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1、,第五章 穿越黑暗 近代数学的兴起,教学目标：了解三、四次方程求解方法，理解对数产生背景及思想和映射产生的背景及符合代数的意义，掌握解析几何产生的原因，熟练掌握射影几何产生的问题及其意义。教学重点：三、四次方程解法，对数的产生和射影几何的产生教学难点：对数产生的思想方法,近代数学的兴起,5.1 中世纪的欧洲,5.1.1黑暗时代(5-11世纪)从公元5世纪中叶，西罗马帝国灭亡开始到11世纪这个时期，称为欧洲的黑暗时代。这一时期,旧的社会秩序已破坏，封建主和基督教会成为欧洲社会的绝对势力。封建宗教的统治，使一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。教会宣扬天启真理，并拥有解释这种
2、真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态。学校教育名存实亡，希腊学问几乎绝迹，连许多从古代世界流传下来的艺术和技艺也被忘记了。,5.1.1黑暗时代(5-11世纪),由于罗马人偏重于实用，而没有发展抽象数学，仅仅满足于数学在商业和民用工程上的应用。随着罗马帝国的衰亡以及由此导致的东西方贸易的中断、国家工程计划的撤销,就连在这方面应用的兴趣也减少了.毫不夸大地说,在整个500年的黑暗时代中,整个欧洲除制定教历外,在数学上没有什么成就.,在黑暗时代,在数学史上起到重要作用的人,可以勉强地提到的是：博埃齐(A.M.S.Boethius,约480-524,罗马)他根据希腊材料用
3、拉丁文编写的著作几何学和算术，在好几百年中一直作为教会学校的标准课本。几何学除了对欧几里得原本第一卷的命题和第三、第四卷的少数几个命题的陈述，以及一些简单的测量术外，就再没有什么东西。,比德(V.Bede,674-735,英国)，中世纪最大的教会学者之一。他的许多著作中有不少是讲数学的，其中主要的是关于历法和指算的论著。热尔拜尔(Gerbert,约950-1003,法国)，第一个在西班牙穆斯林学校学习的基督教徒。有证据表明，他可能把没有包含零的印度-阿拉伯数字带入基督教的欧洲。据说，他做过算盘、地球仪和天球仪、钟，也许还有手风琴。他在教会中的地位逐步提升，并最后于公元999年被选为教皇。他被认
4、为是一位知识渊博的学者，并且写了关于占星学、算术和几何学等著作。,5.1.2翻译时代(12世纪),直到12世纪,由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激,欧洲数学才开始出现复苏的迹象.1100年左右，欧洲人通过贸易和旅游，同地中海地区和近东的阿拉伯人以及东罗马帝国的拜占庭人发生了接触。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了阿拉伯世界。从此欧洲人从阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希腊以及东方古典学术。古典学术的发现激起了他们的极大兴趣，对这些学术著作的搜求、翻译和研究最终导致了文艺复兴时期欧洲数学的高涨.,阿德拉特(Adelard,约1120),阿德拉特，翻译了欧几里得的原本和花拉子米的天文表。阿
5、德拉特是基督教徒，他为获得阿拉伯学问而冒生命危险的故事是很感人的。据说他为了得到被保守得很严密的知识，不惜假装成伊斯兰教的学生。,普拉托(Plato,约1120),普拉托(Plato,约1120)，意大利人。他翻译了巴塔尼的天文论著和狄奥多修斯的球面几何以及其他著作。,古代学术传播西欧的路线,伟大的翻译家杰拉德,这个时期最辛苦的翻译者是伟大的翻译家杰拉德(Gherardo,约1114-1187)，他把90多部阿拉伯文著作译成拉丁文，其中包括托勒玫的大汇编、欧几里得的原本、阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论和阿基米德的圆的度量等。可以说，12世纪是欧洲数学的翻译时代.,翻译时代(12世纪),大学：波隆尼亚
