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1、3.2立体几何中的向量方法,-方向向量与法向量,一 立体几何中的向量方法,A,P,直线的方向向量,换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量,一、方向向量与法向量,2、平面的法向量,l,换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量,例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC 的一个法向量坐标为_平面AB1C 的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(0,0,1),(1,0,0),练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.,A,B,C,D,P,E,解：如图所示建立
2、空间直角坐标系.,设平面EDB的法向量为,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.,用向量方法解决几何问题,二、立体几何中的向量方法平行关系,m,l,一.平行关系：,例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE/FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证明：如图所示,建立空间直角坐标系，则,/,AE与FG不共线
3、,例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，求证：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1 立体几何法,A,B,C,D,P,E,证法2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1连结AC,AC交BD于点G,连结EG,A,B,C,D,P,E,证法3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1，,设平面EDB的法向量为,A,B,C,D,P,E,解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,证明：,解得 x,三、立体几何中的向量方法垂直关系,垂直关系：,l,m,练习 棱长为a 的正方体 中,E、F分
4、别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：,z,x,y,解：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.则,例1 四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证 MNCD,MNAB.,证1:几何法,证2：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，设AB=2.则,x,y,Z,例1 四面体ABCD的六条棱长相等,AB、CD的中点分别是M、N,求证 MNCD,MNAB.,l,A,B,C,A,B,C,D,P,E,F,证法2：如图所示，以点D为原点建立空间直角坐标系，设DC=1.,A1,D1,B1,A,D,B,C,C1,y,z,E,F,证明：设正方体棱长为1，为单位正交
5、 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则,所以,x,证明：,设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系A-xyz，则,又平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一个法向量是,x,y,z,证明2：几何法,A,B,C,D,P,G,证法一：几何法,证法二：向量法,A,B,C,D,P,G,四立体几何中的向量方法夹角问题,夹角问题：,l,m,l,m,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以 与 所成角的余弦值为,夹角问题：,l,l,解法2（向量法）:如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz.则 C（1,0,0）A（0,1,
6、0）,夹角问题：,A,B,C,D,P,E,F,G,例3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.求二面角C-PB-D的大小.,五立体几何中的向量方法距离问题,距离问题：,(1)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则,练习.(P107.2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB4,AC6，BD8，求CD的长.,解1：几何法,练习.(P107.2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都
7、垂直AB,已知AB4,AC6，BD8，求CD的长.,解1：向量法,距离问题：,(2)点P与直线l的距离为d,则,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.,点E到直线A1B的距离为,距离问题：,(3)点P与平面的距离为d,则,d,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.,等体积法,解2,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求
8、D1C到面A1BE的距离.,解1:D1C面A1BE D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离.,仿上例求得D1C到 面A1BE的距离为,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.,等体积法,解2,距离问题：,(4)平面与的距离为d,则,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,解1:面D1CB1面A1BD D1到面A1BD的距离即 为面D1CB1到面A1BD的距离,等体积法,解2,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,解3,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.,例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与A1E的距离.,1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求点A1与面D1CB1的距离.,2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与A1E的距离.,
