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1、数学史与中学数学教学,南阳师范学院数学与统计学院教授张士勤,目录,一、数学教育家和数学教师的两则故事二、数学史与中学数学教学（1）无理数概念（2）等比数列前 n 项和（3）三次方程求根公式的诞生（4）相似三角形的应用（5）一元二次方程的概念（6）实无穷概念（7）符号代数三、数学家的录像-大家吴文俊,一、数学教育家和数学教师的两则故事,1、数学教育家李信明下面我们要讲述的是 数学教育家李信明，他的笔名李学数。,我生下来就有些口吃，从小到大不爱说话，可以一整天就是闭着“金嘴”沉默寡言，很难想象这么一个不爱说话的人，长大后竟然会选择从事教育的工作，而又能在不同场合对不喜欢及害怕数学的人讲一些趣味的数
2、学故事。,我的恶梦,我不知道你们会不会做梦，梦到小时候的生活？如果我有时梦到小时候的生活，一梦到读书，那往往就是一场恶梦。这梦境多数是和上算术课有关：只见那凶神恶煞的算术老师拿着算术课本，在用念唐诗的姿态念一个问题的解法，那姿态颇像八段锦里的“摇头摆尾去心火”。坦白讲我们的算术老师是个会算术的，他教应用问题，往往就是照书上的东西抄一遍在黑板，然后对着书以抑扬顿挫的声调念,嗡嗡的声音，在炎热的教室里，弄得我们都张着嘴巴，流着口水，昏昏沉沉在打瞌睡。有时他会河东狮吼地叫同学在黑板做问题：“学数！,今有鸡兔同笼，头数有35，脚数有94，问鸡有多少头？兔有多少头？”这时我会吓得两只小腿在那里抖，勉强站
3、在黑板前，可是脑子里什么解题的方法也没有。刚才在昏昏沉沉作白日梦时，我想的是：“鸡兔在一起，难道鸡不会啄兔子吗？祖母养的鸡关进笼子里，我有时切青菜给它们吃，有些鸡还凶得啄我的手。小兔子和鸡关在里面不是要遭殃吗？”,教师不得法，当年恨死算术,现在惨了，刚才我还为兔子担心，现在轮到我遭殃了，我不知道怎么样解这鸡兔同笼的问题，老师有讲解这题的公式，可是我的脑子却连什么公式都装不进。在黑板前呆了几分钟，老师不耐烦，开始骂了：“你们真是蠢，教都不会。伸出手来！”于是课堂上响起噼啪噼啪可怕的声音。最后我回到坐位，用那火辣辣的红肿的手擦眼泪和鼻涕，一面心中希望这堂课早点结束，或者老师明天病了不必教书；一面恨
4、死那算术。,总的说，我们全班学生都不喜欢算术课，都怕算术课。我长大之后，有一次遇到小学时与我同班的同学，他一知道我去学数学，而且还教数学，他大吃一惊，第一个问题就是：“你还不怕算术吗？”的确我还是怕算术，一个证明就是我做的恶梦，往往就是梦到我不会解算术问题，而吃老师的藤鞭。,存在“快乐的算术”,我希望许多从事数学教育工作的朋友们也注意一下这个问题。算术课不必搞到那么烦琐恐怖，应该考虑孩子的身心发展和心理。我们知道爱因斯坦小时的数学就很好。他曾经回忆一件事，我觉得有复述的价值：爱因斯坦的叔父（Jakob）是一个电机工程师，本身是很喜欢数学。有一次小爱因斯坦问他：“代数”是什么东西？这叔父就解释：
5、代数是一门快乐的科学，我们要去捕获我们不知名的小动物，我们把这东西称为，然后我们根据这游戏的规则建立一些关系，最后我们就能很容易的捉到它。,2、数学教师郭晨星,郭晨星的两则日记为了使学生不会“读死书，死读书”，甚至严重到“读书死”，作为教师就不该只是“教书活”，而是应懂得“书教活，教活书”，我们要不断创造寻找新的生动的教学方法，使学生热爱学习，而我们将感到传播知识教育下一代的工作不是苦差而是一件乐事。孔子讲：“朽木不可雕”，其实这是悲观论调。在我看来，后进学生并不是“朽木”，他们都是还未经琢磨、内有美玉的顽石，我们做老师的就像艺术家要独具慧眼一样，从平淡无奇的表面看到深藏在内的美丽瑰宝，根据他
6、们的特性耐心地雕刻，我们要化腐朽为神奇，人材就会这样脱颖而出了。,郭老师的第一堂数学课,校长说：“同学们！这是郭晨星老师。教你们数学的陈老师的母亲生病，他要回乡下照顾母亲请假一个月。刚好我们的校友郭晨星先生的大学放假一个月，他很乐意在这一个月代替陈老师的教职。郭老师是本校以前的高材生，几届的全校数学比赛冠军，现在在大学念物理，他的数学很好，我相信你们在他的教导下会进步得很快。郭老师，我现在让你教书，如果学生不听话，上完课后你来报告我知道好了！”,站在黑板前的郭老师身体显得瘦小，坐在后座的几位同学还比他高大得多，可是他的眼睛却是炯炯有神，你在看它们时，你会觉得它们像会洞察你的想法，会了解你的问题