6、大学（1088）、巴黎大学（1160）、牛津大学（1167）摇篮文艺复兴运动资产阶级文化的兴起斐波那契（1170-1250），著作算经（算盘书）内容：前七章为十进制整数及分数的计算问题；811章涉及商业计算的比例、利息、等差级数及等比级数，还有赚赔、合股、折扣、复利等应用问题；12、13章为求一次方程的整数解问题；14章是求平方根、立方根的法则；15章是几何度量及代数问题。,斐波那契，是欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家。,斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):算经(1202),斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250,意大利).,由于父亲经商的缘故，还在斐波
7、那契的孩童时代就已经唤起了这个孩子对算术的兴趣。后来，他们旅行到埃及、西西里、希腊和叙利亚，他又接触到东方和阿拉伯的数学实践。斐波那契完全确信印度阿拉伯计算方法在使用上的优越性。1202年，在他回到家里不久，便发表了他的著名著作算经。,裴波那契数列,某人在一处有围墙的地方养了一对兔子,假定每对兔子每月生一对小兔,而小兔出生后两个月就能生育.问从这对兔子开始,一年内能繁殖出多少对兔子?,裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，,U n=Un-1+Un-2(n3),黄金分割,自然现象中的裴波那契数：,向日葵花瓣依两个相反的螺旋形排列，朝一个螺旋方向生长的花瓣数同朝相反螺旋方向生长的花瓣数
8、，几乎总等于裴波那契序列中两个相邻的数。菠萝、冬表、球花、牛眼菊和许多植物的花也有类似的情形。一些花的花瓣数构成裴波那契序列中的一串数字。电子学专门设计的电路也能产生裴波那契序列。,植物主茎的侧面的叶子（或芽体、枝叉）。在主茎底部附近选定一片叶子，然后沿主茎向上计数叶子，一直数到恰好在选定叶子正上方的一片为止，这个数通常是斐波那契数列中的一项；绕主茎旋转计数叶片数，并且数到刚才位于上端的那片叶子为止，所得到的数通常是刚才那项前面的邻项。,向日葵的花盘。从盘中心向外辐射出来的螺旋线：顺时针方向伸展的螺线数目，与逆时针方向伸展的螺线数目是斐波那契数列的两个邻项。事实上，任何菊科植物（如皱菊或翠菊）
9、的花盘都有此特征。,黑死病流行,至于14世纪,可以说相对而言，这是数学上的不毛之地。这是黑死病流行的世纪，扫荡了欧洲三分之一以上的人口；并且使北欧在政治上和经济上发生动乱的“百年战争”就始于这个世纪。,欧洲数学复苏的过程十分曲折，从12世纪到15世纪中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步。特别是他们把亚里士多德、托勒枚的一些学说奉为绝对正确的教条，企图用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想。欧洲数学真正的复苏，要到15-16世纪。,从12世纪到15世纪中叶,5.2 向近代数学的过渡,三次及以上的方程的根式解问题：巴巧利认为x3+mx=n，x3+n=mx无根式
10、解，就象解化圆为方一样。费罗（1465-1526）发现了形如x3+mx=n（m,n0）的解法。尼古拉丰丹纳（绰号塔塔里亚）（1499-1557），1535年宣布发现了三次方程的代数解法。,三、四次方程根式求解的成功 费罗（1515年）,波伦亚大学的数学教授。x3+mx=n(m,n0)塔塔利亚（Tartaglia，即意大利语的“口吃者”。）x3+mx2=n(m,n0)由于幼年时他在布雷西亚受法军攻击时挨了一马刀,愈后语言遇到障碍,5.2.1 代数学,关于这一发现的故事,大约在1515年,波伦亚大学的数学教授费罗(S.Ferro,1465-1526,意大利)用代数方法解了三次方程。按当时的风气，学
11、者们是不公开自己的研究成果的，因为这样可以提高他在资助人眼里的地位。所以，费罗没有发表自己的解法，但是，他将自己的解法秘密地透漏给了他的学生费奥(A.M.Fior)。费奥把这一结果看成是他日后成名得利的凭据，以及在解题挑战赛中向其他数学家们挑战的资本。,与此同时,布雷西亚的尼古拉丰坦那(Niccolo Fontana,约1500-1557,意大利)也在研究三次方程的解法。由于幼年时他在布雷西亚受法军攻击时挨了一马刀，愈后语言遇到障碍，人们都称他为塔塔利亚(Tartaglia)，即意大利语的“口吃者”，并以此闻名于世。1535年，塔塔利亚宣布：他发现了三次方程的代数解法。费奥认为此项声明纯系欺骗
