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1、第十一章 20世纪数学概观（）纯粹数学的发展,要全面了解和把握20世纪数学非常困难，我们可以从纯粹数学、应用数学、计算数学三大领域来说明20世纪的数学特征。,20世纪纯粹数学的发展主要表现出如下的主要特征或趋势：（1）更高的抽象性；（2）更强的统一性；（3）更深入的基础探讨。,11.1 新世纪的序幕,1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为数学问题的著名演讲。希尔伯特在讲演的前言和结束语中，对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了许多精辟的见解。,整个演说的主体，则是他根据19世纪数学成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域。一个世纪以
2、来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。,11.2 更高的抽象,更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势或特征，这一趋势最初主要是受到两大因素的推动，即集合论观点与公理化方法。集合论观点和公理化方法在向传统数学理论的渗透过程中，催生了许多数学新分支的形成，极大改观数学理论的传统面貌。,11.2.1 勒贝格积分与实变函数论,集合论的观点在20世纪初首先引起了积分学的变革，从而导致了实变函数论的建立。这方面首先获得成功的是法国数学家勒贝格。他在1902年发表的博士论文中利用以集合论为基础的“测度”概念建立了所谓“勒贝格积分”。,11.2.2 泛函分析,关于泛函的抽象理论在19世纪末20世纪初
3、首先由意大利数学家伏尔泰拉和法国数学家阿达马在变分法的研究中开创。“泛函”这个名称就是由阿达马首先采用的。伏尔泰拉称之为曲线的函数。,泛函分析的另一个来源是积分方程理论。19世纪末，瑞典数学家弗雷德霍姆创造了一种优美的方法来处理某类特殊的积分方程（现称弗雷德霍姆方程）。,1904-1910年间，希尔伯特通过严密的极限过程将有限线性代数方程组的结果有效地类比推广到积分方程。构成后来所说的“希尔伯特空间”，这是历史上第一个具体的无穷维空间。通常也叫内积空间。,数学家们又陆续发现了其他等价于无穷维希尔伯特空间的例子，它们都是以函数为元素的集合，通过一定的约束关系，构成了抽象的函数空间。粗略地说，泛函
4、分析就是建立在这种抽象函数空间上的微积分。,11.2.3 抽象代数,伽罗瓦提出的群概念使代数学的对象开始突破一般的代数范畴。加之随后其他代数系统如域、理想、环、格等的相继问世，以及抽象群、抽象域概念的诞生，代数学在19世纪末期开始从具体向抽象过渡。,通常将诺特1921年发表的环中的理想论看作是现代抽象代数的开端。抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心。,11.2.4 拓扑学,抽象代数的发展和集合论观点的进一步渗透，还引发了拓扑学的繁荣。拓扑学研究几何图形在连续变形下保持不变的性质。人们习惯于将拓扑学思想的萌芽追溯到欧拉哥尼斯堡七桥问题和地图四色问题等的研究上。,“拓扑学”这一术语则是高斯的学生
5、李斯廷在1847年首先引用的。同调论与同伦论，始终是拓扑学的两大支柱。,11.2.5 公理化概率论,概率论源起于博奕问题。早在15-16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中就曾讨论过“赌博提前结束后，如何分配赌金”的概率问题。,荷兰数学家惠更斯在1657年发表了论赌博中的计算，这部历史上最早的概率论著作。概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是雅各布伯努利。,伯努利之后，棣莫弗、蒲丰、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论作出了进一步的奠基性贡献。19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在1866年建立了关于独立随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊
6、松大数定律成为其特例。,切比雪夫还将棣莫弗-拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理。切比雪夫的成果后又被他的学生马尔可夫等发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。建立概率论逻辑基础的先行者是法国数学家博雷尔。,从20世纪20年代中期起，科尔莫戈洛夫开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述，并于1933年发表了经典性著作概率论基础，通过广泛类比，为概率论建立起了严格的公理化体系。,科尔莫戈洛夫之后，在随机过程研究中作出重大贡献而影响了整个现代概率论的重要代表人物有莱维、辛钦、杜布和伊藤清等。,11.3 数学的统一化,20世纪下半叶，数学科学的统一化趋势空前加强。不同分支领域的数学思想与
