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1、,微積分第九版,微積分基礎複習,Chapter 1,1.1實數線和順序1.2絕對值和實數線上的距離1.3指數和根號1.4多項式的因式分解1.5分式與有理化,第一章微積分基礎複習,P.1-1,1.1 實數線和順序,學習目標實數的表示、分類與排序。利用不等式表示實數的集合。解不等式。以不等式做為實際問題的模型並解之。,P.1-2,第一章微積分基礎複習,實數線,實數可用實數線(real number line)(或 x 軸)座標系來表示，如圖1.1。正方向(positive direction)(往右)指向 x 值遞增的方向。實數線上的某一點所對應的實數稱為該點的座標(coordinate)。如圖
2、1.1 所示，在實數線上按慣例都是標出座標為整數的點。,P.1-2 圖1.1,第一章微積分基礎複習,實數線,P.1-2,在實數線上對應到零的點稱為原點(origin)。在原點右邊的數字為正(positive)，而在原點左邊的數字為負(negative)。非負(nonnegative)這個字表示一個不是正就是零的數。,第一章微積分基礎複習,實數線,實數線的重要性在於提供實數的完全圖像。也就是，在實數線上的每一點都會對應到一個且只有一個實數，這種關係稱為一對一的對應(one-to-one correspondence)，如圖 1.2 所示。,P.1-2 圖1.2,第一章微積分基礎複習,實數線,在圖
3、 1.2 中四個點的任一點都對應到一個可表示成分數的實數，即這種數稱為有理數(rational)。有理數可表示成有限小數或無限循環小數，如下所示：有限小數無限循環小數,P.1-2,第一章微積分基礎複習,實數線,不是有理數的實數稱為無理數(irrational)，因此它們不能表示成分數(有限小數或無限循環小數)。所以，習慣會用近似值來表示一個無理數。一些在應用上常會出現的無理數，數學家已創造一些特殊符號來表示。例如，、和 e 等等，下面為各符號的近似值，請參考圖 1.3。,P.1-3 圖1.3,第一章微積分基礎複習,在實數線上的順序和區間,P.1-3 圖1.4,實數的一個重要性質是它們是有序的(
4、ordered)：0 小於 1、3小於 2.5、小於 等等。可由觀察 a 小於 b 若且唯若在實數線上 a 位於 b 的左邊，以圖形來描述這個性質。在符號上，a 小於 b記為 不等式 a b。例如在圖 1.4 中由實數線上，是在 1 的左邊就可推得。,第一章微積分基礎複習,在實數線上的順序和區間,P.1-3,當三個實數 a、x 和 b 排序後，使得 a x 且 x b 時，可說 x介於(between)a 和 b 之間而且寫成a x b x 介於 a 和 b 之間,第一章微積分基礎複習,在實數線上的順序和區間,所有介於 a 和 b 之間的實數所形成的集合稱為介於 a 和 b 之間的開區間(op
5、en interval)並記為(a,b)。區間(a,b)不包含端點a 和 b。包含端點的區間稱為閉區間(closed interval)並記為 a,b。a,b)和(a,b 形式的區間既非開區間也非閉區間。,P.1-3,第一章微積分基礎複習,在實數線上的順序和區間,P.1-3 圖1.5,圖 1.5 顯示九種在實數線上的區間。,第一章微積分基礎複習,學習提示,中括號是用來表示小於或等於()或大於或等於()，此外，符號 和 表示正無窮大(positive infinity)和負無窮大(negative infinity)。這些符號並不代表實數；只是用來精確地描述無界的情況。例如 b，)是右邊無界，因
6、為它包含所有大於或等於 b 的實數。,P.1-4,第一章微積分基礎複習,解不等式,在微積分中常需要解像 3x 4 換成 也有相同性質)。,P.1-4,第一章微積分基礎複習,學習提示,注意性質 3 和性質 4 的差異。例如3(4)(2),P.1-4,第一章微積分基礎複習,解不等式,P.1-4,注意，當不等式乘一負數時，不等式要反轉。例如，若 x 12。這個原則也適用在除於負數的情況。所以，若2x 4，則 x 2。,第一章微積分基礎複習,學習提示,一旦解出一個不等式，最好檢查一下一些在解集合的 x值是否滿足原不等式。也可檢查一些在解集合外的值來驗證它們並不滿足不等式。例如圖 1.6 顯示當 x 0
