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1、2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,1,第一换元法 第二换元法,分部积分法,几种特殊类型函数的积分,一、不定积分主要内容,基本积分公式,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,2,2、不定积分,1、原函数,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,3,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,不定积分的线性性质,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,4,3、基本积分表,是常数),2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,5,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,6,5、第一类换元法,4、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）,由定义直接利用基本积分表与积分的
2、性质求不定积分的方法.,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,7,常见类型:,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,8,6、第二类换元法,第二类换元公式,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,9,常用代换:,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,10,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,10,三、分部积分法,公式,形如：,取 u=Pn(x),其余部分当作 dv=v dx,形如:,取 dv=Pn(x)dx,其余部分当作 u,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,11,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,11,形如:,可把任一项取为 u，
3、,其余部分当作 dv,一般要连续分部两次再把所求的不定积分用解方程方法求得。,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,12,9、几种特殊类型函数的积分,（1）有理函数的积分,定义,两个多项式的商表示的函数称之.,真分式化为部分分式之和的待定系数法,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,13,四种类型分式的不定积分,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,14,此两积分都可积,后者有递推公式,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,15,（2）简单无理函数的积分,讨论类型：,解决方法：,作代换去掉根号,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,16,令,（3）三角函
4、数有理式的积分,定义,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,17,2.定积分的几何意义,二、定积分,1.定义,3.定积分存在的充分必要条件,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,18,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,19,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,20,四、可积函数类,注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,21,则对任意给定的,1、线性性质,五、定积分的性质,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,22,性质2,（乘积可积性
5、）,补充：不论 的相对位置如何,上式总成立.,性质3(积分区间可加性)设f(x)在a,b可积，acb,则f(x)在a,c及c,b可积，反之亦然。且有下式成立,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,23,性质4(保号性),如果在区间 上，,则有,性质5(保序性),性质6(积分估计)：,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,24,注意：反之不成立。例如,性质7(绝对可积性),2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,25,（积分第一中值定理）,性质8,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,26,性质9（定积分第一中值定理的推论）,积分中值公式,另一个特殊情况：,第一积分
6、中值定理的结论就变成了,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,27,1、积分上限函数性质,六、微积分基本公式,定理1,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,28,2、牛顿莱布尼茨公式,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,29,定理,七、定积分换元积分法,则有,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,30,八、定积分的分部积分法,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,31,常用性质和公式：,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,32,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,33,九、定积分应用的常用公式,(1)平面图形的面积,直角坐标情形,2
7、023/3/19,福州大学数学与计算机学院,34,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,35,极坐标情形,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,36,(2)体积,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,37,平行截面面积为已知的立体的体积,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,38,(3)平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,39,C曲线弧为,弧长,(4)旋转体的侧面积,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,40,质心(重心)1、平面曲线段的质心(重心),设有一平面曲线段L，其密度函数为(x)，设(x)在L上连续，则由,得平面曲线段的重心 为.,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,41,弧长微分,弧长,2、直角坐标情形,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,42,平面曲线段的质心为:,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,43,3、参数方程情形,2023/3/19,福州大学数学与计算机学院,44,
