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1、洛必达必做题2-7 1. 已知y=x3-x, 计算在x=2处当Dx分别等于1, 0.1, 0.01时的Dy及dy. 解 Dy|x=2, Dx=1=(2+1)3-(2+1)-(23-2)=18, dy|x=2, Dx=1=(3x2-1)Dx|x=2, Dx=1=11; Dy|x=2, Dx=0.1=(2+0.1)3-(2+0.1)-(23-2)=1.161, dy|x=2, Dx=0.1=(3x2-1)Dx|x=2, Dx=0.1=1.1; Dy|x=2, Dx=0.01=(2+0.01)3-(2+0.01)-(23-2)=0.110601, dy|x=2, Dx=0.01=(3x2-1)Dx|
2、x=2, Dx=0.01=0.11. 2. 设函数y=f(x)的图形如图所示, 试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、Dy及Dy- dy并说明其正负. 解 (a)Dy0, dy0, Dy-dy0. (b)Dy0, dy0, Dy-dy0. (c)Dy0, dy0, Dy-dy0. (d)Dy0, dy0. 3. 求下列函数的微分: (1)y=1+2x; x (2) y=x sin 2x ; (3)y=x; x2+1 (4) y=ln2(1-x); (5) y=x2 e2x ; (6) y=e-xcos(3-x); (7)y=arcsin1-x2; (8) y=tan2(
3、1+2x2); 2 (9)y=arctan1-x2; 1+x (10) s=A sin(wt+j) (A, w, j是常数) . 解 (1)因为y=-12+1, 所以dy=(-12+1)dx. xxxx (2)因为y=sin2x+2x cos2x , 所以dy=(sin2x+2x cos2x)dx. 11, 所以dy=dx. (x2+1)x2+1(x2+1)x2+1 (4)dy=ydx=ln2(1-x)dx=2ln(1-x)-1dx=2ln(1-x)dx. (1-x)x-1 (5)dy=ydx=(x2e2x)dx=(2x e2x+2 x2e2x)dx =2x(1+x) e2x. (6) dy=
4、ydx=e-xcos(3-x)dx=-e-xcos(3-x)+e-xsin(3-x)dx=e-xsin(3-x)-cos(3-x)dx . 1x (7)dy=ydx=(arcsin1-x2)dx=(-2)dx=-dx. 1-(1-x2)1-x2|x|1-x2 (8) dy=dtan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)dtan(1+2x2)=2tan(1+2x2)sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)sec2(1+2x2)4x dx=8xtan(1+2x2)sec2(1+2x2)dx . 211-x2) (9)dy=darctan1-x2=d(1+x1+(1-x2)
5、21+x21+x2-2x(1+x2)-2x(1-x2)1 =dx=-4x4dx. 222(1+x)1+x1+(1-x2)21+x (10) dy=dAsin(w t+j) =Acos(w t+j)d(wt+j)= Aw cos(wt+j)dx . 4. 将适当的函数填入下列括号内, 使等式成立: (1) d( )=2dx ; (2) d( )=3xdx ; (3) d( )=costdt ; (4) d( )=sin wxdx ; (5) d( )=1dx; x+1 (6) d( )=e-2xdx ; (7) d( )=1dx; x (8) d( )=sec23xdx . 解 (1) d( 2
6、x+C )=2dx . (2) d(3x2+C)=3xdx . 2 (3) d( sin t+C )=costdt . (4) d(-1coswx+C)=sin wxdx . x2+1-xx2+1= (3)因为y=x2+1w (5) d( ln(1+x)+C )=1dx. x+1 (6) d(-1e-2x+C)=e-2xdx . 2 (7) d(2x+C)=1dx. x (8) d(1tan3x+C)=sec23xdx . 3) 5. 如图所示的电缆AOB的长为s, 跨度为2l, 电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f, 则电缆长可按下面公式计算: 2f2 s=2l(1+2), 3l当f变化了