7、 或x 2 時，不等式是成立的。但是，當 x 4 時，不等式是不成立的。,P.1-4,第一章微積分基礎複習,範例 1解不等式,求不等式 3x 4 5 的解集合。,P.1-4,第一章微積分基礎複習,範例 1解不等式（解）,3x 4 5 寫出原不等式 3x 4 4 5 4 兩邊各加 4 3x 9 化簡 兩邊各乘 x 3 化簡,P.1-41-5,第一章微積分基礎複習,範例 1解不等式（解）,P.1-5 圖1.6,所以解集合是區間(,3)，如圖 1.6 所示。,第一章微積分基礎複習,檢查站 1,求不等式 2x 3 7 的解集合。,P.1-5,第一章微積分基礎複習,解不等式,在範例 1 中，五個列在解答
8、過程中的不等式有相同的解集合，因此稱為等價不等式(equivalent inequalities)。,P.1-5,第一章微積分基礎複習,解不等式,在範例 1 的不等式包含了一次不等式。要解較高次的多項式時，注意到只有在實數根(使多項式為零的實數)的地方，多項式才會改變符號。在兩個連續的實數根之間，多項式必定為正或為負。將多項式的實數根按大小順序排好後，將實數線分割成多個檢驗區間(test intervals)，在每個檢驗區間內多項式的正負是不會改變的。如果多項式可因式分解成(x r1)(x r2),.,(x rn),r1 r2 r3.rn則檢驗區間為(,r1),(r1,r2),.,(rn1,r
9、n),和(rn,),P.1-5,第一章微積分基礎複習,解不等式,例如，多項式x2 x 6(x 3)(x 2)只有在 x 2 和 x 3 時，會改變正負性。為確定多項式在區間(,2)、(2,3)和(3,)的正負，可在每一區間中選一個值代入多項式來檢驗。,P.1-5,第一章微積分基礎複習,範例 2解多項式不等式,求不等式 x2 x 6 的解集合。,P.1-5,第一章微積分基礎複習,範例 2解多項式不等式（解）,P.1-5,x2 x 6 寫出原不等式 x2 x 6 0 多項式形式(x 3)(x 2)0 因式分解所以多項式 x2 x 6 的根為 x 2 和 x 3，藉由檢驗多項式在區間(,2)、(2,
10、3)和(3,)的正負求得不等式的解。,第一章微積分基礎複習,範例 2解多項式不等式（解）,P.1-51-6,區間 x值 多項式的值 結論 正 負 正由上表可知在區間(2,3)中的所有值都滿足此不等式。由此可推得不等式 x2x6 的解為區間(2,3)。,第一章微積分基礎複習,範例 2解多項式不等式（解）,如圖 1.7 所示,P.1-6 圖1.7,第一章微積分基礎複習,檢查站 2,P.1-6,求不等式 x2 3x 10 的解集合。,第一章微積分基礎複習,應用,不等式常用來描述發生在商業或科學上的條件。例如，不等式8.8 W 26.4描述成猴的標準體重 W(磅)。範例 3 則是用一個不等式來描述一家
11、製造工廠的產量。,P.1-6,第一章微積分基礎複習,範例 3產量,除了每天固定的$500 經常帳費用外，一項產品生產 x 單位時的單位成本為$2.50。八月的每天生產總成本最高為$1325 而最低為$1200。求這一整個月間，一天的產量最高和最低各為多少。,P.1-6,第一章微積分基礎複習,範例 3產量（解）,因為生產一單位的成本為$2.50，所以生產 x 單位的成本為$2.5x。此外，每天的固定成本為$500，所以一天生產 x 單位的總成本為 C 2.5x 500。,P.1-6,第一章微積分基礎複習,範例 3產量（解）,由於每天的總成本介於$1200 和$1325 之間，故可寫出下列的不等式。,P.1-6,第一章微積分基礎複習,範例 3產量（解）,所以，在8月一整個月間，每天的產量從最低 280 單位到最高 330單位，如圖 1.8 所示。,P.1-6 圖1.8,第一章微積分基礎複習,檢查站 3,如果 10 月的每天生產總成本最高為$1500 而最低為$1000，用範例 3 的方法求一天最高和最低的產量。,P.1-6,第一章微積分基礎複習,
