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1、河南科技大学数值分析期末复习画题资料1. 数值积分公式形如 10f(x)dx=A0f(0)+A1f(1)+B0f(0) (1) 试确定求积公式中的参数A0,A1,B0，使其代数精度尽可能高.并求出其代数精度。 (2) 已知该求积公式余项Rf=kf(x),x(0,1),试求出余项中的参数k。 解：f(x)=1时，左=110f(x)dx=1，右=A0+A1，左右得：A0+A1=1 11，右=B0+A1，左右得：B0+A1= 022111f(x)=x2时，左=f(x)dx=，右=A1，左右得：A1= 033f(x)=x时，左=f(x)dx=联立上述三个方程，解得： 211A0=,B0=,A1= 36
2、3111f(x)=x3时，左=f(x)dx=，右=A1=，左右 043所以，该求积公式的代数精度是2 解：过点0，1构造f(x)的Hermite插值H2(x)，因为该求积公式代数精度为2，所以有： 10H2(x)dx=A0H2(0)+A1H2(0)+B0H2(0)=A0f(0)+A1f(1)+B0f(0) 1其求积余项为： R(f)=f(x)dx-A0f(0)+A1f(1)+B0f(0) 0=f(x)dx-H2(x)dx=001110f(h)2x(x-1)dx 3!=f(z)12x(x-1)dx 03!f(z)=- 72所以，k=-1 72y=3x+2y2. 设初值问题 y(0)=10x1 所
3、以,用Gauss-Seidel迭代法求解该方程组是发散的. 9.证明(10分) 1.设f(x)C3a,b,已知插值节点a=x0x1x2=b,且xi-xi-1=h,i=1,2,证明: (1)f(x)在a,b上的线性插值函数L1(x)的误差界为 (b-a)2maxf(x)-L1(x)maxf(x) axbaxb8(2)二次插值多项式L2(x)的误差界为 3h3maxf(x)-L2(x)maxf(x) axb27axb1证明: 因为L1(x)是f(x)在a,b上的线性插值函数 所以有插值余项公式可知其插值余项为：R1(x)=f(x)(x-a)(x-b)，其中axb 2!f(x)即：f(x)-L1(x
4、)=(x-a)(x-b) 2!令g(x)=(x-a)(x-b)，axb (b-a)2(b-a)2易知：g(x)-，所以：g(x) 44maxf(x)-L1(x)=maxaxbaxbf(x)(x-a)(x-b) 2!f(x)(b-a)2maxf(x) maxg(x)maxaxbaxbaxb82!10. 证明: 因为L2(x)是f(x)在a,b上的二次插值多项式 可知其插值余项为：R2(x)=即：f(x)-L2(x)=f(x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)，其中x0xx2 2!f(x)(x-x0)(x-x1)(x-x2) 3!令g(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)，x0xx2 令x
5、=x1+th,由x0xx2可知-1t1 g(x)=g(x1+th)=h3t(t2-1) 令j(t)=t3-t，则j(t)=3t-1=0t=23 33323所以，maxj(t)=maxj(-1),j(- ),j(-),j(-1)=-1t1339maxf(x)-L1(x)=maxaxbaxbf(x)(x-x0)(x-x1)(x-x2) 3!f(x)3!maxg(x)maxaxbaxb233133hmaxf(x)=hmaxf(x) axb93!27axby=x-y11用Euler方法求解初值问题 y(0)=0取h=0.1在区间0,0.3计算,结果保留到小数点后4位。(10分） .解：Euler公式是
6、： yn+1=yn+hf(xn,yn) y(x0)=y0具体到本题中，求解的Euler公式是： yn+1=yn+0.1(xn-yn)=0.9yn+0.1xn y(0)=0代入求解得：y1=0 y2=0.01 y3=0.029 12. 用LU分解法解线性方程组 123x114252x2=18 315x203解，设A可以三解分解，即 1A=LU=l211l31l32由矩阵的乘法及矩阵相等可得： u11u12u221u13u23 u333112L=21U=1-4， 3-51-24令Ux=y,则Ax=b可转化为两个等价的三角方程组：Ly=b,Ux=y 求解三角方程组：Ly=b，得：y=(14,-10,
7、-72)T 求解三角方程组：Ux=y，得：x=(1,2,3)T 所以，原方程组的解为：x=(1,2,3)T 13试证明线性二步法： yn+1=yn-1+hf(xn+1,yn+1)+f(xn-1,yn-1) 的局部截断误差与h同阶，并求出截断误差的首项。 3-1，yn+1在xn处用Taylor公式展开得： 证明：分别将yn-1，ynh+ yn-1=yn-yn2ynynh-h3+o(h3) 2!3!y-1=yn-ynh+nh2+o(h2) yn2!y+1=yn+ynh+nh2+o(h2) yn2!25yn3ynh+h+o(h3) 2!6将以上三式代入线性二步法中，得： h+ yn+1=yn+yn又方程的真解的Taylor展式为： y(xn+1)=y(xn)+y(xn)h+所以，局部截断误差为： y(xn)2y(xn)3h+h+o(h3) 2!3!2h3+o(h3) yn32h3 所以，该方法是二阶的，局部截断误差首项为：-yn3Tn+1=y(xn+1)-yn+1=-
