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1、图形与证明,XXX 大学 张XXX,利用基本事实,证明下列命题.,（1）直角三角形全等的判定定理;（2）角平分线性质定理及逆定理;三角形的三条角平分线交于一点(内心);（3）垂直平分线性质定理及逆定理;三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心);（4）三角形中位线定理;（5）等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理;（6）平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.,证明文字命题的一般步骤:,(1)根据题意,画出图形;,(2)结合图形,写出“已知”和“求证”;,(3)写出证明过程（依据:基本事实、已知条件、学过的定义、定理）,证明的方法：,（1）从已知条件想可知的事项;（
2、2）由结论想使结论成立所需要的条件.,勾股定理：如果 ABC中 C90 那么 a+b=c.直角三角形的判别条件：如果 ABC中 a+b=c.那么 C90.,知识回顾,(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程.,直角三角形,归纳：,注意：数学的数形结合思想和问题转化思想的应用。,勾股定理用于求线段的长度、图形的周长、面积，勾股定理逆定理用于判断三角形的形状。,拼图验证:勾股定理,利用4个全等的直角三角形验证勾股定理,拼图验证:勾股定理,a,a,b,b,c,c,梯形面积=3个直角三角形面积的和,拼图验证:勾股定理,美丽的勾股树,规律：“生产”n次后，形成的图形中所有正
3、方形的面积和的变化规律为：（1+n）,S=1,如图,是一些由正方形和直角三角形拼合成的一棵小“勾股树”,其中最大的正方形边长为7cm,你能求出正方形A、B、C、D的面积之和吗？,例,7,E,F,G,A+B+C+D=G,G=72,正方形A、B、C、D的面积之和为49.,符号语言：如图，如果 点P在线段AB的垂直平分线上，那么 PAPB,线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,性质：,到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,符号语言：如图，如果 PAPB，那么点P在线段AB的垂直平分线上,判定：,线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合,三角形三边的垂直平分线交于一点，且这一点
4、到三个顶点的距离相等。,0,OA=OB=OC,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,符号语言：点P在AOB 的平分线上，且 PCOA于点C，PDOB于点D，PDPC,角平分线性质：,角的内部到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.,符号语言：,点P在AOB的内部，PCOA于C，PDOB于D，且PCPD点P在AOB的平分线上,角平分线判定：,三角形三个角的平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等。,OD=OE=OF,等腰三角形的性质：,1 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴。,3 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简称三线合一。,2 等腰三角形的两
5、个底角相等,在ABC中，AB=AC,BAD=CAD，ADBC，BD=CD,以上三个条件中的一个成立，则可推出其它两个结论。,如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）,符号语言：如图，在ABC中，若 BC，则 ABAC,等腰三角形的判定方法,等边三角形的性质与判定,1.具有等腰三角形的一切性质,2.三边都相等,3.三角均相等(为60),1.三边相等的三角形,2.三角均相等的三角形,4.有一个角为60的等腰三角形。,等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形。,3.有两个角为60的三角形。,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,符号语言：如果 RtABC中，ACB=90 D是
6、斜边AB边上的中点，那么 CD AB,梯形的有关概念：,一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫梯形.,两腰相等的梯形叫做等腰梯形。,等腰梯形的对角线相等,等腰梯形的性质：,等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴。,等腰梯形在同一底上的两个角相等,等腰梯形的判别：,注意：在进行等腰梯形的判别时，如果没有说明四边形是梯形，要先证明这个四边形是梯形，然后再说明同一底上两角相等的梯形是等腰梯形。,2 在同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。,1.等腰梯形的定义,梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.,梯形的中位线性质：,已知:如图,在梯形ABCD中,ADBC,E、F分别是的AB