7、数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。以下仅以拓扑学与微分几何学若干研究方法发展为例对此略加说明。,（一）微分拓扑与代数拓扑（二）整体微分几何（三）代数几何（四）多复变函数论（五）动力系统,11.4 对基础的深入探讨,康托尔系统地发展了一般点集的理论，促成了集合论的诞生。集合论在建立实数系并证明其完备性的过程中功效显著，这使得数学家们感到了永久摆脱基础危机的一丝希望。,然而英国数学家罗素却以一个简单明了的集合论“悖论”，打破了人们的幻想，引起了关于数学基础的新争论。从此对数学基础更深入的探讨以及由此引发的数理逻辑，便形成了20世纪数学研究的一大主题。,1
8、1.4.1 集合论悖论,罗素的悖论称：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合，那么集合N无论是否为它自身的成员，都将导出矛盾的结论。罗素悖论除了集合之外并不涉及任何其他概念，从而明白无疑地揭示了集合论本身确实存在着矛盾，在数学界引起了一片震惊。,罗素悖论曾被以多种形式通俗化，其中最著名的是罗索于1919年给出的，它讲的是某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。,当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自
9、己刮胡子。,德国数学家策梅洛等人进一步指出不仅集合论，而且整个经典分析都包含着悖论。为了消除这种悖论，数学家们首先想到了公理化思想。,第一个集合论公理系统是1908年由策梅洛提出的，后来以色列数学家弗兰克尔改进，形成了今天常用的策梅洛-弗兰克尔公理系统。它保留了康托尔集合论中对于开展全部经典分析所需要的主要内容，又避免了罗素悖论的发生。,11.4.2 三大学派,集合论公理化运动是假定数学运用的逻辑本身不成问题，但数学家们对于这一前提陆续提出了不同观点，并开始从逻辑上去寻找问题的症结，从而形成了数学基础的三大学派，即以罗素为代表的逻辑主义，以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。
10、,11.4.3 数理逻辑的发展,现代数理逻辑从内容到方法，主要是在20世纪关于数学基础的争论中发展起来的。现代数理逻辑的四大分支是：公理化集合论、证明论、模型论、递归论。,第十二章 20世纪数学概观（）应用数学的新时代,12.1 应用数学的新时代,进入20世纪以后，数学以空前的广度与深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助，应用数学的蓬勃发展已经形成为当代数学的一股强大潮流。,12.2数学向其他科学的渗透,一、天文学数学在天文学中的应用，历史最为久远。早在河谷文明时期，早期人类积累的数学知识便为天文计算和历法编制提供了有力的工具。,二、物理学物理学依赖于数学而发展的历史也相当
11、悠久。数学与经典力学的结合在18世纪达到了黄金时期。19世纪数学在物理学中的应用重点转移到电学与电磁学。,1907年，德国数学家闵可夫斯基提出了“闵可夫斯基空间”，即将时间与空间融合在一起的四维时空。闵可夫斯基几何为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型。,在数学上，广义相对论的时空可以解释为一种黎曼空间，非均匀时空连续区可借助于现成的黎曼度量来描述。这样，广义相对论的数学表述第一次揭示了非欧几何在现实意义，成为历史上数学应用最伟大的例子之一。,三、生物与医学与物理学相比，生物学中应用数学相当迟缓。将数学方法引进生物学研究大约始于20世纪初，英国统计学家皮尔逊首先将统计学应用于遗传学与进化论，
12、并于1902年创办了生物统计学杂志，统计方法在生物学中的应用变得日益广泛。,1926年，意大利数学家伏尔泰拉提出著名的伏尔泰拉方程，使微分方程成为建立各种生物模型的重要工具。,20世纪50年代是数学与生物学结缘的良好时期。1953年，美国生物化学家沃森和英国物理学家克里克共同发现了脱氧核糖核酸（即DNA）的双螺旋结构。双螺旋模型的发现标志着分子生物学的诞生，同时也拉开了抽象的拓扑学与生物学结合的序幕。,在现代实验科学中，能否接受数学方法或与数学相近的物理学方法，已越来越成为该学科成功与否的重要标准。20世纪60年代，数学方法在医学诊断技术中的应用提供了这方面的又一个重要例证，这就是CT扫描仪的
13、发明。,四、数理经济学20世纪40年代以来，经济学研究的数学化，导致了数理经济学的诞生。1944年，冯诺依曼与摩根斯顿提出竞争的数学模型并应用于经济问题，成为现代数量经济学的开端。,1951年美籍荷兰经济学家库普曼斯利用苏联数学家康托洛维奇创立的线性规划理论，以“活动分析”替代经典经济学中的生产函数，为资源配置效率与价格体系对应关系的研究提供了有效方法。他们因此同获1975年度诺贝尔经济学奖。,1959年美籍法国数学家、经济学家德布洛发表价格理论，对一般经济均衡理论给出了严格的公理化表述，使公理化方法成为现代经济学研究的基本方法。,1954年，德布洛和另一位美国经济学家阿罗才第一次利用凸集理论
