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1、2023/10/17,信号与测试系统,1,第二章 集中参数系统数学建模,2-1 引言-动态测量系统的简化与分类2-2 线性集中参数电路系统建模2-3 线性集中参数机械系统建模2-4 仿真建模方法(相似模拟)2-5 连续时间系统数学模型的形式2-6 离散时间系统的数学模型,2023/10/17,信号与测试系统,2,第二章 线性集中参数系统的数学模型,2-1 引言-动态测量系统的简化与分类,(理论)建模第一步:系统简化,讨论测量系统动态特性时关心该系统的某些物理量(信号)之间的关系,忽略次要因数,前提:分析目的;运行条件依据:经验-试验,资料,分析目的;物理定律.,建模方法:,理论建模-syste
2、m modelling-系统模化.实验建模-system identification-系统辨识.,真实系统,物理模型,数学模型,2023/10/17,信号与测试系统,3,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-1 引言-动态测量系统的简化与分类,例1.(电量)传输导线的简化,+,-,实际的导线具有与长度相关的电阻、电感和分布电容。,如果Ui（t）频率较高，则导线x界面的电压、电流将成为时间t和位置x两者的函数-u(x,t);i(x,t),2023/10/17,信号与测试系统,4,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-1 引言-动态测量系统的简化与分类,如果我们关心导线中电压、电流的分布情况:
3、u(x,t)、i(x,t),或很精确的uo(t)ui(t)关系,便须正视电压电流在导线中各处不同的事实,用偏微分方程加以描述.如果我们主要关心uo(t)ui(t)关系,且允许有一定误差,便可用理想电阻电感电容器构成的网络替代电量在其中连续分布的实际导线可用常微分方程组描述我们的问题.,2023/10/17,信号与测试系统,5,如果ui(t)频率较低波长波速/频率L，则可简单用理想电阻替代导线可用代数方程组描述uo(t)ui(t)关系.如果ui(t)频率较低波长(波速/频率）L,且导线总电阻负载电阻,则可简单用理想导线替代实际导线 uo(t)=ui(t).,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2
4、-1 引言-动态测量系统的简化与分类,2023/10/17,信号与测试系统,6,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-1 引言-动态测量系统的简化与分类,例2.钢球的简化,钢球,1.运动员用作“铅球”推掷:关心掷力与掷出距离的关系。可把钢球简化成一个质量集中于质心的质点.,2.用作巨型做轴承的“滚珠”：关心“滚珠”相互碰撞等冲击外力作用下“滚珠”的动态变形。则应把钢球看成质量分布于整个球体的可变形球.,2023/10/17,信号与测试系统,7,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-1 引言-动态测量系统的简化与分类,可从多种角度,根据物理模型的性质,对系统进行分类：集中参数系统全部由集中参
5、数元件构成的系统。分布参数系统包含分布参数元件的系统。定常系统(时不变系统)所有结构参数均不随时间变化的系统。非定常系统(时变系统)有结构参数随时间变化的系统。线性系统 非线性系统,2023/10/17,信号与测试系统,8,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-1 引言-动态测量系统的简化与分类,简化的产物集中参数元件.描述其特征的参数量集中在空间的某一点;表达其状态的物理量与空间位置无关.R,C,L;理想平动刚体,理想弹簧,.元件的本性分布参数元件 描述其特征的参数量分布在元件所空间;表达其状态的物理量与空间位置有关.未简化所有元件.,2023/10/17,信号与测试系统,9,第二章 线性
6、集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,2-2 线性集中参数电路系统建模任务:列出可以定解所关心的系统变量的数学方程(组)及其求解条件.集中元件电路系统的构成元件:R、C、L、Ug、ig、互感器、变压器,2023/10/17,信号与测试系统,10,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,任务:列出可以定解所关心的系统变量的数学方程(组)及其求解条件.集中元件电路系统的构成元件:R、C、L、Ug、ig、互感器、变压器,2023/10/17,信号与测试系统,11,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,任务:列出可以定解所关心的系统变量的数学方程(组
