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1、课题：等比数列的前n项和（第一课时）（选自人教版高中数学第一册（上）第三章第五节）一、教材分析1.在教材中的地位与作用等比数列的前n项和是数列这一章中的一个重要内容，从教材体系来看，它为后继学习提供了知识基础，“错位相减法”是一种重要的数学方法，它是求解“混合数列”前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识特点和能力培养而言，等比数列的前n项和不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养2教材的编排与例习题分析： 引言问题数学化建模问题的解决模型
2、的一般化等比数列前n项和公式公式的直接运用（例1、课后练习1、2）公式在实际问题中的运用（例2）公式的综合运用（例3、例4、课后练习3、4）（备注：本节教材共计划两课时，下面是第一课时的教学设计。）3.学生认知分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导不利因素是：本节公式的推导所要求的计算量更大，思维的深刻性更高。另外，对q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错4. 学情分析教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，因此
3、片面、不严谨，对问题解决的一般性思维过程认识模糊5. 重点、难点教学重点：等比数列的前项和公式的推导及方法实质的理解、公式的简单应用突出重点设计：“围绕三线、凸显重点”，即(一)知识技能线：问题情境数学建模问题解决公式推导公式运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳、 错位相减法、方程思想等；（三）能力线：数学建模能力观察能力数学思想解决问题能力灵活运用能力及严谨态度.教学难点：等比数列的前项和公式的推导及方法的理解从学生认知水平来看，学生的探究能力、问题解决的一般性思维方式的运用以及和数学交流能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等差数列的前n项和公式的推
4、导方法类比性不容易理解，它需要对等比数列的性质以及方程思想有较充分的理解并融汇贯通，而这对学生来说是比较困难的，而且错位相减法是第一次碰到，对学生来说也许有从天而降的突兀感觉.突破难点设计：一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生积极探索；二抓思维突破的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生对等比数列各项特征的观察、剖析，深刻理解求和公式的实质即为“用等比数列基本量：来表示”，从而灵活运用整体代换的消元思想把n项缩减为两项。等差数列求和采用的是转化为各项相等的加法，最后用乘法缩减项数，等比数列呢？可引导学生观察等比数列的各项的特点获得思路上的突破，教师在学生主体
5、下给予适当的提示和引导。二、目标分析（三维）：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的一些简单问题。一是已知等比数列基本量而求其前n项和；二是已知前n项和而逆向求解数列基本量；三是回归实际问题（国际象棋）的解决。通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透方程、特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探究，从中获得成功的体验，感受思维的力量美、形式的简洁美、数学的严谨美三、教学方法利用多媒体等辅助教学，采用启发和探究及建
6、构教学相结合的教学模式.四、教学过程设计学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，运用情景教学激发学生兴趣并进行数学建模，引入主题，利用探究式教学初步形成解决问题的思路，遵照特殊到一般的原则最终解决公式的推导，利用练习辨析公式特征和强化公式运用中的方程思想，实际问题的解决中培养对前n和公式的情感。由此思路设计了如下的教学过程：1.创设情境，提出问题 （阅读本章引言或多媒体展示）在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦
7、，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊为什么呢？提出问题：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数 2.学生自主探究： 方法1.学生可能会想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和这时可对这种思路给予肯定,同时指出其局限性。方法2. 提取公比2 设计方案：给与学生一定的思维时间,然后指出求和公式的实质即为“用等比数列基本量：来表示”，因此突破点在于”消元思想”的运用,引导学生回忆等差数列前n项和推导方法和方程原理。将后面的和式代换为的表达式，从而建立关于的方程。方法3.（错项相减法） 设计方案: 引
8、导学生理解:前n和求解也可理解为把n项和缩减为两项, 等差数列求和采用的是转化为各项相等的加法，最后用乘法缩减项数，充分运用了等差数列的性质与特征,那么等比数列求和中如何将中间各项消掉呢?引导学生观察等比数列中项的特点.点评：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？3.类比联想，由特殊到一般，将结论一般化 问题： (1)时, (2)时, 综上: 点评:现在我们运用错项相减法推导出了等比数列前n项和公式,完成了我们最初的设想“用等比数列基本量：来表示”,请同学们在练习本上默写两遍.同时在公式运用中注意”公比是否等于1”的问题.4. 辨析质疑（1）口答：在公比
9、为q的等比数列中若，则_若，则_（2）判断是非： （ ） （ ）若，则（ ）（3）对公式的再认识与讨论交流，巩固提高对公比q的分类讨论；公式中n的理解 结论： *要求学生再默写一遍.设计说明：理解公式的基础上,及时进行 “短、平、快”辨析质疑，强化了公式的结构特征，有助于学生第一次就形成严谨和完整的记忆.5.变式训练, 延伸拓展，深化认识。备用例题1：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？ 6 .故事结束，首尾呼应 最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.841019粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺
10、设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺 设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维7.总结归纳，加深理解，强化记忆（1）等比数列前n项和 ： （2）推导方法：错项相减法.(3)基本思想：特殊到一般、分类讨论、方程与消元。8.课后作业，分层练习必做： P143练习1（1）（3）2（2）；P143（习题3.5）1、2选作：1.已知是等比数列，请完成下表：题号(1)(2)(3) 2.P143（习题3.5）3五、教学设计说明1情境设置故事化.本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生初步体
11、会“数学来源于生活”， 采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲.2问题探究活动化教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思维的时间、探究的机会以及展示能力的舞台，通过他们自主学习、合作探究,分享学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦.3辨析质疑结构化 在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”辨析质疑，通过总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，有助于学生形成准确的记忆和优化知识体系.4巩固提高梯度化例1采用变式教学,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生关于基本量方法中的方程思想，通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力。5作业布置弹性化通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间有利于丰富学生的知识，拓展学生的视野，提高学生学习数学的兴趣
