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1、球面平均法和泊松公式7.2 球面平均法和泊松公式 一 本节主要思想 对三维波动方程的初值问题，先假设已知空间某一点M(x,y,z)的振动u(x,y,z,t)，然后以M点为发射子波的波源，根据球面波的对称性，可根据加权平均的思想来考察球面SrM的平均振动u(r,t)，从而将问题归结为两个自变量的一维波动方程，最后采用极限的思想，令r=0，即可得到M点的振动u(x,y,z,t) 对二维波动方程的初值问题，采用将其上升到三维空间的思想，根据已有的三维波动方程的泊松公式，获得此问题的三维解，再采用降维法，最终获得二维解 二 三维波动方程的初值问题，泊松公式 三维波动方程初值问题解的泊松公式 考察三维波
2、动方程的初值问题： 2utt=aDu ut=0=j(x,y,z),utt=0=y(x,y,z)t0,-x,y,z(1)-x,y,z(2)以SrM表示以点M(x,y,z)为心，半径为r的球面，以dw表示S1的面元，则Sr的面元dS=r2dw 注：dw=sinqdqdj2dS=rsinqdqdjdS=r2dw 下面用加权平均的思想求函数u(x,y,z,t)在球面SrM上的平均值u(r,t)： u(r,t)=14pr2Msru(x,h,z,t)dS(3) (x,h,z)SrM,x=x+ra1,h=y+ra2,z=z+ra3,(4)a1=sinqcosj,a2=sinqsinj,a3=cosq(5)注
3、：、实际上是球的参数方程的表达式 式也可写成 u(r,t)=214pMsru(x+ra1,y+ra2,z+ra3,t)dw， 2注：由于dS=rsinqdqdj=rdw不含dr,故可将由此可知u12放入积分号中r，与正好约掉 2rr=0=u(x,y,z,t)，所以，为了求u可以先求u 下面就来讨论如何求u： 注意到r=(x-x)2+(y-h)2+(z-z)2，容易算得 uurux-x= xrxrr2ur2-(x-x)2u(x-x)22u=+ 2322xrrrr2u2u同理，可求出2和2，将他们相加，得到 yz2u2u12+=(ru) Du= rrr2rr2注： u(ru)=r+urr2uu2u
4、 (ru)=(r+u)=2+r2 r2rrrr122u2u所以，2(ru)=+rrrrr2将方程两端取球面平均，即得 a22(ru) utt=aDu=rr22等式两边同乘以r得 2(ru)-a(ru)=0 t2r22注：r与时间t无关，所以可将r放入算子2中 t这是关于ru的一维波动方程，其通解为 ru=f1(r-at)+f2(r+at) 令r=0，得 0=f1(-at)+f2(at) 从而知f1(a)=-f2(-a)，故有 ru=f1(r+at)-f2(at-r) 注： a的取值范围应是(-,0) 我们所关心的是r-at0，表明振动还未传至所考察的球面，这样就无法考察M点的振动 为求ur=0
5、，将上式对r求导，得 u(ru)=u+r=f2(r+at)+f2(at-r) rr令r=0，即得 u(x,y,z,t)=ur=0=2f2(at) 所以，为求u，只需求f2为此将式再对t求导，得 (ru)=af(r+at)-f(at-r)22 r由、两式得 1(ru)+(ru=)2(rat). 2f+rat在上式中令t=0，并注意到式和初始条件式，即得 12f2(r)=ru(+)ru()atrt=01u1udS+dS =MMSSrr4prratrt=0j1ydS+dSSrMrSrMrrat注意到式，在上式中令r=at，即得三维波动方程初值问题、的解为 =14p) u(x,y,z,t=14pj(xh,z,)yx(hz,) dS+dSMMSSratattr式称为泊松公式
