。故 pxh(y)=px1h(y)=|x|px(yx)ph(x)dx -令12x22y=u+2，则 pxh(y)=所以xh服从N(0,1)分布。 12pe-y220ue-udu=-1212pe-y223.58 设随机变量x与h独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求xh的密度函数。 1解：px(x)=px(xz)ph(z)|z|dz=zpx(xz)dz -a0h当01时 1px(x)=2ah所以0zdz=12x2xh的密度函数为 0x0px(x)=1012x23.59 设随机变量x与h独立，都服从参数为l的指数分布，求解：在xxh的密度函数。 0时， px(x)=px(xy)ph(y)|y
24、|dyh-=在x01l2e-lxye-lyydy=(x+1)20时，px(x)=0。 h3.60 设二维随机变量(x,h)的联合分布密度为 1+xy|x|1,|y|11x11+ty2P(xx)=(dy)dt=x011y11+txP(h2y)=(dx)dt=y011x01P(x2x,h21,0y1 xy0x,y1其它0所以对一切的x,y，都有P(x2x,h2y)=P(x2x)P(h2y)，故x2与h2相互独立。 3.61 设随机变量x具有密度函数 pp2cos2x-xp(x)=p22其它0求Ex,Dx。 p解：Ex=p2x-22pcos2xdx=0 pDx=Ex=px-22222pcosxdx=
25、2p212-1 23.62 设随机变量x具有密度函数 xp(x)=2-x0求Ex及Dx。 解 Ex Ex Dx0x11x2 其它=xdx+x(2-x)dx=1， 012122=xdx+x2(2-x)dx=7/6， 01132=Ex2-(Ex)2=1/6。 3.63 设随机变量x的分布函数为 0F(x)=a+barcsinx1试确定常数(a,b)，并求Ex与Dx。 解：由分布函数的左连续性， x-1-1x1 x1a+barcsin1=1, a+barcsin0=0,故a=1/2,b=1/p1。 11Ex=xd(+arcsinx) -12p =1x-1p1-x2dx=0， Dx=Ex=1x-1p1
26、-x2dx=2p1x2dx1-x20=2pp/20sin2tdt=1/2。 3.64 随机变量x具有密度函数 Axae-x/f,x1,b0,求常数A,Ex及Dx。 解：1=0Axae-x/bdx=Aba+1yae-ydy 0b =Ab故 a+1T(a+1)， A=1。 ba+1T(a+1)Ex=Axa+1e-x/bdx=Aba+2T(a+2)=(a+1)b,0Ex=Ax0a+2e-x/bdx=Aba+3T(a+3) =(a Dx+1)(a+2)b2 =Ex2-(Ex)2=(a+1)b2 11)上的均匀分布，求h=sinpx的数学期望与方差。 2,23.66 设随机变量x服从(-解：Eh=sin
27、pxdx=0, 2121-2121-2Dh=Eh=sin2pxdx=1/2。 3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。 解：设旅客候车时间为x，则x服从0,300上的均匀分布，则 3001xdx=150， 03003001Ex2=x2dx=30000(秒2）， 0300Ex=。 Dx=30000-1502=7500(秒2）3.71 设x1,x2,Kxn为正的且独立同分布的随机变量，证明：对任意的k(1kn)，有 x1+L+xkEx+L+xn1证：k=n。 nExj/xii=1xj/xii=1n同分布(j=1,L,n)，又xj/xi1
28、，所以i=1n都存在且相等nnn(j=1,L,n)。由于1=Exi/xi=nEx1/xi，所以 i=1i=1i=1x1+L+xkEx+L+xn1nk=kEx/x1i=n。 i=13.72 设x是非负连续型随机变量，证明：对x0，有 P(xx)1-证：P(xExx。 x)=px(t)=1-px(t)dt 0xx1-=1-xt1px(t)dt1-tpx(t)dt xx0。 Exx3.73 若对连续型随机变量x，有Exr(re)Exrer。 证：P(xe)=1xepx(x)dxrxxerrrepx(x)dx er-xpx(x)=Ex/er。 3.75 已知随机变量x与h的相关系数为r，求x1=ax+b与h1=ch+d的相关系数，其中a,b,c,d均为常数，a,c皆不为零。 解：rxh11=E(x1-Ex1)(h1-Eh1)E(x1-Ex1)E(h1-Eh1)22=accov(x,h)aDxcDh=rac0ac r=ac-rac0-1。 n-13.81设随机变量x1,x2,L,xn中任意两个的相关系数都是r，试证：r证：0Enni=1(x-Ex)ii2=i=1Dxi+2rn1ijnDx1Dxjii=1Dxi=1+r=故1+!ijn(Dx+Dxj) ni=1Dx11+r(n-1)， r(n-1)0,r-1。 n-13.84证明下述不等式： 若x与h都有