7、。你和他谈话，看着那亲切的脸孔，你会很快就忘记他的瘦小，你会慢慢觉得郭老师全身在辐射热量。可惜他说话却有些口吃。“同同学们，你.你们好！我我很高高兴能回来母校。我我会在这个月教教你们一些学数学的方法，你们们.听严校长说.是不喜欢数学课，害怕数学。我对严校长说，我是一个魔术师，我有一根神棒，我保证在一个月离开后使怕数学的同学不怕数学，成绩差的同学会赶上去。,“有同学认为：数学是不是死板板，套套公式答案就出来了？我这里有一个数学游戏，这里包含一个数学难题，是由现在已71 岁原籍波兰的著名美国数学家乌朗教授（Stanislaw Ulam）提出的，这问题小学生都会明白，可是到现在一些大数学家还不明白为
8、什么会这样，找不到一个合理的解释。”“好，你们在纸上写下随便想到的一个正自然数，如果这数是偶数，你就除以2 把这商写下，用一个箭头把最初想的数和这个商接起来，比方说你想到的是6，那么你就写63。如果这数是奇数，你就用3 乘这个数然后加上1。你们对新的数继续用以上的方法进行运算，看看最后箭头会不会指向1。”,比方说我用最初的6，我们验算得到下面一串的数：63105168421我们再试20，20105168421试77221134175226134020现在我们来到刚才算的20，因此我们知道由7 开始可以一直指到1。”“你们多拿几个数试试看，你们会发觉有时箭头指的越来越大，可是又会下降，上升下降，
9、下降上升，最后会指到1，这是很奇怪的现象。,你看这是不是有些离奇曲折，是不是有什么公式可以套就可以证明这现象呢？到目前为止没有人知道，但是许多人试过许多数都发现总是如此。因此许多人认为乌朗的猜想：任何大于零的整数，用以上的方法射出去，最后一定会达到1。是对的。”“俗语说：百川归大海，乌朗猜想是从所有的大于零的整数出发，最后会流向1 这个数，这是一个难题，或许你们回去试试就会发现这是个很有趣的问题。”同学们拿几个较小的数来算，果然发现这些数最后都走向1，大家都啧啧称奇。郭老师一个月后的确取得很好的效果。,上面仅仅列举了数学教育家和数学教师的简单故事。,二、数学史与中学数学教学,作为数学老师，我们
10、是否该扪心自问：什么是数学教学、什么是数学教育之目的？数学教育究竟该给学生的未来与发展带来些什么？无论课程如何变革，内容如何转换，我们要寻找的就是那“不变的东西”：数学，作为一门学科、一门艺术和一种智慧，更是一种文化，不但是描绘和现实世界的重要力量，而且还是创造新文化和创造新世界的现实力量。对学生而言，数学课堂的价值究竟意味着什么？数学教育的核心价值:知识的授受和智慧的开启，还应包括身心的点化和人格的润泽。,在全日制义务教育 数学课程标准：在教学活动中，教师要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材。,案例1、无理数概念教学,无理数:无限不循环小数，对初中学生
11、来说，十分抽象，很难理解。学起来枯燥无味，无兴趣可言。但是一位初中教师，想出一个绝妙的方法，让学生自己动手，造出一个具体的无理数，使这一抽象概念很快被学生愉快地接受。,案例1、无理数概念教学,其法如下：他用泡沫塑料做了一个大骰子，带上课堂作为教具。他举起这个大骰子问大家说：“这是什么？”大家笑答：“这是骰子。”老师又问：“它有什么用处？”同学大笑齐答：“打麻将！”老师再问：“除了打麻将，它还有什么用？”这下把大家都怔住了。因为学生再也想不出这个骰子还有什么其他的用处。在大家沉默许久后，老师神秘地一笑，说道：我来告诉大家：骰子还能够制造一种新数无理数。,案例1、无理数概念教学,这时老师在黑板上大
12、大地写出：“0.”并请两位同学上台做掷骰子表演：一个学生掷骰子，一个学生写出掷出的点数，并在小数点后写出来。一个学生不断地掷，一个学生不断地写。于是黑板上便出现一个不断延伸的小数：“0.32541326”。当小数位延伸到一定长度时，老师叫停，,案例1、无理数概念教学,又问大家：“如果这两位同学不停地掷和写出小数，那么，我们会得到一个什么小数呢？”首先是无限小数，而且不循环。这就是我们今天要讲的“无理数”。于是，无理数怎么抽象难于理解的数学概念，就在轻松愉快的气氛中，被学生们接受了。这位老师如上的教学设计，带有浓厚的文化色彩，十分精彩而有效。,在教学中如果合理渗透数学史可以让数学知识活起来，使学
13、生在学习数学知识的同时体验数学的历史厚重感和美感，从而培养学生对数学的兴趣，激发学习数学的动机，使数学史在中学数学教学中更好的发挥其教育教学功能。,Furinghetti:将数学史用于数学教学的过程,案例2 等比数列前 n 项和,上海市杨浦高级中学方耀华老师,等比数列的定义：,等比数列的通项公式：,通项公式的推广：,设等比数列，首项，公比为，,【知识回顾】,【问题】,“一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富人一口应承了下来，但提出了如下条件：,借钱第一天，穷人还1分钱；第二天，还2分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的2倍，30天后，互不相欠。,在30天中，第一天借给穷人1万元，第