7、、DC的中点.,求证:EF/BCAD,三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.,三角形的中位线性质:,已知:如图,在ABC中,点 D、E分别是的AB、AC的中点,求证:DE/BC,DE=,重要结论：,三角形的三条中位线组成的四个三角形全等，且与原三角形相似，相似比是1：2，面积比是1：4。,三角形的中位线与第三边上的中线互相平分。,重要结论：,中点四边形：,中点四边形：,四边形与特殊四边形,四边形,有一个角 是直角,1 关系图（定义）：,特殊四边形的性质,特殊四边形的判定方法：,平行 四边形,（1）两组对边分别平行；,（2）两组对边分别相等；,（4）一组对边,（3）两条对角线互相平分
8、；,矩 形,（1）是平行四边形，并且有一个角是直角；,（2）是平行四边形，并且两条对角线相等,菱 形,（1）四条边都相等；,（2）是平行四边形，并且有一组邻边相等；,（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直。,正方形,（1）是矩形，并且有一组邻边相等；,（2）是菱形，并且有一个角是直角。,等腰梯形,（1）两条腰相等的梯形.（2）同一底上的两个内角相等的梯形,平行且相等。,三个角是直角,（3）正方形定义,1 如图,在四边形ABCD中，ABC=ADC90,M、N分别是AC、BD的中点.猜一猜，MN与BD的位置关系，再证明.,2 如图-，ABC依次为任意三角形、直角三角形（A90）、等腰三角形（A
9、BAC）、等腰直角三角形（ABAC，A90），D、E、F 均分别ABC各边的中点，图-中的4个四边形 ADEF分别是怎样的四边形请证明。,（1）,（4）,（3）,（2）,3 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且ACBD，E、F 分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H求证：OGOH,M,（,）,4 三个城市分别位于一个等边三角形的三个顶点处，要在这三个城市之间铺设通讯电缆，现设计了三种连接方案（看课本39页的方案）,（1）请你用皮尺和圆规画出三种方案的示意图；,（2）请你在这三种方案中选择连线最短的方案，并加意证明。,5 如图,在ABC中，ABAC，ADBC,
10、垂足为D,点E在AD的延长线上，连接BE、CE.求证:BE=CE.,45,6 如图,在ABC中，A90，点D在BC上，ABACBD，EDBC,垂足为D.求证:AE=DE=DC.,7 在 RtABC中，ABAC，BAC90，O是BC的中点，（1）写出点O到ABC的三个顶点A、B、的距离关系（不要求证明）；（2）如果点个M、N分别在AB、AC上移动，在移动中保持ANBM，请判断OMN的形状，并证明你的结论。,8 在ABC中，ABAC，BAC90，点D在边BC上，（1）读句画图：沿直线AD把ABD对折，得到ADF，在 原图中画出对折后的ADF；翻折AC，使AC落在AF上，其折痕与BC交 于点E，画出
11、折痕AE，并连接EF，（2）翻折AC后，点C与点F是否重合？DEF是什么样的三角形？你能证明吗？,A,D,C,B,DEF是直角三角形,9 如图,在梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中点，且BE平分ABC，求证：ABAD+BC。,10 如图,在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，EFAC,交AB于点F，ECBC 求证：AEBF。,11 如图，点O是ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，如果FGDE能构成四边形，（1）当点O在ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当点O移动到ABC外时，第（1）小题中的结论是否成立？画出图
12、形，并说明理由；（3）若四边形DEFG是矩形，点O所在位置应满足什么条件？试说明理由。,（1）,（2）,（3）,点O在ABC的边BC高线上,【例】:如图,ABC中B=2C,ADBC,垂足为D,M是BC的中点.求证:DM=AB.,.,E,证明:作AC的中点E,连接ME,DE,则ME/AB,且ME=AB(三角形的中位线定理),【例】:如图,在ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,F是BE延长线与AC的交点,DG是BCF的中位线.求证:AF=FC,EF=BE.,证明:,DG是BCF的中位线,DG=FC且DG/FC(三角形中位线定理),AE=DE,EDG=EAF,DEG=AEF,DEGAFE,DG=AF,GE=EF,AF=FC,BG=GF,GE=EF,EF=BE,小结,本节课重点研究了三角形的中位线定理及其应用,进一步体会在中位线定理的应用过程中,如何添加辅助线的问题.,
