数学文化讲座(张奠宙).ppt

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1、数学文化与文化数学,目录,一。数学是人类文明的火车头。四 个数学高峰 二。争取中国数学在世界上的平等 与独立 三。一些数学文化的理论问题 四。数学文化视角,数学是人类文明的火车头 四个数学高峰,古希腊文明-欧几里得几何原本 文艺复兴-牛顿力学-微积分 18、19世纪人类文明-伽罗华群论、非欧几何 电磁学方程 黎曼几何与爱因斯坦相对论 信息时代文明-冯.诺依曼计算机方案,第一高峰：古希腊数学文化,“对顶角相等”是否要证明？中国古代算学没有角的概念，谈不上对顶角。认为这是显然的，不需证明。几何原本。命题15：对顶角相等。用公理3：等量减等量，其差相等。,A,B,C,古希腊和中国的春秋战国,古希腊城

2、邦实行奴隶主的“民主政治”。男性奴隶主选举执政官，决定财政、战争等大事。民主需要辩论，平等地说服。理性思考。崇尚精神上的真理追求 中国春秋战国，实行君王统治。知识分子可以百家争鸣，但是以说服君王为目标。中国古代数学是官方的管理数学。崇尚实用。九章算术以丈量田亩，分配徭役，工程土方等计算方法。文化差异决定数学文化：理性演绎数学 实用管理数学,中国古代算学,中国古代的算学 以算法为特征 吴文俊继承特点 以机器证明（计算机算法）获国家科学奖 祖冲之计算Pi享誉世界 中国数学整体上比埃及、巴比伦、印度晚,第二高峰 牛顿、莱布尼兹发明微积分,文艺复兴：笛卡儿创立解析几何、坐标，“运动进入数学”。微积分思

3、想：费马论证：周长一定的矩形以正方形面积最大。取无穷小量E B(A-B)=(B+E)A-(B+E)BA B2=BA B2+AE 2BE+E2 整理得到（A-2B）E+E2=0略去 E，得到结论 A=2B。,B,A,牛顿：自然哲学之数学原理,1687 完成，1736出版“流数术”。基督教镇压科学、处死科学家 基督教的教义为科学留下了空间：人生来是平等的。王室邀请数学家进入宫廷 牛顿（爵士）、莱布尼兹是外交家欧拉（德国腓特烈大帝邀请到柏林、俄过沙皇喀德林一世邀请去彼得堡）中国除康熙邀请梅文鼎以外，数学家不受重视,17世纪中国数学。牛顿发明微积分的时代,前奏 1606 徐光启和利玛窦翻译几何原本前6

4、卷。1690年，康熙帝向传教士白晋等学习几何学，对数。1701年，莱布尼兹将2进制数表交给白晋，白晋把伏羲64卦交给莱布尼兹。,鸦片战争后的中国数学落后欧洲三百年。,李善兰（1811-1882）。中国传统数学最后一人，吸收西方数学，开创中国现代数学第一人。与伟列亚力（1815-1867）合作翻译几何原本后9卷，美国Loomis的代微积拾级（1859）。日本用此书。,中国最早的微积分译作,李善兰（1811 1882）,禾彳天 意思是 dx,第三高峰：19-20世纪初数学成就,法国大革命和法国数学学派（柯西、蒙日）德国工业的兴起和格丁根学派（高斯、黎曼）群论、非欧几何、复数、四元数、分析的严密化（

5、强调理性思维）三个伟大的方程：忽略少谈的数学家 热传导方程 傅立叶（内燃机）流体力学方程 拉普拉斯（航空）电磁学方程 马克斯韦尔（电磁波）,傅立叶（1768 1830）,马克思韦尔 1831-1879,数学与物理,狭义相对论与四维时空。广义相对论与黎曼几何。杨-米尔斯场 陈省身的纤维丛理论 高维 低维（四维最难）Witten（物理学家）获得数学最高奖 霍金（理论物理学家）参加2002 数学家大会,科学文化的代表：,希尔伯特提出23个数学问题（1900）,报载：瑞典的一位女助教解决了第16问题 16。代数曲线和代数曲面的拓扑问题 第二部分 讨论 dy/dx=Y/X 的极限环的最大数目。其中 Y,