14、二天借给穷人2万元，第三天借给穷人3万元，以后每一天多借给穷人1万元。,能不能答应富人以上的条件?,【问题解析】,穷人还钱总数富人借钱总数？,富人借钱总数,穷人还钱总数,小组讨论,班级交流,【问题解析】,穷人还钱总数富人借钱总数？,富人借钱总数,穷人还钱总数,【问题解析】,穷人还钱总数富人借钱总数,富人借钱总数,穷人还钱总数,答：不能答应富人的条件。,【问题小结】,求等比数列 前30项和,等比数列前 项和,【公式探究】,设等比数列，首项，公比为，其前,对于一般的等比数列，它的前 项和公式是什么？,项和,【数学史料】,约在公元前3000年，巴比伦人就已经总结出等比数列，的求和公式。早在公元前35
15、00年，相当于中国的夏代。在埃及的莱因特纸草书（最初发现于埃及底比斯古都废墟，1858年为苏格兰收藏家莱因特(H.Rhind)购得，因名。有时人们也称这部纸草书为阿姆士纸草书，以纪念一位叫阿姆士的人，他在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书，而根据阿姆士所加的前言可知，他抄录的是一部已经流传了两个多世纪的更古老的著作）79题，是等比数列的问题，,莱因特纸草书现存伦敦大英博物馆,主体部分由84个问题组成：首先是单分数表，140属于算术与代数，4160是几何学，6184为杂题；,【公式探究】,莱因特纸草书（1650B.C.）,79题，是等比数列的问题，给出一张表。,数学史家康托尔是这样解释
16、的：在一个人的财产中，有7间房子，每间房子里7只猫，每只猫能捉7只老鼠，每只老鼠能吃7穗大麦，而每穗大麦又能长出7俄斗大麦，问这份财产中房子、猫、老鼠、麦穗和麦子总共有多少？,通过研究发现，这是一个等比数列的求和问题。其中左边两栏就是 的具体算式。由此可知，埃及人已经总结出了等比数列 的前 项和.,【公式探究】,莱因特纸草书（1650B.C.）,【公式探究】,设等比数列，首项，公比为，其前,项和,方程法：,【公式探究】,如果 是等比数列，,几何原本(第九卷命题35),欧几里得（约公元前330前275）,【公式探究】,设等比数列，首项，公比为，其前,项和,合比定律：,【公式探究】,设等比数列，首
17、项，公比为，其前,项和,错位相减法：,）,个,构造常数列,【例题】,例 1 两河流域泥版MS 1844（约公元前2050年）上的问题：七兄弟分财产，最小的得2，后一个比前一个多得1/6，问所分财产共有多少？例 2.求等比数列 第5项到第16项的和。,例 3.求 的值.,(a 为常数),一个中心:,两个基本点：,(1)重要的求和方法：方程法；比例法；错位相 减法；(2)重要的思想方法：特殊到一般、类比与转化、分类讨论的思想方法.,等比数列前n项和公式的推导及运用。,【课堂小结】,我国传统的数学教材，除了爱国主义教育外，强调的往往是数学的技能，而一个数学概念在历史上是如何产生的？一个数学定理或公式
18、是如何发现的？一个数学分支是如何起源的？教材的编写者以及讲授者似乎很少去关心这些问题。因而，学生对数学概念、定理、公式、思想没有任何“历史感”，它们均是天上掉下来的馅饼数学似乎就是数学家的事，数学离他们很遥远。在枯燥的逻辑证明、成堆的模仿练习中，学生失去了学习数学的兴趣，教师失去了培养学生的创新能力的机会。所幸的是，数学史在数学教育中的作用已经越来越引起数学教育工作者们的重视，从新的中学数学教学大纲、新推广使用的中学数学试验教材中，我们都能得到这样的信息。,案例3 三次方程求根公式的诞生,虽然古代中国、印度和阿拉伯人都会解一元三次二项方程，5世纪的中国数学家祖冲之（429-500）、7世纪的中
19、国数学家王孝通和13世纪的意大利数学家斐波纳契还会求形如的三次四项方程正根的近似值，但16世纪以前，数学家们一直未能找到三次方程的一般求根公式。在一部14世纪的意大利数学手稿中，作者类比一元二次方程的求根公式，给出方程,案例3 三次方程求根公式的诞生,的错误求根公式：三次方程求根公式的历史是与16世纪意大利数学家之间的数学论战联系在一起的。当时，意大利数学家们常常互相挑战，这不仅仅是为了赢得荣誉，而且也是为了各自的切身利益。失败者名誉扫地，门前冷落，不再能招到弟子，从而失去经济来源；而胜利者则会受到邀请去各地讲学，受人拥戴，从者如云，财源滚滚。因而一个新方法的发明者往往不肯轻易泄露自己的发现，