7、)及其求解条件.集中元件电路系统的构成元件:R、C、L、Ug、ig、互感器、变压器,2023/10/17,信号与测试系统,12,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,建模依据:A.元件约束方程欧姆定律、库仑定律、法拉第定律 B.系统约束方程KVLKirchhoff 回路电压定律 KCLKirchhoff 节点电流定律.建模方法:节点法；回路法；混合法。建模步骤:1、明确任务；2、选定解变量，并标在电路上；3、根据物理定律列写方程；4、根据系统给出定解条件，并对方程整理，使之成为系统模型的标准形式。,2023/10/17,信号与测试系统,13,例2-1列写关联us(t)为输
8、入，uc(t)为输出的数学模型。,运行时域:t=0+;初始时刻:t=0-，即将到t=0时.初始时刻系统松弛,解:选回路电流 i(t)作辅助变量,如图示.,KVL:,由C的器件约束方程有,代入(1)可得:,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,初始条件为,2023/10/17,信号与测试系统,14,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,例2-2列写关联ig(t)为输入uc(t)及iL(t)为输出的数学模型。,运行时域:t=0+;初始时刻:t=0-，即将到t=0时.初始时刻系统松弛,解:选回路电流 i1(t),iC(t)作辅助变量,如图示.,节点KCL,
9、回路KVL,2023/10/17,信号与测试系统,15,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,注意到 可得:,考虑初始松弛,可列初始条件为:,2023/10/17,信号与测试系统,16,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,如果关心 uCig关系,则由(2-12)第一式解出 iL代入第二式,可得:,初始条件为:,后式可由(2-12)得到,如果关心 UR2ig关系,则可由(2-12)、(2-13)消去 UC、iL代入(2-11)第二式,可得:,初始条件为:,可由(2-12)、(2-13)导出,2023/10/17,信号与测试系统,17,第二章 线性集中
10、参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,初始条件,2023/10/17,信号与测试系统,18,解:对初、次级回路分别应用KVL,运行时域:t=0+.初始松弛,t=0时合上开关K.,若要建立e(t)i2(t)关系,则由(2-20)、(2-21)消去i1(t)可得:,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,例2-3 列写关联e(t)i1(t),i2(t)的数学模型.,初始条件为:,初始条件为:,2023/10/17,信号与测试系统,19,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,状态方程模型,建立状态方程的步骤：1、把所有的独立电容电压和独立电感电流作为状
11、态变量；2、对电容写出独立节点的KCL方程，对电感写出独立回路的KVL方程；3、整理方程：用状态变量与激励来表示状态变量的变化率和系统的输出。,2023/10/17,信号与测试系统,20,状态方程：输出方程：,2023/10/17,信号与测试系统,21,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,例2-4 列写电路系统的状态方程，若以R5上的电压U5和电源电流i1为输出，列出输出方程。,解:选电感电流iL1、iL2和电容电压UC为状态变量，并令,节点a：,回路和的电压方程：,取Ug、R4、R5组成的回路：,节点b：,2023/10/17,信号与测试系统,22,第二章 线性集中参
12、数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,将（1）代入（4）得：,由（3）、（5）可解得：,（6）代入（2）得：,2023/10/17,信号与测试系统,23,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-2 集中元件电路建模,电路系统的输出：,将（6）代入上式得输出方程：,2023/10/17,信号与测试系统,24,第二章 线性集中参数系统的数学模型,2-3 线性集中参数机械系统建模,机械系统(环节)在动态测量系统中的角色:传感器,集中元件机械系统,机械系统1,机械系统2,2023/10/17,信号与测试系统,25,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-3 集中元件机械系统建模,质量块,外界通过A、