6、X 分别是x,y 的n次多项式苏联和中国的数学家研究过 n=2 的情形,希尔伯特 1862-1943,陈省身和华罗庚（清华“双子”星座）,E.Cartan 陈省身 吴文俊 创立大范围微分几何 哈代 华罗庚 陈景润、王元 中国的解析数论学派如果华罗庚到汉堡随阿丁（E.Artin)学习代数数论，中国的数学历史将要改写了？,两人唯一照片1972。北京,希尔伯特的形式主义思潮,形式主义和逻辑主义、直觉主义展开论战。形式主义思潮占据主导地位。形式主义。两点之间有且只有一条直线，也可以说成两个啤酒瓶之间有一张桌子。数学=形式，内容无关紧要数学是公理体系。一切数学 命题都可以形式地判定真伪 哥德尔说：不。（

7、1931）数学：思想的体操？数学=公理；数学=逻辑？,第四高峰：第二次世界大战改造数学,维纳、科莫哥罗夫：火炮自动控制 运筹学产生于战场 原子弹爆炸。冯.诺依曼的数学参与.美国国家的应用数学小组(AMP).柯朗.水下爆破。轰炸机的流体力学计算 密码破译.图灵机的诞生 电子计算机产生（中国数学仍然停留在纯粹数学，没有介入反法西斯战争的努力,战后：1948年的数学地图,1948：美国仙农发表信息的数学理论1948：维纳发表控制论。信息、控制是数学吗？1948：von Neuman 计算机方案形成 中国缺乏这样的数学偶像,信息时代的数学技术,冯.诺依曼组织“数字天气预报”(1950)线性规划大发展.

8、计算机实时控制.调度.卡尔曼滤波.航天技术 CT扫描.拉东变换.计算机模拟技术.军事模拟.计算机 软件的数学技术金融数学技术（中国没有以上原创的数学技术，紧跟）,中国科学最高奖,吴文俊：机器证明 王 选：印刷革命 数据压缩 陈景润：1980年代的数学英雄,1970年：走出布尔巴基的光环,布尔巴基的结构主义 冲破“函数论”王国的统治 用“代数结构、序结构、拓扑结构”统一数学。集合论、测度论、李群论、抽象代数、代数拓扑、泛函分析 融为一体。不能包括微分几何、数论、概率统计、计算数学、离散数学 1950年。吴文俊在科学通报介绍布尔巴基。无人喝彩。1970年。年轻数学家走出布尔巴基的影响 1980年。

9、中国大规模介绍布尔巴基学派。,20世纪核心数学飞速发展,从局部到整体（拓扑）从交换到非交换（算子代数。K理论）从线性到非线性（混沌、分维）从低维到高维、无限维 随机数学大发展,第二部分,争取中国数学在世界上的 平等与独立,二十世纪数学简史,数学中心的转移：巴黎-格丁根-普林斯顿 1900(1900-1933)(1933-)莫斯科大学.Steklov数学研究所 剑桥大学三一学院 巴黎Poincare 研究所 波恩Max-Plank研究所 加拿大Fields数学研究所,黑色的1933年,希特勒上台.排挤迫害犹太人.4月,命令一切犹太籍的教授立即离开校园.爱因斯坦;H.外耳(Weyl,妻子是犹太人)

10、;冯.诺依曼;柯朗;诺特;哥德尔;波利亚;兰道;世界一流的顶尖的数学家到了美国.那时美国正在经济危机之中.普林斯顿高级研究所的成立.6名教授:爱因斯坦;冯.诺依曼;外耳;Veblen,Alexander,Morse.,中国现代数学的艰难历程,同文馆中设天文算学馆的争论。（1860）x,y,z,w 取代 天地人元的历程 1902年，江南考场某举子在试卷上写阿拉伯数字，主考官黄漱兰：“以夷变夏，其心殊不可问”。逐出考场。1847 容闳带学生到美留学,没人学数学.1862年日本派人来中国考察,带回,为日本唯一的微积分读本.1898年,中国向日本大量派遣留学生.19世纪,中国到欧美学数学的竟无一人.,

11、中国数学的发展,第一个数学博士胡明复。哈佛大学（1917）1920年代数学系：学士水平 1930年代数学系：硕士水平 1940年代：实际上能够培养博士 1980年代：大陆正式授予第一批数学博士,世界著名的华人数学家,陈省身（美籍）整体微分几何的奠基人）获沃尔夫奖（终身成就）。丘成桐（美籍）获费尔兹奖（40岁以下）华罗庚（1910-1985）美国科学院外籍院士。数论，多复分析，代数。冯康。计算数学。有限元方法创始人之一 许宝录（1910-1970）数理统计学创始人之一 年轻的华人数学家正在迅速发展中：田刚、夏志宏、张伟平,2002年国际数学家大会,霍金来了！纳什来了！中国数学取得世界瞩目的成就。