20、因为有了这样的秘密武器，他就可以向对手提出自己拥,案例3 三次方程求根公式的诞生,有解法的相关问题。然而，我们将看到，这样的秘密武器却给三次方程求根公式的发现者塔塔格里亚（N.Tartaglia,14991557）带来了不幸。1水城较量塔塔格里亚于1499年出生于意大利的布雷西亚城。父亲是一名邮递员，约于1506年去世，抛下母子三人相依为命。塔塔格里亚13岁时，布雷西亚的兵祸使教堂中避难的他受五处头伤。幸亏有母亲的精心护理，他才活了下来，但留下了终身的后遗症：口吃。“塔塔格里亚”在意大利语中即为“口吃”之意。14岁时，塔塔格里亚上了学，但很快因,案例3 三次方程求根公式的诞生,缴不起学费而辍学
21、，并为谋生而干起辛苦的体力活。但他很早就显示出惊人的数学才能，尽管他青少年时代非常贫困，但他通过自学，掌握了拉丁文、希腊文和数学。1534年，他去了威尼斯，当上了数学教授。他是一位以研究三次方程的解法而闻名的数学家。据说，他也曾慕名向费罗讨教过三次方程的解法。但遭到了拒绝。因此，他发愤自己来攻克这一难题。经过不懈的努力，终于在1535年宣布掌握了一些三次方程的解法。1530年，塔塔格里亚的老乡、在布雷西亚经营一所算术学校的科伊（T.da Coi）向塔塔里亚请教如下两个问题：,案例3 三次方程求根公式的诞生,用今天的代数符号表示，它们分别相当于求解三次方程 和。塔塔格里亚回答说，他知道求解三次方
22、程 的一般方法，但由于种种原因，他只能秘而不宣；至于第二个问题，他承认不会解，但他丝毫不相信它是不能解的。塔塔格里亚自称会解三次方程的消息后来传到波伦亚人菲奥的耳朵里。这个菲奥曾经是波伦亚大学算术与几何学教师费罗（S.Ferro,14651526）的学生。早在20多年前，费罗成功地解决了三次方程,并把解法传授给了菲奥。因此菲奥有恃无恐地夸口说，既然塔塔格里亚自诩能解三次方程，那就要去羞辱他一番。塔塔格里亚起先并没有把费奥放在心上，但当他得知菲奥的,案例3 三次方程求根公式的诞生,的老师曾把 的解法教给菲奥时，他开始担心起来。于是，他全身心投入该方程的研究，终于在1535年2月14日找到了一般解
23、法，翌日又发现了方程 和 的解法。8天后，即1535年2月22日，菲奥果然来到威尼斯，公开向他挑战。在公证人家里，他们彼此向对方提出30个问题，并拿出一笔钱。根据协定，30至40天后，谁解出对方的问题多，谁就获胜，并赢得对方的钱。,案例3 三次方程求根公式的诞生,易见，所有30题都相当于求解形如 的三次方程。塔塔格里亚在不到两小时内解出了菲奥的所有30个问题，而他所提出的30个问题菲奥一个都解不出来。菲奥只好认输。塔塔格里亚赢得了荣誉，但菲奥的钱他却分文不取。2守口如瓶1536年12月10日，科伊来到威尼斯，向塔塔格里亚索要他向菲奥提出的30个问题。塔塔格里亚把其中的前4个告诉给了科伊，但拒绝
24、给出答案.,案例3 三次方程求根公式的诞生,科伊立即发现，这四个问题分别相当于求解方程:和为了求出这些问题的解，他冥思苦想，却一无所获。12月16日，他再次来到塔塔格里亚家，请求塔塔格里亚的指点。塔塔格里亚告诉他说，这些发现花费了他许多心思；他自认为如未能获得荣誉和利益，他并没有什么义务要公开这些发现；他知道完全隐藏这样的发现是不合情理的；,案例3 三次方程求根公式的诞生,等到其他事情（当时塔塔格里亚正致力于欧几里得几何原本的意大利文翻译工作）完成后，他会把自己的发现全部发表。1539年初，科伊离开布雷西亚去了米兰。在那里，他受到卡丹（GCardano,15011576）的热情接待，卡丹甚至把
25、自己所授的一门课让给了他。卡丹何许人也？他于1501年出生于帕维亚，父亲是位博学的法官。卡丹于1520年在帕维亚上大学，1526在帕多瓦获医学博士学位，在帕多瓦附近一小镇行医。1534年，卡丹在米兰当上了数学教师，同时继续行医，成了当时米兰最著名的医生。卡丹精通数学，又嗜赌如命。据说有一次他与别人打赌，预言自己将于某时会死去，到了这一天，他为了赢得这场豪赌，居然以自杀的方式，结束了自己的一生。,案例3 三次方程求根公式的诞生,科伊到米兰时，卡丹正要出版一部名为实用算术的著作。当科伊告诉他有关塔塔格里亚的发现后，卡丹异常兴奋。他很想用这个新发现来丰富自己的著作，便对三次方程解法进行了研究，但一无