12、,就向塔塔利亚提出挑战，要求来一次解三次方程的公开比赛，参赛者要解出对方提出30个三次方程。比赛在米兰大教堂公开举行。,关于这一发现的故事,关于这一发现的故事,结果是,塔塔利亚很快就解出了形如 和 两种类型的所有三次方程。然而，费奥似乎是一位平庸的数学家，他只能求解第一种类型的三次方程，而这还是他的老师告诉他的。费奥自取其辱，塔塔利亚大胜而归。,关于这一发现的故事,塔塔利亚胜利的消息传到了一位不怎么道德的意大利一个教书匠卡尔丹G.Cardano,1501-1576)的耳朵里，他以把塔塔利亚推荐给一位投资者的推荐信为诱饵，说服塔塔利亚把三次方程的解法告诉了他。1539年,他们在米兰会面时，塔塔利
13、亚逼迫卡尔丹起誓决不泄漏这一秘密。然而，卡尔丹不久就违背诺言，于1545年在德国的纽伦堡发表了一部关于代数学的拉丁文巨著大法，其中就有三次方程的塔塔利亚解法。,1540年,意大利数学家达科伊(T.Da Coi)向卡尔丹提出了一个导致四次方程的问题，卡尔丹未能解出，最终还是被其才华出众的弟子费拉里解决。卡尔丹很高兴地将这个解法收入他的著作大法。解法的实质是将四次方程化为三次方程求解。现在看来，说卡尔丹完全是剽窃，显然有失公正，因为他在书中已注明这个解法是塔氏告诉他的。而且塔氏从没有给出证明，卡尔丹不仅将塔氏方法推广到了一般形式的三次方程，而且还补充了几何证明。,关于这一发现的故事,卡尔丹（150
14、1-1576）医生、数学家、预言家。大法公布了三次方程的解法。,大法（Ars Magna）,p,q 0,p,q 0,卡尔丹公式：,卡尔丹公式,大法所载三次方程 的解法，实质上是考虑恒等式若选取a和b，使 由上式不难解出a和b：于是得到就是所求的 x.,2.四次方程求解,费拉里（1522-1565），卡尔丹的学生，获得解一般四次方程的解法。,x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通过配方、因式分解后，降为三次方程。,关于这一发现的故事,塔塔利亚被这一背信弃义的行为激怒。为了寻求报复,他在一本书中讲了自己的故事。塔塔利亚的强烈抗议遭到卡尔丹的最有能力的学生费拉里(L.Ferrari,1522
15、-1565,意大利)的反击。在长时间的交锋中，费拉里始终站在老师一边。他说卡尔丹曾通过第三者(费罗的养子)从费罗那里得知此法，反而控告塔塔利亚剽窃费罗的成果。1548年,塔塔利亚从威尼斯一个很低的算术教师的职位突然升到了布雷希亚的讲师的职位。他向费拉里提出挑战，认为这样能给他带来更大的荣誉并且能够复仇。但是他太低估了对手的实力，两人在比赛结束之前不欢而散。这对塔塔利亚产生了不利影响，布雷西亚的权威们后来拒绝付给他薪水，他只好回到威尼斯教他的课。至此，一场闹剧终于收场。,让人同情的塔塔利亚,“反客为主法”,卡尔丹,卡尔丹是数学史上具有异常性格的人物之一。他出身贫寒，并一直在寻找可靠的支持者，后来
16、功成名就并积累了一点财产。他的职业生活是多变的：当医生，搞业余研究，当教授，写数学书。他一度远到苏格兰旅行，回到意大利后，相继主持帕维亚和波伦亚大学的重要讲座。因为他发表了基督命运的星占，以邪说罪被监禁了一个时期。他辞去波伦亚的讲座,迁到罗马,成为杰出的占星学家，并以教皇宫廷的占星学家接受年薪。传说他于1576年自杀于罗马，为的是使他对自己的死期的预卜得以实现。关于他的坏脾气有许多传说，例如，一次大怒，他割掉了小儿子的耳朵。当然，有些传说，可能是他的仇人有意夸大，结果被过分地恶意中伤。,问题：中国古代的数学家中，有类似性格的吗?,卡尔丹,卡尔丹是那个时代最有才华、多才多艺的人物之一。他是数学家
17、、物理学家、天文学家、赌徒和异教徒。他写了许多关于算术、天文学、物理学和其他学科的著作。他的最大著作是大法-一部专讲代数的巨著。其中采用了方程的负根，并讲到虚数的计算。卡尔丹作为一个积习很深的赌徒，写了一本赌徒手册，其中讨论到一些有趣的概率问题，这使他成为早期的概率论的研究者。,关于四次方程的解法，以后韦达和笛卡尔都作过研究，并取得成果，由此引发探求五次方程根式解的尝试，经拉格朗日、阿贝尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔首先证明了一般的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦在此基础上创造了群论，将代数研究推向纵深。,数学符号体系与代数运算,韦达(F.Vieta):分析引论(1591)近代数学的开始最重大的事莫过