12、格局：美俄继续领先；西欧紧随其后 日本正在迎头赶上；中国是一个未知数。,陈省身猜想,“21世纪数学大国”（1988）。数学大国的含义：“在独立平等的基础上与世界各国的数学家进行交流”！数学上还没有真正的独立！离开皇冠上的明珠还很远,费尔兹奖章（只授予不超过40岁数学家）,拉法格（法国）沃沃斯基（俄-美）他们都出生于 1966年，今年36岁。大学毕业后，得到扶植攻Langlangds 猜想-顶尖的数学课题。田刚上届（1998）获得提名，但没有获得。他是南京大学学士、北京大学硕士、随丘成桐在美国读博士。现在是麻州理工学院（MIT）教授,考试文化的影响,竞赛不是在考场上！奥林匹克数学竞赛金牌=数学家

13、？好胜与好奇。一字之差。某大学副教务长说：“优秀学生不是高考状元，而是在600分以上的0.618处。如果你的孩子是状元，当心他/她太注重细枝末节，没有大前途。,21国参加的国际数学教育调查（IAEP）1989。13岁学生成绩,中国大陆 80中国台湾 73 韩国 73 瑞士 71 苏联 70,法国 64 英国 61美国 55巴西 37莫桑比克 28,中国数学水平怎么样？,新华社：中国现在十分有陈省身、华罗庚那样的大数学家？离国际水平多远？吴文俊：“不好说”，“不好说”丘成桐：“还差得很远”中国只是潜在的数学大国！许多人以为“中国离皇冠上明珠仅一步之遥”大错特错！“取法乎上，仅得乎其中”，“取法乎

14、中，则得乎其下矣！”,第三部分：一些数学文化的理论问题,1。第三次数学危机？绝对主义的破灭。2。检验数学真理的标准。纯粹数学为什么会有用？3。数学美的认识。4。推测数学是否允许存在？5。中国考据学派对数学的影响。,（1）数学绝对主义的破灭,数学结论绝对正确是做不到的，但是并没有到达“危机”的程度。选择公理是否准许使用？无限多盘糖果，每盘各取一颗，构成一个拼盘。,拼盘里的元素不确定，没有指出“选择”的是什么糖！,用选择公理可以得出巴拿赫怪论（1923）“一个球，可以分割为两个与原球全等的球”。于是倾向于不准用选择公理 但是选择公理十分有用，例如有界的无限点列必可选出收敛子列。如图：究竟用不用？没

15、有绝对 正确的选择。数学和其他学科一样，没有绝对。,第三次数学危机，是故作“惊人之语”,数学在一日千里地发展，没有危机。数学和其他科学一样，真理都是相对的，不存在绝对正确。但是，数学是思想材料，按照逻辑展开，在可以感受到的日常数学问题中，数学仍然比其他“经验科学”，更加准确。数学大厦的底层有裂缝，但是不会倾覆倒塌。,（2）检验数学真理的标准是实践吗？,逻辑正确是数学论文发表的基本要求。不必通过实践检验，结论一定正确。数学结论有好坏之分。只有“好”数学才值得发表。陈省身的好数学例子：方程。流形。球面上用一个直角坐标系是不够的，经纬线在北极相交，坐标和点不能一一对应。,陈省身：不大好的数学的例子,

16、拿破仑定理：一个三角形，在三边上各作一个正三角形，其中心联起来也是一个正三角形。奥林匹克竞赛的题目，都不是好的数学。冯 诺依曼说：数学象在沙漠中的河流，如果在一些枝节上停留过多，就有干涸的危险。,悬赏100万美圆的数学题目,P=NP？黎曼猜想。庞加莱猜想 Hodge猜想 Birch等 猜想 Naiver Stokes 方程组3维光滑解的存在 杨振宁-Mills场质量间隙的存在,数学需要实践检验！,有效性：信息论、控制论、计算机方案设计。冯 诺依曼放弃纯粹数学研究，投身应用数学 深刻性：揭示客观世界的规律！黎曼几何，杨-Mills场，陈省身-西蒙斯理论 美学价值：公认的科学价值。费马定理的证明。