13、B两节点作用于元件的力,A节点相对于B节点的位移,A节点相对于B节点的速度,(运动)参考框架,(质量块)本体,此约束方程成立的前提:参考框架是惯性系,元件约束方程:,牛顿第二定律,2023/10/17,信号与测试系统,26,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-3 集中元件机械系统建模,弹簧,外界通过A、B两节点作用于元件的力,A节点相对于B节点的位移,弹簧刚度,元件约束方程:,虎克定律,2023/10/17,信号与测试系统,27,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-3 集中元件机械系统建模,阻尼器,外界通过A、B两节点作用于元件的力,A节点相对于B节点的位移,阻尼系数,源自固体在流体中
14、匀速运动时会受到流体的粘滞阻力.,元件约束方程:,泊肃叶定律,2023/10/17,信号与测试系统,28,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-3 集中元件机械系统建模,力源,外界通过A、B两节点作用于元件的力,A节点相对于B节点的速度,力源提供的力,元件约束方程:,与v无关.,2023/10/17,信号与测试系统,29,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-3 集中元件机械系统建模,速度源,外界通过A、B两节点作用于元件的力,A节点相对于B节点的速度,速度源提供的速度,元件约束方程:,与f无关.,2023/10/17,信号与测试系统,30,第二章 线性集中参数系统的数学模型,2-3 线性集
15、中参数机械系统建模,机械节点：机械元件的连接点由无质量、不变形的理想刚架实现。,电节点：电路元件连接点由理想导线实现。,2023/10/17,信号与测试系统,31,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-3 集中元件机械系统建模,元件约束方程,质量块,弹簧,阻尼器,2023/10/17,信号与测试系统,32,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-3 集中元件机械系统建模,系统约束方程,A.达郎贝尔原理,任意机械节点所受外力之和等于零.,B.空间连续律,机械回路中全部机械节点的顺次相对位移或相对速度之和等于零.,2023/10/17,信号与测试系统,33,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-3
16、集中元件机械系统建模,例2-5 列出如图所示的机械系统的微分方程。其中 输入，输出。,2023/10/17,信号与测试系统,34,第二章 线性集中参数系统的数学模型,2-4 仿真建模方法(相似模拟)经验:不同的物理现象(系统),尽管其物理本质可能截然不同,但其内在规律物理量之间应服从的约束关系极其相似!,2023/10/17,信号与测试系统,35,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),仿真方法(Simulation)：构造与研究对象(不便即刻实现的系统)相似的模型(拟)系统,通过对此模拟系统的实验、观察,了解研究对象的内在规律.,寻求不同物理本质的系统间相似性的
17、基础,可用于构建系统的数学模型,2023/10/17,信号与测试系统,36,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),仿真建模方法的用途,相似,仿真规则,建模,仿真规则,系统A,系统B,模型A,模型B,系统B的数学模型已知,可用相似对应关系直接导出系统A的数学模型。对系统A所属的物理系统不太熟悉,可在熟悉的物理系统中构建系统A的相似(仿真)系统系统B；再建立系统B的数学模型,然后用相似对应关系导出系统A的数学模型。,用统一的观点去考察它们.,2023/10/17,信号与测试系统,37,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),物理量统一分
18、类,物理量,在系统中的作用功能,在系统中的存在形式,驱动变量:驱使系统发生变化(运动)的量 力;电压;温度;.流动变量:表达系统变化(运动)大小的量 速度;电流;热流量;.,跨越变量:跨越元件两端而存在的量 速度;电压;温度;.通过变量:贯穿元件而存在的量 力;电流;热流量;.,功能相似仿真(模拟),形式相似仿真(模拟),2023/10/17,信号与测试系统,38,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),功能相似模拟（力-电压相似模拟）,模拟(仿真)对照关系,2023/10/17,信号与测试系统,39,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似
19、模拟),用“功能相似仿真方法,利用电路分析结果,构建机械系统数学模型的仿真建模步骤,标明机械系统中各有关变量，并且明确一个统一的运动参考正向(标注出来)。将原始机械系统图改绘成“机械线路图”为“m”加上固连于大地的惯性参考坐标系，并与所连接点分开；外界作用力当力源处理，力源支点为大地；外界强迫运动(强迫位移、速度、加速度)当速度源处理。按“机节点电回路”和仿真对应关系画出相似(仿真)电路图，并用文字说明电路参数与机械参数的对应关系。在电路上标出与所关注的机械量对应的各个电量，并用文字说明。对相似(仿真)电路建模针对关注机械量所对应的电量关系。根据仿真对应关系进行参数、变量代换-要求的机械系统数