18、于符号代数的引进。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母。韦达1540年出生于法国的丰特内.他是一位律师和议员,但把绝大部分闲暇时间都献给了他热爱着的数学。关于韦达，有很多轶闻趣事。,韦达（1540-1603），法国数学家，创立符号代数；发现根与系数的关系。,弗朗索瓦韦达（1540年1603年12月13日），法国数学家，十六世纪最有影响的数学家之一，被尊称为“代数学之父”。他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家。由于韦达做出了许多重要贡献，成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。,分析引论,韦达1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年轻时学习法律并当过律师。后
19、从事政治活动，当过议会的议员。在对西班牙的战争中，曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。,韦达定理,如果方程 的根是，那么,问题：该定理如何证明呢？,5.2.2 三角学,三角学1450年以前的三角主要是球面三角，直到1450年平面三角学才在测量的基础上发展起来。原因是由于受航海，历法推算和天文观测的需要。,雷格蒙塔努斯,雷格蒙塔努斯1464年，论各种三角形使三角学最终脱离
20、天文学，而成为一门独立的数学学科，并将平面三角和球面三角分离开来。这部著作主要从纳西尔丁的著作中得到启发，全书共5卷，前2卷是平面三角，后3卷是讲球面三角。书中采用印度人的正弦，用到余弦，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理。,球面三角的正弦定理球面三角的余弦定理,雷提库斯,哥白尼的学生雷提库斯(G.J.Rhaeticus,1514-1576)将传统的弧与弦的关系，改进为角的三角函数关系，并采用了六个函数(正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)，他是将三角函数定义为直角三角形的边与边之比的第一人。他还雇人花了十二年功夫编制了两个著名的、至今尚有用的三角函数表。由于雷提库斯的强求，哥白尼临死
21、之前戏剧性地发表了他的关于宇宙理论的巨著。,韦达,关于三角的著作有标准数学和斜截面，将三角学进一步地发展，系统化三角学。他把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起。他自已得到的正切公式为,5.2.3从透视学到射影几何,布努雷契(F.Brunelleschi,1377-1446，意大利)第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。数学透视法的天才阿尔贝蒂(L.B.Alberti,1404-1472)的论绘画(1511)一书,则是早期数学透视法的代表作。,由于绘画、制图中提出的问题的刺激，而导致了富有文艺复兴特色的学科透视学的兴起。,英国画家柯尔比泰勒博士透视方法浅说(1754)卷
22、首插图,出发点,透视画的天才阿尔贝蒂提出一个很重要的问题：如果眼睛和景物之间插立一张直立的玻璃屏板，设想光线从眼睛出发射在景物上，那么这些光线形成投影锥，投影锥经过屏板上的点便形成截景，截景给眼睛的印象和物景本身一样。如果在眼睛与物景之间再插另一张屏板，那么两个截景都传达原来的形象，但它们具有何数学关系？,（见后面示意图）,眼,物景,截景,德沙格的工作,德沙格（1591-1661），原是法国陆军军官,后来成为建筑师和工程师,靠自学成名。德沙格发表了本关于圆维曲线的很有独创性的小册子试论锥面截一平面所得结果的初稿，从开普勒的连续性原理开始，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透视的