17、创新需要时间的检验。康托的集合论。模糊数学的价值（数学的里程碑？）,3。数学美的通俗认识（一）,壮观的描述：三体问题 有效的手段。王选的数据压缩。和谐的规律。公式ei+1=0.奇特的证明。素数无限多的证明。绚丽的变化。分形演示 艺术的图案。Esher 的画,数学画,俄罗斯数学家 佛明科作品随机过程,爱舍儿的画,另外的世界,3。数学美的通俗认识（二）,1。美观。1/2+1/3=2/5？（和谐的天性）2。美好。（a+b)2=a 2+b2(2ab)二次方程求根公式，丑陋但美好。3。美妙。三条高交于一点。妙！辅助线，代换，变形，对人的冲击。4。完美。数学的体系。数学的发展，人类的数学追求。,4。儒家文

18、化与中国数学,数学在儒家学说中没有地位。数学家 不受重视。中国传统数学缺少逻辑论证。思辨的理性精神，不如古希腊。儒家文化是演绎的。中国传统数学也是演绎的。只是：缺乏 形式逻辑的演绎！中国中小学数学课程的逻辑要求远超西方,宋明以后的儒学不再 面对原始问题,孔孟经典 不可动摇的公理朱熹的注疏 必须遵循的定理和推论读书人的文章 不过做一个练习而已八股文：按朱熹老夫子的标准答案做“学答”-美其名“代圣贤立言”,清 戴震（1722-1777）考据学派对科学的影响,文字狱使读书人回避“原始问题”在“故纸堆”中考据、训诂，重证据、重演绎，接近西方的逻辑推理。儒家文化-宏观上的演绎系统考据文化-微观上的演绎方

19、法,考据学派的地位,梁启超：“中国旧学，考据、掌故、词章为三大宗”。考据列在第一位。清代学术之特色为考据学。明清一代学术走的是，从反义理，重训诂，到独尊考据，再到兼重义理的道路。清末民初，中西文化屡有冲突，但考据文化和西方科学一直相安无事。,梁启超谈考据文化,自清代考据学派200年之训练，成为一种遗传。我国学子之头脑渐趋于冷静慎密。此种精神实为科学成立之基本要素。我国对于形的科学（数理），渊源本远。用其遗传上极优异之科学头脑，将来必可成为全世界第一等之科学国民（清代学术概论）考据遗传=科学头脑,胡适与考据（周昌龙：戴东原哲学与胡适的知识主义。汉学研究 12卷1期,1910年，参加庚款考试。发觉

20、做学问要从十三经注疏开始。留美期间，熟悉西方科学的同时，完成诗言字解尔汝篇吾我篇诸子不出于王官论。回国后继续整理国故从事红楼梦考证以及“三国”“水浒”等考证研究。考据影子：“大胆假设，小心求证”。,胡适：戴东原哲学（1922）,中国旧有的哲学，只有清代的“朴学”确有科学精神。这个时代是一个考证学昌明的时代，是一个科学的时代。戴氏是一个科学家，他长于算学，精于考据。他的治学方法最精密，故能用这个时代的科学精神到哲学上去。它的哲学是科学精神的哲学。胡适文存3集卷2,考据学派与中国传统数学,戴震编修四库全书，校订九章算术算经十书等。乾嘉考据学派的另一代表人物是钱大昕。他的弟子有 李锐（1769-18

21、17）汪莱（1768-1894）焦循（1764-1849）罗士琳（1789-1817）他们努力使算学从经学的负数地位解放出来。,训诂与数学,阮元（1764-1848）经学大师兼数学家。畴人传-中国第一部算学家传记 李善兰（1811-1882）。清末中国数学的代表人物：“词章、训诂之学虽皆涉猎，然好之终不及算学”。古典数学为乾嘉学派所重视（钱宝琮）近来200年间，“小学”、“算学”是同时长进的。（章太炎）,考据与现代数学,考据学派奉行“复古主义”，主张“西学中源”。终于没有走向现代数学。考据必须使用逻辑。例如要“考据传綦即八大山人，先证明“八大山人”就是“个山”，而“个山”即“传綦”。这里用了“