7、Df时, 电缆长的变化约为多少？ 2f2 解 DSdS=2l(1+2)df=8fDf. 3l3l 6. 设扇形的圆心角a=60, 半径R=100cm(如图), 如果R不变, a 减少30, 问扇形面积大约改变了多少？又如果a 不变, R增加1cm, 问扇形面积大约改变了多少？ 解 (1)扇形面积S=1aR2, 2da=1R2Da. DSdS=(1aR2)a22将a=60=p, R=100, Da=-30=-p 代入上式得 3603 DS11002(-p)-43.63(cm2). 2360 (2) DSdS=(1aR2)RdR=aRDR. 2将a=60=p, R=100, DR=1代入上式得 3
8、 DSp1001104.72(cm2). 3 7. 计算下列三角函数值的近似值: (1) cos29; (2) tan136. 解 (1)已知f (x+Dx)f (x)+f (x)Dx, 当f(x)=cos x时, 有cos(x+Dx)cos x-sin xDx , 所以 cos29=cos(p-p)cosp-sinp(-p)=3+1p0.87467. 61806618022180 (2)已知f (x+Dx)f (x)+f (x)Dx, 当f(x)=tan x时, 有tan(x+Dx)tan x+sec2xDx, 所以 tan136=tan(3p+p)tan3p+sec23pp=-1+2p-0
9、.96509. 418044180180 8. 计算下列反三角函数值的近似值 (1) arcsin0.5002; (2) arccos 0.4995. 解 (1)已知f (x+Dx)f (x)+f (x)Dx, 当f(x)=arcsin x时, 有 arcsin(x+Dx)arcsinx+1Dx, 1-x2所以 1 arcsin0.5002=arcsin(0.5+0.0002)arcsin0.5+0.0002 1-0.52 =p+20.00023047. 63 (2)已知f (x+Dx)f (x)+f (x)Dx, 当f(x)=arccos x时, 有 arccos(x+Dx)arccosx-
10、1Dx, 1-x2所以 1 arccos0.4995=arccos(0.5-0.0005)arccos0.5-(-0.0005) 1-0.52 =p+20.0005602. 33 9. 当x较小时, 证明下列近似公式: (1) tan xx (x是角的弧度值); (2) ln(1+x )x ; (3)11-x, 1+x并计算tan45 和ln1.002的近似值. (1)已知当|Dx|较小时, f(x0+Dx)f(x0)+f (x0)Dx, 取f(x)=tan x, x0=0, Dx=x, 则有 tan x=tan(0+x)tan 0+sec20x=sec20x=x . (2)已知当|Dx|较小
11、时, f(x0+Dx)f(x0)+f (x0)Dx, 取f(x)=ln x , x0=1, Dx=x, 则有 ln(1+x)ln1+(ln x)|x=1x=x . (3)已知当|Dx|较小时, f(x0+Dx)f(x0)+f (x0)Dx, 取f(x)=1, x0=1, Dx=x, 则有 x11+(1)|x=1-x. 1+xxx=1 tan45450.01309; ln(1.002)=ln(1+0.002) 0.002. 10. 计算下列各根式的的近似值: (1)3996; (2)665. 1 解 (1)设f(x)=nx, 则当|x|较小时, 有f(1+x)f(1)+f(1)x=1+x, n
12、3996=31000-4=1031-410(1-14)9.987. 1000310001 (2)设f(x)=nx, 则当|x|较小时, 有f(1+x)f(1)+f(1)x=1+x, 于是 n65=664+1=261+12(1+11)2.0052. 64664 11. 计算球体体积时, 要求精确度在2%以内, 问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？ 解 球的体积为V=1pD3, dV=1pD2DD, 因为计算球体体积时, 要求精度在2%以内, 所62以其相对误差不超过2%, 即要求 1pD2DD=3DD2%, dV=21pD3VD6所以 DD2%, D3也就是测量直径的相对误差不能超过2%. 3 12. 某厂生产如图所示的扇形板, 半径R=200mm, 要求中心角a为55. 产品检验时, 一般用测量弦长l 的办法来间接测量中心角a, 如果测量弦长l 时的误差d1=0.1mm, 问此而引起的中心角测量误差d x是多少？ 解 由l=Rsina得a=2arcsinl=2arcsinl, 2R400226当a=55时, l=2Rsina=400sin27.5184.7, 211dl. d a=|al|dl=24001-(l)2400 当l=184.7, d l=0.1时, 110.10.00056(弧度). da=24001-(184.7)2400