26、所获。于是，他委托一位书商以他的名义请求塔塔格里亚把方程 的解法寄给他.,卡丹,案例3 三次方程求根公式的诞生,卡丹许诺：他将在他的著作中以塔塔格里亚为作者增入方程 的解法，或者，如果塔塔格里亚愿意的话，他也可以为该解法保密。塔塔格里亚答复说，他自己也计划写一部代数著作，他宁愿在自己的著作中，而不愿在别人的著作中发表他的发现。他说他不打算给出他的30个问题的答案，因为它们有助于像卡丹这样的博学者发现一般解法.,案例3 三次方程求根公式的诞生,3背信弃义对于三次方程的解法塔塔格里亚甚至在自己所爱的学生面前也守口如瓶。他的弟子、英国人文多尔斯（Ricardo）曾向老师请教，塔塔格里亚告诉文多尔斯，
27、一旦他译完欧几里得和阿基米德的著作，他就出版他的著作，书中他会详论所有解法。这位弟子同意等待。卡丹却在他的弟子费位利的帮助下，马不停蹄地进行研究，推广了塔塔格里亚的方法，费拉利还找到了四次方程的解法。,案例3 三次方程求根公式的诞生,1842年，卡丹偶然听说在塔塔格里亚以前费罗早已解决了三次方程，他将信将疑，于是在费拉利的陪同下，亲往波伦亚大学核实。在那里，费罗的学生、女婿、教职继承者内佛（A.dalla Nave）向他们出示费罗的未出版的数学手稿。在手稿中他们果然见到了三次方程的解法。从此，卡丹认为已没有必要恪守诺言。他把三次方程的解法写进大术（Ars Magna）一书，于1545年出版。他
28、背弃了自己的誓言，本应编成密码使得他死后无人能看懂的解法现在通过大术数以千计的印册泄露给了全世界。卡丹不仅背信弃义，而且对塔塔格里亚也做得不公正。,案例3 三次方程求根公式的诞生,虽然他在书中写明，三次方的解法是费罗和塔塔格里亚的发现，但却说：他只从塔塔格里亚那里获得方程 的解法；另外两类方程的解法,是他发现的。塔塔格里亚义愤填膺！他于翌年出版了各种问题与发明（Quesiti et inuenzioni diuerse,1546），书中他详细叙述了自己发现三次方程解法的背景，以及卡丹发伪誓从他那里谋得该解法的整个过程。书中不乏对卡丹的指责。塔塔格里亚还致信卡丹，对他进行恶语攻击。然而，塔塔格里
29、亚的书信函激怒了卡丹的忠实而好斗的弟子费拉利。于是，又一场数学之战开始了。,案例3 三次方程求根公式的诞生,4米兰之战费拉利是波伦亚人，幼年丧父。14岁时叔父送他到米兰，在卡丹家当佣人。和塔塔格里亚一样，费拉利没有受过什么正规的学校教育，但因天资聪颖，口齿伶俐，能言善辩。卡丹十分喜爱他，于是教他拉丁文、希腊文和数学。1540年，费拉利成了米兰的一名数学教师，曾在一次公开的数学论战中击败科伊。1547年，费拉利向塔塔格里亚提出挑战。塔塔格里亚于4月21日寄给他31个问题，期限15天，并称过期无效。据塔塔格里亚后来自称：他在收到费拉利来信的当天就解出了的10个问题，,案例3 三次方程求根公式的诞生
30、,第二天又解出了若干题；第三天则解出了其余问题。塔塔格里亚来到故乡布雷西亚，向费拉利寄去了挑战书。书中塔塔格里亚约请费拉利于1548年8月10日上午时到米兰的一座教堂，就他对费拉利解答的反驳进行公开答辩。卡丹显然不愿见到塔塔格里亚，于是借故突然离开了米兰（当时卡丹已是帕维亚大学的医学教授）。在约定的那天，费拉利在包括米兰总督费兰特（Ferrante Gonzaga）在内的一大群朋友及别的许多人的陪同下来教学堂。而塔塔格里亚只带了他的一位兄弟。费拉利能言善辩，在法庭上倒打一耙，指控塔塔格里亚剽窃了费罗的成果，平时说话口吃的塔塔格里亚在激烈的舌战中的处境是可想而知的，尽管他是受害者，但在这场官司中
31、仍然败诉了。,案例3 三次方程求根公式的诞生,塔塔格里亚立即离开了米兰，绕道回布雷西亚。虽然塔塔格里亚在这场数学论战中本应是胜利者，但由于他的突然离去，使得费拉利在缺乏公正裁判的情况下反而被宣布为赢家，因而名声大噪。而塔塔格里亚晚境凄凉，1557年在贫穷、孤独中死去。5千古遗恨虽然卡丹背信弃义，背负千秋骂名，但塔塔格里亚也并非无可指责。他的可以早溯(su)到1535年的发现直到他死仍没有被公开发表。,案例3 三次方程求根公式的诞生,他把自己的发现尘封20余年，为的只是要将其发表于他筹划已久的著作数量通论中去。结果，数量通论后来终于出版了，而他一生中最得意的发现却付之阙如。全书共分6编，1557
32、年他去世时，第5编正在出版之中。第6编专论代数，本应包括三次方程的解法，但塔塔格里亚却来不及构思这最精彩的一编！书商特拉加诺（C.Trajano）在威尼斯出版了此书前5编后，,案例3 三次方程求根公式的诞生,委托一位博学的数学家去收集、整理塔塔格里亚的所有遗稿，以继续出版第6编。然而，这最后编只出版了第1卷便没了下文。该卷只包含一些代数运算方法，而只字未见三次方程的内容。是书商不愿再出钱出版其余部分，还是那位数学家未能顺利完成他的工作？我们不得而知。无论如何，有一点是肯定的：如果不是卡丹背弃誓言，那么为了解三次方程（因而还有四次方程），世人不知还要在黑暗中摸索多长时间。一个数学家是不该以任何借