22、甲是乙，乙是丙，于是甲是丙”的逻辑上的“传递性”原理。（洪万生、刘钝）“历代学者仅以训诂当名学。殊不知名学义大而经，训诂义小而粗。”（刘鼎和。19184月29日北京大学日刊）,“数学=逻辑”的文化渊源,数学有两个侧面:创造思考与逻辑证明 中国提法：数学能力是基本运算能力，空间想象能力，逻辑思维能力（核心）。但是，“数学不等于逻辑”。逻辑是数学家得以保持健康的卫生规则。（大数学家H。外耳语）极而言之，我觉得数学和逻辑没有什么关系（日本著名数学家小平邦彦）,考据文化对数学的正反作用,中国传统文化对西方数学是否包容？（郑毓信）考据文化将数学的逻辑层面进行同化,成为中国现代数学教学的核心思想.同样,考

23、据文化和演绎式的儒家文化,将创新性 的数学思维方式进行过滤,没有很好吸收溶入.适度强调逻辑，提倡数学创造。,5。推测数学能否允许存在？,1993年美国哈佛大学教授A.Jaffe 和弗吉尼亚大学教授 A.Quinn 发表文章。物理学的分工：理论物理学家提出猜想和推测，实验物理学家进行验证。数学家却必须把提出猜想和进行证明全部承担。将来的数学是否可以由一些数学家进行猜测，推想，探讨。另外一些数学家进行证明？,各方反映,英国皇家学会会长M.Atuiyh 表示赞同。他的老师 提出“几何大纲”，证明不够，由他补正。美国代数学家 S MacLane 反对，证明万岁！分形理论的创立者 B.Mandelbro

24、it 说，现在数学的清规戒律太多，警察太多。庞加莱很多原创的思想，证明不严密。如果“警察”禁止，数学的损失太大了 庞卡莱受毕卡(Picard)的制约，没有在巴黎大学上过数学课程，因为不严格。,突变理论创立者R.Thom,严格性是一个拉丁名词，让人想起“僵尸”。数学分为三类：（1）婴儿为标记。正在成长允许修改。（2）以十字架为标记。已经证明，永远不朽。（3）以教堂为标记。由高级教士组成，专门评论数学论文应该属于那一类，价值如何。,姜伯驹的讲话 1995.,“数学往往是最后取胜的法宝。数学用得好，你就赢了”“数学在20世纪下半叶有很大的发展，其中最大的发展是应用。跟第二次世界大战以前不一样，现在到

25、处在用数学，更多的地方在试图用数学。因此，数学系、数学专业起什么作用？如果还是培养数学家、数学教授，就业的情况摆在哪儿，社会的需求量不是很大。数学系是毕业生，相当多的人，甚至多一半的人，要到其他行业里去起作用。”（引自中国数学会通讯1996年第九期）,前国际数学家联盟主席Mumford答记者问 1995,一个重要的问题是恢复纯粹数学家和应用数学家之间的思想交流。在19世纪，你可以看到大多数的数学家都是一身二任的。例如傅立叶（Fourier）发现和研究级数，就是受了应用的刺激。但以后发生了分隔，尤其在美国。.对科学的投资,将不至于简单地化很多钱去搞纯粹数学研究,而是相反,应当引向一个共同目标,使

26、得纯粹数学研究人员能在应用中受到启发,运用他们的理论思维更有效地解决实际问题”(引自1996年第3期),第四部分,文化数学的案例,案例1 丘成桐谈史记,华人唯一的费尔兹奖章获得者。8月20日早上中央电视台东方时空的“东方之子”栏目（方静采访）“我读史记象欣赏歌剧，一幕幕地展开。”华彩乐章如：高山仰止，景行景止。历史是宏观的。学习历史会使人用宏观观点考察事物。我提出的数学想法往往和别人的不一样，就是得力于史记,例2。数学与文学：对称与对仗,对称是变换以后的不变性质 x2+y2 是对称多项式（x-y,y-x)明月松间照，清泉石上流。上联变成下联：但是许多是不变的 明月-清泉 自然景物不变 明-清（

27、形容词）；月-泉（名词）变中有不变。道理是一样的！,例3 数学与语言,不管三七二十一”（乘法口诀）“三下二除五就解决了”（算盘口诀）。“万无一失”，在中国语言里比喻“有绝对把握”。但是，这句成语可以联系“小概率事件”进行思考。“十万有一失”在航天器的零件中也是不允许的。“指数爆炸”、“直线上升”等等已经进入我们的日常语言。它们的含义可与事物的复杂性相联系（计算复杂性问题），,例4 数学和伦理,。西方学者作过十分认真的尝试。一个例子是，两个人每人有1，000元，从其中一个人那里拿500元给另外一个人。这一行动所产生的快乐比痛苦少，因为得到的人的财富只增加了1/3，而失去者的损失是1/2。7,例5

