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1、特征方程法求递推数列的通项公式大毛毛虫倾情奉献精品资料 特征方程法求解递推关系中的数列通项 一、设已知数列an的项满足a1=b,an+1=can+d,其中c0,c1,求这个数列的通项公式。 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程x=cx+d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为x0，则当x0=a1时，an为常数列，即an=a1;当x0=a1时,an=bn+x0，其中bn是以c为公比的等比数列
2、，即bn=b1cn-1,b1=a1-x0. 证明：因为c0,1,由特征方程得x0=bn-1d.作换元bn=an-x0,则1-cdcd=an-1-x0=can+d-=can-=c(an-x0)=cbn. 1-c1-c当x0a1时，b10，数列bn是以c为公比的等比数列，故bn=b1cn-1; 当x0=a1时，b1=0，bn为0数列，故an=a1,nN. 下面列举两例，说明定理1的应用. 1313解：作方程x=-x-2,则x0=-. 32311当a1=4时，a1x0,b1=a1+=. 221数列bn是以-为公比的等比数列.于是3111133111bn=b1(-)n-1=(-)n-1,an=-+bn
3、=-+(-)n-1,nN. 3232223例1已知数列an满足：an+1=-an-2,nN,a1=4,求an. 例2已知数列an满足递推关系：an+1=(2an+3)i,nN,其中i为虚数大毛毛虫倾情奉献精品资料 大毛毛虫倾情奉献精品资料 单位。当a1取何值时，数列an是常数数列？ 解：作方程x=(2x+3)i,则x0=-6+3i.要使an为常数，即则必须5a1=x0=-6+3i. 5二、定理2：对于由递推公式an+2=pan+1+qan，a1=a,a2=b给出的数列an，方程x2-px-q=0，叫做数列an的特征方程。 若x1,x2是特征方程的两个根，当x1x2时，数列an的通项为n-1，其
4、中A，B由a1=a,a2=b决定；当x1=x2+Bx2n-1时，数列an的通项为an=(A+B)x1，其中A，B由a1=a,a2=b决n-1定。 例3：已知数列an满足a1=a,a2=b,3an+2-5an+1+2an=0(n0,nN)，求数列an的通项公式。 解法一 由3an+2-5an+1+2an=0，得 an+2-an+1=2(an+1-an)， 3且a2-a1=b-a。 则数列an+1-an是以b-a为首项，2为公比的等比数列，于是 32an+1-an=(b-a)n-1。把n=1,2,3,n代入，得 3大毛毛虫倾情奉献精品资料 大毛毛虫倾情奉献精品资料 a2-a1=b-a， 2a3-a
5、2=(b-a)， 32a4-a3=(b-a)2， 3 2an-an-1=(b-a)n-2。 3把以上各式相加，得 21-n-12223an-a1=(b-a)1+n-2=(b-a)。 23331-322an=3-3n-1(b-a)+a=3(a-b)n-1+3b-2a。 33解法二：数列an：3an+2-5an+1+2an=0(n0,nN)， a1=a,a2=b的特征方程是：3x2-5x+2=0。 Qx1=1,x2=2, 32n-1=A+Bn-1。 an=Ax1n-1+Bx23又由a1=a,a2=b，于是 a=A+BA=3b-2a 2b=A+BB=3(a-b)3故an=3b-2a+3(a-b)23
6、n-1三、(分式递推式)定理3：如果数列an满足下列条件：已知a1的值且对于nN，都有an+1=pan+q，那么，可作特征方程x=. rrx+h当特征方程有两个相同的根l时， 若a1=l,则an=l,nN; 若a1l，则an=1+l,nN,bn其中bn=1r当存在n0N,使bn0=0时，+(n-1),nN.特别地，a1-lp-rl无穷数列an不存在. 当特征方程有两个相异的根l1、l2时，则an=l2cn-l1cn-1，nN, 其中cn= a1-l1p-l1rn-1,nN,(其中a1l2). a1-l2p-l2ran+4,且a1=3,求2an+3例3、已知数列an满足性质：对于nN,an-1=
7、an的通项公式. 解:依定理作特征方程x=x+4,变形得2x2+2x-4=0,其根为2x+3l1=1,l2=-2.故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第部分，则有 cn=a1-l1p-l1rn-13-11-12n-1=,nN. a1-l2p-l2r3+21-2221n-1(-),nN. 55cn=大毛毛虫倾情奉献精品资料 大毛毛虫倾情奉献精品资料 21-2(-)n-1-1lc-l155an=2n=,nN. 21cn-1(-)n-1-155(-5)n-4即an=,nN. n2+(-5)例5已知数列an满足：对于nN,都有an+1=若a1=5,求an; 若a1=3,求an; 若a1=6,求an;
8、 当a1取哪些值时，无穷数列an不存在？ 13an-25. an+313x-25.变形得x2-10x+25=0, x+3特征方程有两个相同的特征根l=5.依定理2的第部分解答. 解：作特征方程x=(1)a1=5,a1=l.对于nN,都有an=l=5; (2)a1=3,a1l. bn= =1r+(n-1) a1-lp-rl11+(n-1) 3-513-151n-1, =-+28令bn=0，得n=5.故数列an从第5项开始都不存在， 当n4，nN时，an=15n-17+l=. bnn-5大毛毛虫倾情奉献精品资料 大毛毛虫倾情奉献精品资料 (3)a1=6,l=5,a1l. bn=1rn-1+(n-1