33、口推迟发表他的发现的。数学发现不是体育比赛，你今年没拿这项冠军，或许明年还可再争取。在北方有人发现的东西，在南方也会有人发现，而优先权往往只属于第一个发表的人；就算你证明了早在20年前你就有同样的思想，你的要求也是没有价值的，你的权利也是过时的。这正是塔塔格里亚的悲剧留给人们的教训。,案例4 相似三角形的应用,例 1、古塔测高 如图所示，有一座落在平地上的古塔，不知高度，测得影长为11.3米。现将一长为0.8米的竹竿直立，使其影子的末端与塔影的末端重合，测得竹竿的影长为0.2米。求塔高。,提到古埃及，大家就会自然想到作为世界七大奇迹之一的金字塔。位于开罗附近吉萨省的胡夫金字塔法老胡夫的陵墓是埃
34、及最大的金字塔。大约建于公元前2500年左右，该金字塔呈正四棱锥形，底面正方形面向东西南北四个正方向，边长230.5m,塔高146.6m，近年来，科学家们通过使用精密的仪器对这一金字塔进行了测量，惊奇地发现，其底基正方形边长相对误差不超过1:14000,即不超过2cm。这说明当时的测量水平已相当高。,案例4 相似三角形的应用,泰勒斯测量过金字塔的高泰勒斯（古希腊数学家约公元前624前547）出生于小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的米利都城，早年从事商旅活动，最后走上了探索他自然奥秘的道路。泰勒斯是希腊最早的哲学学派爱奥尼亚学派的创始人。他被希腊七贤之首，是希腊数学的先驱。在埃及，泰勒斯测量
35、过金字塔的高；在巴比伦，预报了公元前585年的一次日蚀，等等。,案例4 相似三角形的应用,是如何测量金字塔高度的？,POL,PYRAMID,Thales(about 624 BC-about 547 BC),案例4 相似三角形的应用,这个例子根据古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的传说以及欧几里得光学中测量物体高度问题改编而成。教师在讲完这个例子后，可向学生介绍泰勒斯测量金字塔高度的故事，让学生明白，历史上人们对相似三角形性质的认识和应用很早，我们今天的方法早在两千五百多年前就已经为泰勒斯所用。真是“太阳底下没有新鲜事”！,案例4 相似三角形的应用,例2、隔河测距 如图所示，在A和B两点之间有一
36、条河。在BA延长线上取一点C，作BC的垂线AD和CE，点D位于BE上。测得AC=5米，CE=3.3米，AD=3米。求A、B之间的距离。,案例4 相似三角形的应用,这个问题根据海伦Dioptra中的间接测量问题改编而成。比古塔测高问题稍为复杂一些，因为，根据相似三角形性质所得到的比例中，有两项含有未知数，不能直接求得AB。和上述问题类似的问题与中国刘徽（3世纪）的海岛测高问题同用于教学设计，目的是让学生了解数学文化的多元性。,案例4 相似三角形的应用,例3、校园占地 如图，有一所正方形的学校，西门和北门各开在西、北面围墙的正中间。在北门的正北方30米处有一颗大榕树。一个学生从西门出来，朝正西方走
37、750米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校占地多少？,案例4 相似三角形的应用,这个问题是根据九章算术勾股章中的“邑方”问题改编而成的，原题为：“今有邑方不知大小，各开中门。出北门三十步有木。出西门七百五十步见木。问：邑方几何？”本问题比前面两个问题稍难，需通过开方求解。教师告诉学生，中国在汉代就有这类问题，汉代的测量技术已十分高超；中国古代的几何学与测量密切相关。,案例4 相似三角形的应用,例4、勾股定理的推广（分组讨论，合作探究）我们知道，在直角三角形ABC三边上作三个正方形，则两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，这就是勾股定理。,案例4 相似三角形的应用,推广：现在直角
38、三角形ABC三边上任作两两相似的三个三角形BCD、ACE和ABF，如图所示。关于这三个三角形的面积，你能得到什么结论？给出你的证明。,案例4 相似三角形的应用,这个问题要用到相似三角形的另一个性质，即面积之比等于相似比的平方。事实上，古代巴比伦人已经知道这个性质；而对于毕达哥拉斯是如何发现勾股定理的，西方数学史家的其中一种推测也是基于这个性质：过直角三角形直角顶点向斜边引高线，得大小三个两两相似的直角三角形，它们的面积之比等于各自斜边平方之比，但两个小直角三角形面积之和等于大直角三角形面积，故它们的斜边平方之和等于大直角三角形斜边的平方。,案例4 相似三角形的应用,练习题1、如图，过直角顶点C