20、学模型。,2023/10/17,信号与测试系统,40,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),例2-6 建立图(a)所示机械系统的数学模型。以外力f(t)为输入，质量块位移x(t)为输出的输入输出方程,(a),(b),2023/10/17,信号与测试系统,41,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),解：首先选定运动参考正向如图所示。再改画机械线路图如图(b).,分离质量块；为外力明确施力点；引入节点速度,构建相似（仿真）电路如图(C).,机械节点-电回路;与机械节点相连器件的对象在电回路上,参数、变量对应关系为：,f(t)Ug(t)
21、;mL;R;k 1/C;vi(t).,2023/10/17,信号与测试系统,42,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),由于原系统关注 f(t)x(t)v(t),对电路应解 Ug(t)i(t)关系：,由KVL:,由相似（仿真）对应关系还原，可得：,f(t)-ug(t);m-L;-R;k-1/C;v-i(t).,注意到：,可得：,2023/10/17,信号与测试系统,43,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),形式相似模拟（力-电流相似模拟）,模拟(仿真)对照关系,2023/10/17,信号与测试系统,44,第二章 线性集中参数系统
22、的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),用“形式相似仿真方法,利用电路分析结果,构建机械系统数学模型的仿真建模步骤,标明机械系统中各有关变量,并且明确一个统一的运动参考正向(标注出来)。将原始机械系统图改绘成“机械线路图”为“m”加上固连于大地的惯性参考坐标系，并与所连接点分开；外界作用力当力源处理，力源支点为大地；外界强迫运动(强迫位移、速度、加速度)当速度源处理。按“机节点电节点”和仿真对应关系画出相似(仿真)电路图,并用文字说明电路参数与机械参数的对应关系。在电路上标出与所关注的机械量对应的各个电量,并用文字说明。对相似(仿真)电路建模针对关注机械量所对应的电量关系。根据仿真对应关
23、系进行参数、变量代换-要求的机械系统数学模型。,2023/10/17,信号与测试系统,45,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),例2-7 建立图(a)所示机械系统的数学模型。以外力f(t)为输入，质量块位移x(t)为输出的输入输出方程,(a),(b),2023/10/17,信号与测试系统,46,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),解：首先选定运动参考正向如图所示。再改画机械线路图如图(b).,分离质量块；为外力明确施力点；引入节点速度,构建相似（仿真）电路如图(d).,机械节点-电节点（1）;与机械节点相连器件的对象在电节点（
24、1）上,参数、变量对应关系为：,f(t)ig(t);mc;1/R;k 1/L;vUc(t).,2023/10/17,信号与测试系统,47,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-4 仿真建模方法(相似模拟),由于原系统关注 f(t)x(t)v(t),对电路应解 ig(t)Uc(t)关系：,由KCL:,由相似（仿真）对应关系还原，可得：,注意到：,可得：,f(t)ig(t);mc;1/R;k 1/L;vUc(t).,2023/10/17,信号与测试系统,48,第二章 线性集中参数系统的数学模型,2-5 连续时间系统数学模型的形式,连续时间信号:在所关注时间范围内的任意时刻都有确切值的信号(注意与
25、数学中连续函数的区别)离散时间信号:只在某些特定时刻有确切值,而在其余时刻值不确定的信号(离散时间信号是人为的.实际信号的离散采样;数字计算机时钟节拍),2023/10/17,信号与测试系统,49,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-5 连续时间系统数学模型的形式,系统所及的信号都是连续时间信号连续时间系统.系统所及的信号是离散时间信号离散时间系统.,U（t），V（t）,(动态)测量系统,2023/10/17,信号与测试系统,50,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-5 连续时间系统数学模型的形式,y(t)x(t)关系?其他变量x(t)?,数学模型刻画系统变量间关系的数学表达式,输入输