23、基本原理。,1、两投影三角形对应边交点共线，反之，对应边共点的两三角形，对应顶点的连线共点（德沙格定理）,2、交比在投影下的不变性：(见P134的定义）3、对合、调合点组关系不变性：,对任一直线上的定点O，称直线上的两对点A，B和A，B是对合的，如果成立：OAOB=OA OB,德沙格的工作,任一不过顶点的直线遭到圆锥曲线以及完全四边形相交的点具有对合关系,A,C,B,D,G,E,H,F,A，B；C，D；E，F；G，H是四组点对合,德沙格的工作,3、对合、调合点组投射关系不变性调合点组：有一点E，若使OAOB=OE2则称E为二重点，另还有一个二重点F，O是EF的中点，称点A，B；E，F是调合点组
24、。,德沙格的工作,4、极带,极带,德沙格的工作,帕斯卡（16231662）法国数学家、物理学家、思想家。,生於克莱蒙费朗，早逝於巴黎。父亲是数学家、“梅森学会”成员，对他的早期教育影响很大。他自幼聪颖，求知欲极强，12岁始学几何，即通读欧几里得（Euclid）的几何原本（Elements）并掌握了它。,16岁时发现著名的帕斯卡六边形定理：内接於一个二次曲缐的六边形的三双对边的交点共线。据说他後来由此推出400多条推论。17岁时写成圆锥曲缐论，是研究德札尔格（Girard Desargues）射影几何工作心得的论文，包括上述定理。,帕斯卡六边形定理：内接於一个二次曲缐的六边形的三双对边的交点共线
25、。,将“二次曲线”换成圆，你会证明吗？,帕斯卡（符号Pa）是国际单位制(SI)的压力或压强单位。在不致混淆的情况下，可简称帕。它等于一牛顿每平方米。以法国数学家、物理学家兼哲学家布莱士帕斯卡命名。,与此同时，笛卡儿的代数几何取得了巨大的成功。笛卡儿认为如果把德沙格的研究用代数语言来表示，那么他的研究会更容易理解。后来，笛卡儿承认，他的代数几何与德沙格的研究可能只是风格上有所不同，但在内容上并没有什么区别。但是，数学家们正忙于研究数学的其他方向，德沙格的工作逐渐被遗忘。他的射影几何和画法几何都是到了19世纪初才重新被建立在健全的数学基础之上的。,笛卡尔的贡献，见5.3.,5.2.4 计算技术与对
26、数,16世纪前半叶,欧洲把实用的算术计算放在数学的首位。工程技术上的应用、实践上的需要，地理探险与海洋贸易需要更为准确的天文知识，以精确观测为基础的新天文学，也需要精密的天文数表,特别是三角函数表；日益发展起来的银行业务和商务活动也需要更好的计算技术,所有这些都对计算技术的改进提出了前所未有的要求。,对数,对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了奇妙的对数定律说明书，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。1)已知a,b,求N乘方运算 2)已知b,N
27、,求a开方运算 3)已知a,N,求b对数运算“對數”(logarithm)一詞源自於希臘，表示思想的文字或記號，也可作“計算”或“比率”。由於16世紀的天文星象的觀測、航海、測量、地圖的繪製等，需要大量且龐雜的數字乘除開方運算，這種化乘除為加減的運算工具，即為對數。,故事,过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，一年后利息是1元，即连本带利还2元，年利率100%。利息好多喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为50%，利息是1.5元，一年后还1.52=2.25元。半年结一次帐，利息比原来要多。财主又想，如果一年结3次，4次，365次，岂不发财了？,真的是这样吗？大家觉得呢？,他以为，结帐次
28、数越多，利息也就增长得越快。财主根本不知道，的值是随n的增大而增大，但增加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把 极限记作e，e=2.71828，即自然对数的底。,对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文、航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法,这种设想受到人们熟知的三角公式(积化和差):的启示,或许还受到德国数学家斯蒂弗尔(M.stifle,约1487-1567)在他的综合算术(1554)中所发现的几何级数 与其指数所构成的算术级数 0,1,2,3,之间对应关系及运算性质的启示(把幂函数的乘法化成了其指数的加法)。,5.