39、向斜边AB引垂线，D为垂足。于是直角三角形ADC、BDC、和ABC两两相似。你能利用相似三角形的性质证明勾股定理吗？,案例4 相似三角形的应用,2、解九章算术问题：“今有井径五尺，不知其深。立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸。问：井深几何？”,案例4 相似三角形的应用,3、在一个勾5米，股12米的直角三角形空地上，要建一个正方形花坛，要求花坛的面积尽量大。请给出你的设计方法。（改编自九章算术勾股章“勾股容方”问题）,案例5 一元二次方程的概念,例 1 矩形面积为12，宽为长的3/4。问该矩形的长、宽各为多少？（埃及纸草书）例 2 已知矩形面积为60，长比宽多7。问该矩形的长为多少？列出矩形
40、的长所满足的方程。例 3 已知矩形面积为60，长比宽多7。长宽之和为17，问该矩形的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。（巴比伦泥版）,案例5 一元二次方程的概念,案例5 一元二次方程的概念,例 4 长为30英尺的梯子竖直靠在墙上，当梯子的顶端沿墙向下滑动6英尺时，底端离墙滑动多远？例 5 在例 4 中，如果梯子的顶端沿墙再一次向下滑动6英尺，那么底端将再一次滑动多远？试列出底端再一次滑动的距离所满足的方程。,案例5 一元二次方程的概念,例 6 如图，有一所正方形的学校，南门和北门各开在南、北面围墙的正中间。在北门的正北方20米处有一颗大榕树。一个学生从南门出来，朝正南方走14米，然后转向西走
41、1775米，恰好见到学校北面的大榕树。问这所学校每一面围墙的长度是多少？试列出方程。,案例5 一元二次方程的概念,案例5 一元二次方程的概念,（展示图片）现在大家看到的是 中世纪欧洲最伟大的一位数学家，他叫斐波纳契。他在1225年写成 一本书，叫花朵（听起来不 像数学书名）。在该书中，斐波 纳契提出了如下问题,斐波纳契,案例5 一元二次方程的概念,例7、如图2，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=10，BC=12。AD是底边BC上的高。在AB、AC上各求一点 E、F，在BC上求两点G和H，使AEGHF是等边五边形。,案例5 一元二次方程的概念,在教师的引导下，基于已有的知识和经验，学生从例2
42、、3、5、6、7中分别得到各不相同的一元二次方程，如下表所示。,案例5 一元二次方程的概念,案例 5 一元二次方程的概念,练习1、两个正方形面积之和为1000。一个正方形边长是另一正方形边长的减去10。求这两个正方形的边长。（巴比伦泥版上的问题）练习2、在某公园内一块边长为50米的正方形空地上建造一个正方形鱼池，要求水池旁边有供人观赏行走的通道，且水池占地面积为空地面积的60%。请完成你的设计。,案例5 一元二次方程的概念,案例5 一元二次方程的概念,本教学设计在以下几个方面贯彻了新课程的思想、理念、目标和要求。1、包含浓郁的历史文化气息，体现数学是人类的一种文化。让学生体会数学的悠久历史，数
43、学与人类文明的密切相关性，数学文化的多元性。2、教学活动建立在学生已有的知识经验基础之上，在引出新知识的同时也巩固了旧知识（如开平方、轴对称、勾股定理、图形的相似性等）。,案例5 一元二次方程的概念,本教学设计在以下几个方面贯彻了新课程的思想、理念、目标和要求。3、增强学生的应用意识，让学生体会数学与现实生活的联系。4、使学生经历从实际问题中建立数学模型的过程，感受一元二次方程作为一种数学模型的重要性。5、使学生经历数学知识的形成过程。,案例5 一元二次方程的概念,6、利用背景知识以及古人的问题情境，激发学生的好奇心与学习兴趣，促进自主学习。7、使学生体会到不同数学知识之间的密切联系。8、创造
44、学生的学习动机，为后面一元二次方程解法的教学埋下了伏笔。,案例6 实无穷概念,实无穷测试题1、正整数集1，2，3，4，5，中的元素是否比平方数集 1，4，9，16，25，中的元素多？A、是 B、否 C、不知道 解释你的答案。2、正整数集1，2，3，4，5，中的元素是否比偶数集 2，4，6，8，10，中的元素多？A、是 B、否 C、不知道 解释你的答案。,案例6 实无穷概念,3、观察长度分别为4厘米和6厘米的线段AB和CD，若比较 AB和CD上的点，CD上的点是否比AB上的点更多？A、是 B、否 C、不知道 解释你的答案。,案例6 实无穷概念,4、再观察线段AB和CD，连接CA和DB，并延长，交