9、)=1+,nN. a1-lp-lr8令bn=0,则n=-7n.对于nN,bn0. an=1+l=bn15n+43+5=,nN. n-1n+71+8(4)、显然当a1=-3时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第小题的解答过程知，a1=5时，数列an是存在的，当a1l=5时，则有bn=a1=1r1n-1+(n-1)=+,nN.令bn=0,则得a1-lp-lra1-585n-13,nN且n2. n-15n-13当a1=时，数列an从第n项开始便不n-1存在. 于是知：当a1在集合-3或数列an都不存在. 练习题： 求下列数列的通项公式： 1、 在数列an中，求an。 2、 在数列an中，a1=1,
10、a2=5,且an=5an-1-4an-2，求an。 3大毛毛虫倾情奉献精品资料 大毛毛虫倾情奉献精品资料 3、 在数列an中，求an。 4、 在数列an中，a1=3,a2=2,an+2=21an+1+an，求an。 44351,an+2=(4an+1-an)，求an。 6、 在数列an中，且p+q=1.求an.a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan， an=1+q7、 在数列an中，a1=a,a2=a+b,pan+2-(p+q)an+1+qan=0pqn-1.求an.(p=q) 8、在数列an中，a1,a2给定，an=ban-1+can-2.求bn-1-an-1c(bn-2-an-2
11、)a2+a1(ab)；若a=b，an.(key:an=b-ab-a上式不能应用，此时，an=(n-1)a2a 附定理3的证明 定理3(分式递推问题)：如果数列an满足下列条件：已知a1的值且对于大毛毛虫倾情奉献精品资料 n-2-(n-2)a1an-1. 大毛毛虫倾情奉献精品资料 nN，都有an+1=pan+q，那么，可作特征方程x=. rrx+h当特征方程有两个相同的根l时， 若a1=l,则an=l,nN;若a1l，则an=1+l,nN,其中bnbn=1r当存在n0N,使bn0=0时，+(n-1),nN.特别地，a1-lp-rl无穷数列an不存在. 当特征方程有两个相异的根l1、l2时，则nN
12、,其中an=l2cn-l1cn-1，cn=a1-l1p-l1rn-1,nN,(其中a1l2). a1-l2p-l2r证明：先证明定理的第部分. 作交换dn=an-l,nN 则dn+1=an+1-l=pan+q-l ran+h =an(p-lr)+q-lhran+h(dn+l)(p-lr)+q-lhr(dn+l)+h =dn(p-lr)-rl2+l(h-p)-q = rdn+h-rl大毛毛虫倾情奉献精品资料 大毛毛虫倾情奉献精品资料 l是特征方程的根，l=将该式代入式得dn+1=将x=故 特pl+qrl2+l(h-p)-q=0. rl+hdn(p-lr),nN. rdn+h-lrp代入特征方程可
13、整理得ph=qr,这与已知条件phqr矛盾.rp,于是p-lr0. 征方程的根lr当d1=0，即a1=d1+l=l时，由式得bn=0,nN,故an=dn+l=l,nN. 当d10即a1l时，由、两式可得dn0,nN.此时可对式作如下变化： 1dn+1=rdn+h-lrh+lr1r=+. dn(p-lr)p-lrdnp-lrpx+qp-h. 的两个相同的根可以求得l=rx+h2rp-hh+rh+lrh+p2r =1, p-hp-lrp+hp-r2r由l是方程x=将此式代入式得1dn+1=1r+,nN. dnp-lr令bn=r1,nN.故数列bn是以,nN.则bn+1=bn+p-lrdnr为公差的
14、等差数列. p-lrbn=b1+(n-1)r,nN. p-lr大毛毛虫倾情奉献精品资料 大毛毛虫倾情奉献精品资料 其中b1=11=. d1a1-l1+l,nN. bn当nN,bn0时，an=dn+l=当存在n0N,使bn0=0时，an0=dn0+l=无穷数列an是不存在的. 再证明定理的第部分如下： 1+l无意义.故此时，bn0特征方程有两个相异的根l1、l2，其中必有一个特征根不等于a1，不妨令l2a1.于是可作变换cn=an-l1,nN. an-l2故cn+1=an+1-l1pan+q，将an+1=代入再整理得 an+1-l2ran+hcn+1=an(p-l1r)+q-l1h,nN an(
15、p-l2r)+q-l2hp不是特征方程的根，故r由第部分的证明过程知x=l1pp,l2. rr故p-l1r0,p-l2r0.所以由式可得： cn+1q-l1hp-l1rp-l1r=,nN q-l2hp-l2ran+p-l2ran+px+q有两个相异根l1、l2方程rx+h特征方程x=大毛毛虫倾情奉献精品资料 大毛毛虫倾情奉献精品资料 rx2+x(h-p)-q=0有两个相异根l1、l2，而方程-x=rx2-x(h-p)-q=0又是同解方程. q-xh与方程p-xrq-l1hq-l2h=-l1,=-l2 p-l1rp-l2rp-l1ran-l1p-l1r=cn,nN p-l2ran-l2p-l2rp-l1r.此时对p-l2r将上两式代入式得 cn-1=当c1=0,即a1l1时，数列cn是等比数列，公比为于nN都有 cn=c1(p-l1rn-1a-l1p-l1rn-1)=(1). p-l2ra1-l2p-l2r当c1=0即a1=l1时，上式也成立. 由cn=an-l1且l1l2可知cn=1,nN. an-l2所以an=l2cn-l1cn-1,nN.(证毕) 注:当ph=qr时,pan+qpan+q会退化为常数;当r=0时,an+1=ran+hran+h可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述. 大毛毛虫倾情奉献精品资料
