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1、2.4 等比数列,如果一碗面由256根面条组成,请问需要拉面师傅拉几次才能得到?,我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是:,我国银行的定期储蓄中有“复利”的支付利息的方式，现存入银行1万元，年利率为1.98%，那么5年内各年末的本利和分别是:,拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列:,上面数列有什么共同特点?,从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数。,1,2,4,8,16,32,64,128,256,1.0198，1.01982,1.01983,1.01983,1.01984,11.01985,从第2项起，每一项与它
2、前一项的比都等于同一个常数,该数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，用q(q0)表示.,从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，该数列叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，用d表示.,1.等比数列定义,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。,或,其数学表达式：,对等比数列的认识：,（1）即等比数列的每一项都不为0；,（2）即等比数列的公比不为0；,（3）为非零常值数列.,练一练,是,不是,是,不确定,1、判别下列数列是否为等比数列?,是,2.等比数列的通项公式,问题：如何用
3、和表示第项.,归纳猜想法,叠乘法,这个式子相乘得，所以.,等比数列的通项公式为:,函数观点,方程思想,类指数函数式,解方程,知三求一,（1）数列：1，2，4，8，16，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,0,n,an,（2）数列：,n,an,（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，,n,an,（4）数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，,n,an,例1、某种放射性物质不断变化为其他物质，若每经过一年，剩留的这种物质是原来的 84%，则这种物质的半衰期为多少？（精确到1年）,例2、如右边框图，请写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推
4、公式，这个数列是等比数列吗？,例3:一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.,解：,用 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有,则这个数列的第1项与第2项分别是,解得:,因此:,3.小结,an+1-an=d,d 叫公差,an=a1+(n-1)d,an=am+(n-m)d,你还知道等差数列有什么性质吗?,你能类比写出等比数列的性质吗?,q叫公比,an=a1qn-1,an=amqn-m,观察如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等比数列：,（1）1，,9（2）-1，-4（3）-12，-3（4）1，1,3,2,6,1,如果在a与b中间插入一个数G，使a
5、，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。,4、等比中项,思考：我们知道，等差数列an满足下列公式（1）an=am+(n-m)d；（2）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 那么，等比数列是否也有类似的公式呢？,在等比数列an中，（1）an=amqn-m；（2）若m+n=p+q，则aman=apaq 特别地，若m+n=2p，则aman=ap2,例5、已知an，bn是项数相同的等比数列，那么数列 anbn还是等比数列吗？试证明你的观点。,证明：设an的公比为p，bn的公比为q，则,pq是一个与n无关的常数，anbn是以pq为公比的等比数列.,思考：那数列 是不是也是等比数列呢？an+
6、bn呢？,探究1：若an 是公比为q的等比数列，c为常数，则下列数列是等比数列吗？若是，公比是什么？,探究2：若an是各项为正数的等比数列，则下面的数列是等比数列吗？,例6、已知三数成等比数列，它们的和等于14，它们的积是64，求这三个数.,故这三个数为2，4，8或8，4，2.,（1）证明：a1=10 由an+1=2an+1可知an是递增数列 an0，故an+10,an+1+1=2an+2=2(an+1),数列an+1是等比数列.,思考：已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1.（1）求证数列an+1是等比数列；（2）求数列an的通项公式.,（2）解：a1=1 a1+1=2 数列an+1
7、是一个首项为2，公比也为2 的等比数列 an+1=22n-1=2n 故an=2n-1,思考：已知数列an满足a1=1，an+1=2an+1.（1）求证数列an+1是等比数列；（2）求数列an的通项公式.,练习：（1）在等比数列an中，若2a4=a5+a6，则公比q=_.（2）若a7a12=5，则a8a9a10a11=_.（3）在等比数列an中，若a3=4，a7=9，则a5=_.（4）已知是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5=()A.5 B.10 C.15 D.20,1或-2,25,A,6,练习：,2.若lga，lgb，lgc成等差数列，则a，b，c成 数列；,等比,拓展：若 a，b，c成等比数列，则lga，lgb，lgc是否一定成等差数列？,不一定，只有当a，b，c都大于0才成立.,1.若2a，2b，2c成等比数列，则a，b，c成 数列；,等差,归纳总结,判断一个数列是等比数列常用的方法：,an+1-an=d,d 叫公差,q叫公比,an+1=an+d,an+1=an q,an=a1+(n-1)d,an=a1qn-1,an=am+(n-m)d,an=amqn-m,比较：,