14、、不动点定理等给出了一般经济均衡的严格表述和存在性证明。阿罗和德布洛先后获得1972年和1983年度诺贝尔经济学奖。,1973年布莱克和斯科尔斯将期权定价问题归结为一个随机微分方程的解，从而导出了相当符合实际的著名的期权定价公式，即布莱克-斯科尔斯公式。它后又被默顿进一步完善。默顿和斯科尔斯荣获1997年度诺贝尔经济学奖。,12.3 独立的应用学科,20世纪应用数学发展的一个独特景观，是产生了一批具有自己的数学方法、相对独立的应用学科。,一、数理统计英国生物学家和统计学家皮尔逊在现代数理统计的建立上起了重要作用。现代数理统计学作为一门独立学科的奠基人是英国数学家费希尔。,多元统计分析的奠基人还
15、有中国数学家许宝騄和美国数学家霍太林等。1946年，瑞典数学家克拉姆用测度论系统总结了数理统计的发展，标志着现代数理统计学的成熟。,二、运筹学运筹学原意为“作战研究”，最早因二战中负责英国海岸雷达系统的罗的倡议而发起。“运筹”之说在中国确定于1964年，语出汉书：“运筹帷幄之中，决胜千里之外。”,目前运筹学包括有数学规划论、博奕论、排队论、决策分析、图论、可靠性数学理论、库存论、搜索论等许多分支。,三、控制论控制论也是在二战期间新兴的应用学科。其创始人维纳因接受军方的与火力控制有关的“预报问题”而开始了这方面的研究。,维纳的控制论通常被称为“经典控制论”。20世纪50年代以后，它获得推广发展，
16、形成了研究系统调节与控制的一般规律的现代控制论。1958年，庞特里亚金提出极大值原理，；1960年，卡尔曼引进状态空间法和“卡尔曼滤波”概念。,12.4计算机与现代数学,20世纪中叶高速电子计算机的出现对现代数学的发展带来了深刻影响，这是20世纪数学区别于以往任何时代的一大特点。,一、电子计算机的诞生第一台能做加减速运算的机械式计算机是由帕斯卡在1642年发明的。莱布尼兹于1674年在他人帮助下制成了一台能进行加减乘除运算的“算术计算机”。1945年，世纪上第一台通用程序控制电子计算机问世。,1945年，在冯诺依曼的参与和主持下，又诞生了一份全新的通用电子计算机方案，其中一项重大的革新就是所谓
17、存储程序的概念。这使得运算全部实现了真正的自动化。该方案史称“101页报告”，开辟了计算机发展史上的新时代。除了冯诺依曼，提出现代计算机设计思想的数学家还有图灵。,二、纯粹数学研究与计算机,1976年9月，美国数学会通报宣布：伊利诺大学的哈肯和阿佩尔借助于电子计算机证明了地图四色定理。这是用计算机解决重大数学问题的第一个鼓舞人心的范例。,三、计算机科学中的数学,1976年以后，中国数学家吴文俊开辟了一条定理机器证明的代数化途径。吴文俊的方法将要证明的问题归结为纯代数问题，并有一整套高度机械化的代数关系整理程序。,利用这一方法已经实现了初等几何主要定理的机器证明（1977），并且证明了初等微分几
18、何中一些主要定理的证明也可以机械化。吴文俊的方法形成了中国特色，国际上称为“吴方法”，使中国学者在数学机械化领域处于领先地位。,第十三章 20世纪数学概观（）现代数学成果十例,13.1 哥德尔不完全性定理,哥德尔第一不完全性定理：任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在有一个不可判定命题，即存在某一命题A，使A与A的否定在该系统中皆不可证。,13.1 哥德尔不完全性定理,哥德尔第二不完全性定理：在真的但不能由公理来证明的命题中，包括了这些公理是相容的（无矛盾的）这一论断本身。也就是说，如果一个足以包含自然数算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的。,13
19、.6四色问题,四色问题也叫四色猜想或四色定理，1852年首先由一个英国青年大学生古德里提出。古德里在给一张英国地图着色时猜测：为了给任意一张平面地图着色，并使任何具有公共边界线的区域颜色不同，至多需要4种颜色。,13.6四色问题,古德里将这一发现告诉了他的老师、著名数学家德摩根，希望帮助找到证明。但德摩根也不能证明，就请教发明四元数的哈密顿，却未引起重视。,四色问题有一个令人迷惑的地方：在更复杂的曲面上，问题解决反倒容易。到1968年，数学家们已经解决了除平面和球面以外所有曲面上的地图四色问题，恰恰是平面和球面（地球仪）这种最简单的情形，却呈现出奇特的困难。,13.6四色问题,直到1976年6
20、月，美国伊利诺大学的哈肯和数学家阿佩尔，采用新的计算机实验方法，并在计算机程序专家的帮助下，证明了四色问题。,13.6四色问题,13.9 费玛大定理的证明,这条表述及其简明的定理，自从三百多年前被费玛提出以来，曾吸引了像欧拉、高斯、柯西、勒贝格等这样一些大师试过身手却始终悬而未决。最终由英国数学家威尔斯完成。,13.9 费玛大定理的证明,从1986年开始威尔斯投入到费玛大定理的证明中。1993年6月，威尔斯在英国剑桥大学的一次学术讨论会上报告了自己的结果，但有漏洞，到1994年9月，漏洞终于补上并通过权威的审查，这个有三百多年历史的数学难题终于获得了解决。,13.9 费玛大定理的证明,威尔斯1994年刚过40岁，这使他错过了获得菲尔兹奖的机会，不过，1996年他成为迄今最年轻的沃尔夫奖得主。,13.10 若干著名未决猜想的进展,哥德巴赫猜想：每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和。哥德巴赫猜想自1742年被提出以来，已历时两个半世纪之多，但对这一猜想的研究，直到20世纪才有本质性的进展。,思考题,数学基础的三大学派是什么?现代数理逻辑的四大分支是什么？数学向其他科学渗透表现在哪些方面？,
