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1、2023/3/19,1,第八章 玻色统计和费米统计,2023/3/19,2,8.1 热力学量的统计表达式,一、玻色系统热力学量的统计表达式,2023/3/19,3,2023/3/19,4,5、熵,2023/3/19,5,2023/3/19,6,2023/3/19,7,（6.7.4),玻耳兹曼关系,6、巨热力势,2023/3/19,8,二、费米系统热力学量的统计表达式,巨配分函数,对数：,2023/3/19,9,8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体,非简并系统：,弱简并系统：,强简并系统：,2023/3/19,10,不考虑分子内部结构，只有平动自由度，分子能量为：,则在体积V内，在 到 的能量范
2、围内，分子可能的微观状态数为：,g粒子可能的自旋而引入的简并度。,考虑平动自由度的能级是连续的，系统总分子数满足：,2023/3/19,11,系统的内能为：,令：,2023/3/19,12,展开式保留第一项相当于近似为玻尔兹曼分布，弱简并情形下，保留两项。积分可得：,2023/3/19,13,第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能，第二项是微观全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。在弱简并情形下，附加内能的数值是一个小量。费米气体的附加内能为正，而玻色气体的附加内能为负。可以认为，量子统计关联使费米子之间出现等效的排斥作用，而玻色粒子之间出现等效的吸引作用。,2023/3/19,14,8.
3、5 金属中的自由电子气体,在金属中，价电子脱离原子在整个金属中运动，称为公有电子。公有电子在离子产生的势场中运动，电子之间存在库仑相互作用。在初步的近似下，可以把公有电子看作封闭在金属体积中的自由粒子，称为自由电子。,经典统计的困难：根据能量均分定理，一个自由电子对金属的热容量将有3k/2的贡献。但实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容量基本可以忽略。,2023/3/19,15,金属中自由电子的费米统计理论,金属中自由电子形成强简并费米气体。,以Cu原子为例：,金属中自由电子的费米统计,根据费米分布，温度为T时处在能量为 的一个量子态上的平均电子数为：,2023/3/19,16,则在体
4、积V内，在 到 的能量范围内，电子的微观状态数为：,在体积V内，在 到 的能量范围内，平均电子数为：,2023/3/19,17,T=0K时的电子分布,T=0K时，电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一个量子态最多只能容纳一个电子。电子从 的状态起，依次填充至。,是T=0K时电子的最大能量。,2023/3/19,18,费米能量。,令：,费米动量。,费米速率。,费米温度。,2023/3/19,19,大小的数值估计，以Cu为例：,费米温度：,2023/3/19,20,0K时电子气体的总能量为：,0K时电子气体的平均内能：,0K时电子气体的压强为：,费米气体在绝对零度下：具有很高的平均能量、动量，并且产生很大的压强。微观状态数确定，熵为0。,2023/3/19,21,T0K时的电子分布：,2023/3/19,22,T0K时，只在附近量级为kT的范围内，电子的分布与0K时的分布有差异。,2023/3/19,23,自由电子热容量的定量计算,2023/3/19,24,2023/3/19,25,当 时，有：,将C代入，有：,2023/3/19,26,电子的热容量：,2023/3/19,27,常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。但在低温范围，离子振动的热容量按T3迅速下降,而电子的热容量与T成正比下降比较缓慢。所以，在足够低的温度下，电子的热容量就不能忽略。,
