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1、课题:3.4基本不等式,主讲人:陈菁菁,第一课时,如图，这是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？,一 问题引入,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,a,b,1、正方形ABCD的面积S=,、四个直角三角形的面积和T=,、S与T有什么样的不等关系？,探究：,ST,问：那么它们有相等的情况吗？,猜想：一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,(
2、ab),(ab),思考：你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立,文字叙述为:,两数的平方和不小于它们积的2倍.,适用范围：,a,bR,问题一,问题一,替换后得到：,即：,即：,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,问题二,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然,是成立的.当且仅当a=b时,中的等号成立.,分析法,证明不等式：,问题二,特别地，若a0，b0，则,通常我们把上式写作：(a0，b0),当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术
3、平均数，叫做正数a，b的几何平均数；,文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,适用范围：,a0,b0,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a,b表示CD?CD=_,如何用a,b表示OD?OD=_,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,如何用a,b表示CD?CD=_,如何用a,b表示OD?OD=_,OD与CD的大小关系怎样?OD_CD,如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C
4、是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较：,注意从不同角度认识基本不等式,已知 并指出等号 成立的条件.,练习：已知 与2的大小关系,并说明理由.,三、例题讲解 例1 利用基本不等式判断代数式的大小关系,1.重要不等式：a+b 2ab,四、课堂小结,（a、bR）,(当且仅当a=b时取“=”号),基本不等式：,（a0,b0）,(当且仅当a=b时取“=”号),2.证明不等式的三种基本方法：综合法，分析法，比较法3.基本不等式在几何、代数两方面的意义,五、布置作业课本第100页习题A组第1题,谢谢各位老师指导,有关的数学名言数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明,