29、2.4 计算技术与对数,纳皮尔（1550-1617），利用两种不同的运动之间的关系，建立了“对数”关系。称为纳皮尔对数。布里格斯（1561-1631），建立了以10为底的常用对数，制出第一张常用对数表。冈特（1581-1626），算出三角函数的常用对数表。比尔吉（1552-1632），也独立发明了对数。穆尼阁（1611-1656），把对数传入中国,纳皮尔,布里格斯,对数的创造者：纳皮尔,纳皮尔是苏格兰贵族数学家。纳皮尔1550年生于苏格兰首府爱丁堡，他从小喜欢数学和科学，并以其天才的四个成果被载入数学史。拉普拉斯认为:对数的发现“以其节省劳力而延长了天文学家的寿命。”,一个点P沿直线AB(长度
30、为 单位)的运动,其速度在每一点P处正比于剩余距离PB=y;再假定另一个点Q沿无穷直线CD匀速运动,其速度等于P点在A处的速度,CQ=x;令P与Q同时分别从A、C出发,那么定义x是y的对数.,奇妙的对数定理说明书,1615年，布里格斯向纳皮尔建议取10作为底数，从而编制“常用对数表”。另一个独立创造“对数”是瑞士的仪器工匠比尔吉，他是开普勒的一名助手，但其影响很小。,评价,伟大的导师恩格斯在他的著作自然辨证法中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分，共同称为十七世纪的三大数学发明。,纳皮尔的故事,一次，他宣称他的黑毛公鸡能为他证实，他的哪一个仆人偷了他的东西。仆人们被一个接
31、一个地派进暗室，要他们拍公鸡的背。仆人们不知道纳皮尔用烟灰涂黑了公鸡的背。自觉有罪的那个仆人怕碰着那个公鸡，所以回来时，手是干净的！,据说，纳皮尔的邻居喜欢养鸽子，这些鸽子会跑到纳皮尔家中偷食，他因此极不高兴，向邻居发出警告，可邻居也是一位大贵族，我行我素，认为他的鸽子是不可能被捉住的，就告诉纳皮尔，随便捉好了！第二天，邻居发现自己家的鸽子全躺在纳皮尔家的草坪上，原来，纳皮尔一怒之下，用烈酒泡了一些粮食撒给鸽子吃，结果鸽子全醉倒了,纳皮尔的故事,三、解析几何的诞生,16世纪，机械的广泛运用，建筑业的兴起，造船业的发展，显微镜、望远镜的使用，要求数学确定各种复杂的曲线、曲面。航海业向天文学和数学
32、提出精确测定经纬度要求，枪炮制造要求研究抛射体轨迹，这些都需有一种新思想、新方法来解决问题，这是解析几何产生的外部原因,其次，代数学的充分发展，使过去依赖几何方法解决代数问题的局面被打破，反过来利用代数方法研究几何的思想已成熟，这是内部原因。第三，形数结合思想历来有之，古希腊阿波罗尼奥斯研究圆锥曲线时，偶尔引用正交直线来显示一种“坐标”，依巴谷在天文、地理的研究中曾明确指出一点的位置由经纬度来决定.到14世纪,奥雷斯姆(1323-1382)在其书中直接陈述过一种“坐标”几何。格塔拉底(1566-1627)继承韦达用代数研究几何的思想，写成阿波罗尼奥斯著作的现代阐释，对几何问题的代数解法作了系统
33、的研究。1630年又在数学的分析与综合中更详细地讨论了这个问题，1631年哈里奥特在实用分析学中把格塔拉底的思想引伸并系统化。,最后，更为重要的是天体运动和物体运动的研究，启发数学家思考用运动观点来研究几何问题。在德沙格和帕斯卡开辟了射影几何的同时，笛卡儿和费尔马开始构思现代解析几何的概念，并各自独立地创立了解析几何。这两项研究之间存在一个根本区别：前者是几何学的一个分支，后者是几何学的一种方法。,CP CR=k CQ2 或,（k 为常 数）,笛卡尔的出发点：帕普斯定理,笛卡尔(R.Descartes,1596-1650):几何学(1637),费马(P.de Fermat,1601-1665)
34、,论平面和立体的轨迹引论(1629),笛卡尔(1596-1650)，法国著名哲学家、数学家。1637年，发表了方法论及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录几何学中，其中心思想是要把代数与几何继往开来起来，由方程自变量变化，函数值变化形成动点，得到方程曲线，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。费马(1601-1665)，法国人业余数学家，数论方面是承前启后的人物，几何方面又是一个创造性人物。在平面和立体轨迹导论中，引进动点成线思想，利用坐标，把曲线用一个方程表示出来，解析地定义了许多新的曲线，然后进行研究。在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨
35、迹。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何”的名称是以后才定下来的。,这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，是莱布尼兹于1692年提出的。1733年，年仅18岁的克雷洛出版了关于双重曲率曲线的研究一书，这是最早的一部空间解析几何著作。1748年，欧拉写的无穷分析概要，可以说是符合现代意义的第一部解析几何学教程。,1788年，拉格朗日开始研究有向线段的理论。1844年，格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维解析几何出现了。解析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。普通解析几何只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切的联系。,z=bz2=-az+bz3=-az+bz+cz4=-az+bz+cz+d.z2=az+b2z2=-az+b2z2=az-b2,代数方程根的作图,代数方程根的作图,作业：,1.推导三次方程 的求根公式卡尔丹公式.2.写出斐波那契数列及其通项公式，并说明这个数列与“黄金分割率”的关系.3.解方程.,谢 谢！,
