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1、第一节 对弧长的曲线积分,一、问题的提出二、对弧长的曲线积分的概念三、对弧长曲线积分的计算四、几何与物理意义五、小结 思考题,一、问题的提出,实例:曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,二、对弧长的曲线积分的概念,1.定义,被积函数,积分弧段,积分和式,曲线形构件的质量,2.存在条件：,3.推广,注意：,4.性质,三、对弧长曲线积分的计算,定理,注意:,特殊情形,推广:,例1,解,例3,解,例4,解,由对称性,知,四、几何与物理意义,五、小结,1.对弧长曲线积分的概念,2.对弧长曲线积分的计算,3.对弧长曲线积分的应用,思考题,对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为
2、负吗？,思考题解答,的符号永远为正，它表示弧段的长度.,练习题,练习题答案,第二节 对坐标的曲线积分,一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标曲线积分的计算四、小结 思考题,一、问题的提出,实例:变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,求和,取极限,近似值,精确值,二、对坐标的曲线积分的概念,1.定义,类似地定义,2.存在条件：,3.组合形式,4.推广,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,三、对坐标的曲线积分的计算,定理,特殊情形,(4)两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上）,可用向量表示,有向曲线元；,例1,解,例2,解,问题：被积函数相同，起点和终点
3、也相同，但路径不同积分结果不同.,例3,解,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,四、小结,1对坐标曲线积分的概念,2对坐标曲线积分的计算,3两类曲线积分之间的联系,思考题,思考题解答,曲线方向由参数的变化方向而定.,练 习 题,练习题答案,第三节 格林公式,一、问题的提出二、格林公式三、简单应用四、小结 思考题,一、区域连通性的分类,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域;,如果G内任一闭曲线总可以张
4、一片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.,一维单连通二维单连通,一维单连通二维不连通,一维不连通二维单连通,二、格林公式,定理1,边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.,证明(1),同理可证,证明(2),两式相加得,G,F,证明(3),由(2)知,L,1.简化曲线积分,三、简单应用,2.简化二重积分,解,(注意格林公式的条件),3.计算平面面积,解,四、小结,1.连通区域的概念;,2.二重积分与曲线积分的关系,3.格林公式的应用.,格林公式;,若区域 如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。,思考题,思考题解答,由两部分组成,外边界：,内边界：,第四
5、节 格林公式的应用,一、问题的提出二、曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积四、小结 思考题,一、曲线积分与路径无关的定义,B,A,如果在区域G内有,二、曲线积分与路径无关的条件,定理2,两条件缺一不可,有关定理的说明：,三、二元函数的全微分求积,定理3,解,解,四、小结,与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,练 习 题,练习题答案,第五节 对面积的曲面积分,一、概念的引入二、对面积的曲面积分的定义三、计算法四、小结 思考题,一、概念的引入,实例,所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.,二、对面积的曲面积分的定义,1.定义,2.对面积的
6、曲面积分的性质,三、计算法,则,按照曲面的不同情况分为以下三种：,则,则,例1,解,解,依对称性知：,例3,解,（左右两片投影相同）,例4,解,四、小结,2对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算.（按照曲面的不同情况投影到三坐标面上）,1对面积的曲面积分的概念;,注意：一投、二代、三换,思考题,在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.,思考题解答,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.,练 习 题,练习题答案,第六节 对坐标的曲面积分,一、基本概念二、概念的引入三、概念及性质四、计算法五、两类曲面积分之间的联系六、小结 思考题,
7、一、基本概念,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的投影问题:,二、概念的引入,实例:流向曲面一侧的流量.,1.分割,则该点流速为.,法向量为.,2.求和,3.取极限,三、概念及性质,被积函数,积分曲面,类似可定义,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,四、计算法,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,解,五、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,向量形式,解,六、小结,1
8、.对坐标曲面积分的物理意义,2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点,a.曲面的侧,b.“一投,二代,三定号”,思考题,思考题解答,此时 的左侧为负侧，,而 的左侧为正侧.,练 习 题,练习题答案,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲
9、面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,第七节 高斯公式 通量与散度,一、高斯公式二、简单的应用三、物理意义-通量与散度四、小结 思考题,一、高 斯 公 式,证明,根据三重积分的计算法,根据曲面积分的计算法,同理,-高斯公式,和并以上三式得：,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一种形式：,二、简单的应用,解,使用Guass公式时应注意:,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式,根据对称性可知,故所求积分为,证,利用高斯公式，即得,沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,我们有以
10、下结论：,三、物理意义-通量与散度,1.通量的定义:,2.散度的定义:,散度在直角坐标系下的形式,积分中值定理,两边取极限,高斯公式可写成,四、小结,3应用的条件,4物理意义,2高斯公式的实质,1高斯公式,思考题,曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？,思考题解答,曲面应是分片光滑的闭曲面.,练 习 题,练习题答案,第八节 斯托克斯公式 环通量与旋度,一、斯托克斯(stokes)公式二、简单的应用三、物理意义-环通量与旋度四、小结 思考题,一、斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,是有向曲面 的正向边界曲线,右手法则,证明,如图,思路,曲面积分,二重积分,曲线积分,1,2,1,根椐格林公
11、式,平面有向曲线,2,空间有向曲线,同理可证,故有结论成立.,另一种形式,便于记忆形式,Stokes公式的实质:,表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,二、简单的应用,解,按斯托克斯公式,有,解,则,即,空间曲线积分与路径无关的条件,斯托克斯公式的应用：空间曲线积分与路径无关的条件,问题：空间曲线积分在什么条件下与路径无关？,注意：空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零,用定积分表示为,三、物理意义-环流量与旋度,1.环流量的定义:,利用stokes公式,有,2.旋度的定义:,斯托克斯公式的又一种形式,其中,斯托克斯公式的向量形式,其中,Stokes公式的物理解释:,解,由力学知道点 的线速度为,观察旋度,由此可看出旋度与旋转角速度的关系.,向量微分算子,运用向量微分算子,则,定义,则,高斯公式可写成,斯托克斯公式可写成,四、小结,斯托克斯公式的物理意义,斯托克斯公式成立的条件,斯托克斯公式,练 习 题,练习题答案,