26、出方程(模型)直接给出y(t)x(t)关系,不管实现内幕.,状态方程(模型)在了解内幕的同时把握y(t)x(t)关系,微分算子的应用,2023/10/17,信号与测试系统,51,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-5 连续时间系统数学模型的形式,输入输出方程,理想的动态测量系统(通道)都是所谓的单输入单输出系统-输入量x(t)为待测信号,输出y(t)是测量结果.,y(t)x(t)关系?,单输入单输出线性测量系统输入输出方程的一般形式:,2023/10/17,信号与测试系统,52,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-5 连续时间系统数学模型的形式,状态方程,y(t)x(t)关系?系统内部
27、状态?(物理量的取值?),状态变量,表达动态系统状态的一组变量,这组变量可以全面描述系统的历史对其未来的影响只要这组变量在t0时刻的值已知,则系统在任意tt0时刻的状态(系统中各变量的取值)都可以唯一确定.知道了这组变量值,便可通过代数组合求出系统的其他任何变量(不须再解微分方程).,状态方程:,输出方程:,单输入输出系统,2023/10/17,信号与测试系统,53,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-5 连续时间系统数学模型的形式,状态变量:,个数一定=系统阶数.变量的选择不唯一.-对于同一系统,可用不同的状态变量(组)来描述.-同一系统,可有不同的状态方程模型.选择状态变量的建议:电容
28、电压;电感电流.构建状态方程模型的步骤:1.确定系统阶次;2.选定状态变量;3.列方程,.,2023/10/17,信号与测试系统,54,微分算子及算子传递函数,在处理集中参数系统的数学模型时,可用一个所谓的微分算子D来表达对时间的微分(求导数)-方便书写和推导.,微分算子:,D,Dn只能从左边作用于某个函数(信号),表示对其进行求导(微分).,高阶微分算子,错误表达：,正确表达：,2023/10/17,信号与测试系统,55,微分算子多项式,利用微分算子可以表达为：,2023/10/17,信号与测试系统,56,逆微分算子:,逆微分算子多项式:,其中 P(D),Q(D),G(D),.为微分算子多项
29、式,(t0考察起点),2023/10/17,信号与测试系统,57,微分算子,逆微分算子及其多项式的运算性质:,1.微分算子多项式 满足交换、结合、分配律:,交换律:,结合律：,分配律：,2023/10/17,信号与测试系统,58,2.逆微分算子多项式满足分配律;,分配律：,但若要满足交换律与结合律则须要加约束条件：在t=t0时，函数及其各阶导数为0。,2023/10/17,信号与测试系统,59,微分算子多项式,算子传递函数,算子传递函数，它不是一个真正的函数;它只能从左边作用于其他函数,表示进行某种运算.,?,（零起始条件）,2023/10/17,信号与测试系统,60,第二章 线性集中参数系统
30、的数学模型,2-6 离散时间系统的数学模型,系统所及的信号是离散时间信号-离散时间系统,v(t),u(t),动态测量系统,离散时间信号:只在某些特定时刻有确切值,而在其余时刻值不确定的信号（离散时间信号是人为的.实际信号的离散采样;数字计算机时钟节拍),2023/10/17,信号与测试系统,61,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-6 离散时间系统的数学模型,离散时间信号的表示.只在特定时刻.,t-2,t-1,t0,t1,t2,t3,.有确切取值,在其余时刻无定义!,2023/10/17,信号与测试系统,62,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-6 离散时间系统的数学模型,考虑常见的等间隔
31、离散时间信号:ti-ti-1=常数.t0作为信号起点,已知.,用序号n简记有定义的tn时刻,等间隔离散信号,一个时间间隔称为一拍，n为拍的序号,约定:等间隔离散信号记号-方括号,序数自变量.,n=0对应t=t0=通常t0=0,离散序列,一般符号:xn;yn;zn;.解析表达式:zn=7n+3n2;.短序列离散信号表述方法:.,z-2,z-1,z0.z1,z2,.,2023/10/17,信号与测试系统,63,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-6 离散时间系统的数学模型,线性离散时间系统的基本构件,加法器:放大器(系乘器):延拍器:信号共享器:,2023/10/17,信号与测试系统,64,第二章 线性集中参数系统的数学模型 2-6 离散时间系统的数学模型,离散时间系统建模实例例 已知系统如图所示,求输入输出方程联系ynxn的方程.,解:,2023/10/17,信号与测试系统,65,第二章 线性集中参数系统的数学模型2-6 离散时间系统的数学模型,由(5),(6)可得:(8)-(3)可得:(2)-(9)可得:由(5)可得:,令,（11）-（10）:（7）-（12）:,差分方程方程中出现同一离散信号在不同拍上的取值.,