45、于点O，设P是CD上任意一点，连接PO，交AB于P。CD上的点是否比AB上的点更多？A、是；B、否；C、不知道 解释你的答案。,案例6 实无穷概念,5、设，则集合A和 B是否具有同样多的元素？A、是;B、否;C、不知道 解释你的答案。,案例6 实无穷概念,两个集合 A 和 B都满足：(1)A和B都是无穷集合；(2)B是A的真子集；(3)A和B的元素之间存在一一对应关系。,案例6 实无穷概念,案例6 实无穷概念,研究发现：学生比较无穷集合所用的策略 类型1 集合A与集合B中的元素个数均为无穷，所以元素一样多。类型2 集合A与集合B的元素都是无穷多，无法比较。类型3 集合B是集合A的真子集，集合A
46、中的元素比集合B中的元素多。类型4 集合A与B之间存在一一对应关系，两个集合中的元素一样多。,案例6 实无穷概念,历史相似性古希腊G.Galilei(1638)：Dialogues concerning two new sciences：两条不相等的线段AB和CD上的点可以构成一一对应；正整数集和正整数平方所构成的集合之间可以建立一一对应关系。伽利略没能解决部分与整体“相等”的矛盾。他认为无穷大量都是一样的，不能比较大小，即不能将“大于”、“小于”和“等于”这样的词用于无穷大量。,案例6 实无穷概念,19世纪，高斯（C.F.Gauss,1777-1855）、柯西（A.L.Cauchy,1789
47、-1857）、魏尔斯特拉斯（K.Wierestrass,1815-1897）等都无法接受无穷集合，因为它们和伽利略一样，无法解决“部分等于整体”这个矛盾。波尔察诺（B.Bolzano,1781-1848）Paradoxes of the Infinite：包含关系准则“如果集合A是集合B的真子集，即A真包含于B，那么A中的元素少于B中的元素。”,案例7 符号代数,G.H.Nezzelmann希腊代数(1842)：代数学的发展经历三个阶段：,案例7 符号代数,符号代数的产生第一阶段称为文词代数(修辞代数)，这时的代数内容，完全是用文字词句来叙述的。第二阶段称为简字代数（缩略代数）或半符号式代数。
48、这种代数的特点就是把代数中的某些量或词用简缩的字母或记号表示。第三阶段就是符号代数。其主要特点就是系统地引入字母和符号表示数和许多基本数学概念以及它们的运算相关系。,第一阶段称为文词代数(修辞代数)，一个问题及其解答写出来就像一篇论说文。第二阶段称为简字代数，代表人物丢番图丢番图，活跃的年代是公元250年左右。在所有亚历山大后期的数学著作中，对古典希腊几何传统最离经叛道的一本是丢番图(Diophantus)的算术。这部具有东方色彩的著作，用纯分析的途径处理数论与代数问题，可以看作是希腊算术与代数成就的最高标志。丢番图的算术是一部划时代的著作，它在历史上的影响可以和欧几里德的几何原本一比高下。全
49、书共13卷，现在仅有希腊文本6卷，后又发现阿拉伯文本4卷。,丢番图算术特别以不定方程的求解而著称。所谓“不定方程”，是指未知数个数多于方程个数的代数方程（组）。丢番图是第一个对不定方程问题作广泛、深入研究的数学家，以至我们今天常常把求整系数不定方程的整数解的问题叫“丢番图问题”或“丢番图分析”。算术中最有名的一个不定方程是第2卷问题8，丢番图的表述是：将一个已知的平方数分成两个平方数。,问题相当于已知平方数 求数 和，使。这问题之所以有名，主要是因为17世纪法国数学家费马在阅读拉丁文本算术时，对该问题所作的一个边注，引出了后来举世瞩目的“费马大定理”,费马（法，16011665年）,费马大定理
50、,代数符号丢番图算术的另一项重要贡献是创用了一套缩(suo)写符号。特别是他使用了特殊的记号来表示未知数，据考证这个符号是。丢番图还用专门的符号来记乘幂，二次幂记为 三次幂是，四次幂是，五次幂，等等。减号为，方程中所有的负项都放在一个减号后，未知数乘幂的系数是用放在该幂号后的希腊数字表示，常数项记作（上面带一个）。这样，方程 记作,关于他的生平，有这样一则墓志铭：这里安葬着丢番图，多么令人惊讶，他忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，寿仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥
