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1、第三章 测量平差原理,3.1 测量平差概述3.2 最小二乘平差原理3.3 测量平差的数学模型,本章阐述平差的基本概念，指出：平差数学模型不同，平差方法就不同，但其解是相同的。平差问题是由多余观测产生的，各类数学模型共同特点是方程数少于未知数个数，所以没有唯一解，只能求特定条件下的特解。这实际上是参数估计问题。平差采用的特定条件是最小二乘准则，其解符合最优估值的条件。,3.1 测量平差概述,什么叫测量平差？在多余观测的基础上，依据一定的数学模型和某种平差原则，对观测结果进行合理的调整（加改正数消除闭合差），从而得到一组最可靠的结果并评定精度。平差任务：（1）消除不符值，求出最或然值；（2）评定精
2、度,Survey adjustment,多余观测 多余必要观测的观测 例如：多次观测一段距离（只须观测一次）；测三角形内角，观测三个角（只须两个）,3.1 测量平差概述,3.1 测量平差概述,必要观测唯一地确定某个模型（几何或物理模型）所必须的最少观测几个数必要观测数：t，多余观测数：r，观测数：n 则 n=t+rr又称自由度,条件方程：一个几何模型若有多余观测值，则观测值的正确值与几何模型中的已知值之间必然产生相应的函数关系，这样的约束函数关系式在测量平差中称为条件方程。闭合差：以观测值代入条件方程，由于存在观测误差，条件式将不能满足。测量平差中将代入后所得值称为闭合差。测量平差任务之一，所
3、谓消除不符值，就是合理的调整观测值，对观测值加改正数，达到消除闭合差的目的。可见消除不符值就是消除闭合差。,3.1 测量平差概述,必要观测、多余观测,确定平面三角形的形状,观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有 种选择,确定平面三角形的形状与大小,6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。,必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。,实际上：,3.2 最小二乘平差原理,匀速直线运动的质点在时刻的位置y表示为：,实际上：,方程形式为：,“
4、最佳拟合”,平差中：,V:改正数向量P:权阵,“最佳”地拟合于各观测点的估计曲线，使各观测点到该曲线的偏差的平方和达到最小，这种方法叫最小二乘法。针对偶然误差的测量平差中，利用最小二乘法求得的估计量是最优估计量，具有以下性质：（1）一致性；（2）无偏性；（3）有效性,最小二乘原理,3.2 最小二乘平差原理,数学模型：用数学关系描述几何模型的几何关系和内在联系。函数模型：几何关系，描述观测量之间或观测量与待定量之间的数学函数关系式。随机模型：内在联系，是描述观测量及其相互间的统计相关性质。实际上，测量平差中所谓的随机模型，就是观测值向量的权阵。,3.3 测量平差的数学模型,3.3 测量平差的数学
5、模型,条件平差的数学模型,条件平差：观测值个数是n，必要观测次数是t，多余观测数是r=n-t，产生r个条件方程，以r个条件方程为函数模型的平差方法，就是条件平差。,其数学模型为：,3.3 测量平差的数学模型,条件平差的数学模型,3.3 测量平差的数学模型,条件平差的数学模型,条件平差就是求在满足r个条件方程下，的V值，并评定精度,系数阵,改正数,闭合差（不符值）,观测值,平差值,3.3 测量平差的数学模型,条件平差的数学模型,列条件方程的原则：（1）足数：条件方程的个数等于多余观测数（2）线性无关：方程式之间线性无关（一个 方程式不能由其他方程式线性组合得到）（3）形式简单,列方程依据：角度、
6、边长、高差等几何关系,3.3 测量平差的数学模型,条件平差的函数模型举例,r=2,(1),3.3 测量平差的数学模型,条件平差的函数模型举例,r=3,(2),A,B,C,S1,S2,已知点：A、B观测值如图,3.3 测量平差的数学模型,条件平差的函数模型举例,r=2,(3),A,B,C,L1,已知点：A、B观测值：L1-L6,D,L2,L3,L4,L5,L6,3.3 测量平差的数学模型,条件平差的函数模型举例,答案：,(1),(2),(3),3.3 测量平差的数学模型,间接平差的数学模型,间接平差：选定t个独立的参数，将每个观测值分别表示成这t个独立参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法就是间接平差。,其数学模型为：,3.3 测量平差的数学模型,间接平差的数学模型,3.3 测量平差的数学模型,间接平差的数学模型,观测方程（或误差方程）选取参数的原则：（1）所选取的t个待估参数必须相互独立；（2）参数与观测值的函数关系容易表示,列方程依据：角度、边长、高差等几何关系,3.3 测量平差的数学模型,间接平差的函数模型举例,(1),A,B,观测值：L1、L2、L3参数：,3.3 测量平差的数学模型,间接平差的函数模型举例,(2),3.3 测量平差的数学模型,间接平差的函数模型举例,答案：,(1),(2),