28、。数学和日常生活,“方程”的思想，说穿了不过是“拉关系“为了认识“未知数”先生，必须请已知数“先生为媒介，找到一种关系，根据关系就能认识“未知数”先生了。朴素的思想，正是一种文化现象。,例6张恭庆院士的问题,一条毛巾平摊着，有东西向、南北向、以及上下共三组6个方向，那么是否可能作一个运动使得这三组的两个方向恰好调换位置？答案是不可能。一个“右手系”无论怎样“旋转、平移、翻折”都不可能变成“左手系”。中学里有那么多的立体几何难题，却很少触及这样简单又有巨大数学内涵的观察与思考。奥林匹克数学竞赛也不处理词类问题。,例7史树中教授的问题,有一笔赌金，甲、乙两人竞赌，输赢的概率各为1/2，以先累计达到

29、5盘胜利者获得这笔赌金。在进行过程中，因故突然终止。此时，甲赢了4局，乙赢了3局。问这笔赌金该如何分配才合理？4/7 和 3/7 比较合理？,麻将为什么不能产生概率论？,答案是：假设再进行一局，若甲胜（概率1/2）可得全部的1份赌金。若乙胜（概率也是1/2），则大家各胜4局，应当平分，甲得1/2。总之，甲可得（1/2）1+（1/2）（1/2）=3/4。我的思考是，中国是一个缺乏概率思考的国家。传统文化中缺乏随机数学的因素，公众中应当尽快补上这一课。,（例8）（荷兰）甲离学校10公里，乙离甲3公里，问乙离学校几公里？,训练学生的表示能力。甲、乙、学校在一条直线上？没有说。校 乙 甲 乙,余弦定理

30、。,坐标。参数。复数。空间,（例9）公说公有理，婆说婆有理。香港某厂 业绩 年份 90 91 92股东红利 5万 7。5万 10万工资总额 10万 12。5万 15万,90 91 92,15 10 5,90 91 92,200%,150%,100%,老板所画,工会主席所画,（例10）正三角形的案例,美国北卡三个分校，位于正三角形的三个顶点。要建设校内网。贝尔电话公司收费标准：两边长 2。在北卡三校的中心（荒漠），要求装电话。因为按收费标准为 31/2“连接正三角形三点的方法，有多少种？距离多少？中国青年数学家堵丁柱证明 2：31/2 是极限。,（例11）门后的车,1 2 3 任选一门（例如 1

31、 号）；主持人打开无车的门（3号）是否要换2 号？应该换。因为车在1号门的概率是1/3，而在2、3号门的概率是2/3。既然3号门无车，在2号门的概率是2/3。考虑100扇门的情形，当主持人打开3-100扇无车的门，你是否觉得车在2号门的概率很大很大呢？,（案例12）苏联 的一道空间想象题,四维空间单位方体的顶点数.棱数,面数,三维面数,四维体数?解：顶点数：23=16。棱数：（16 4）/2=32 二维面：（16 C42）/4=24 三维面：（16 C43）/8=8 四维面：1 一般地（2+1）n=2n+n2n-1+1,（例13）分苹果问题（推广）,某A在果园摘了一堆苹果，把它的一半加半个给第

32、一个看门人，又将剩下的苹果的一半加半个给第二个看门人。那时只剩下两个苹果了。问原来有几个苹果？两个因子：剩下的苹果数，看门人个数 思辨：看门人比我多一个；A和看门人苹果之和等于上次剩下的苹果 1，2；3，4；7，8；15，16；31，32；63，64；.2，3；5，6；11，12；23，24；47，48；95，96；3,4;7,8;15,16；31，32；63，64；127，128 一半加一个？一般加两个？,（例14）X大王名裂上海南京路（1999）,溜溜球（25元/只).溜溜蛋卷（1.5/包)每包蛋卷中有一张卡片,分红,白,绿,黄蓝五种花色.集齐5种花色卡片,可以换溜溜球一只.如5种卡片投放

33、的概率为 P1,P2 P3 P4 P5,中獎率為(P1,P2 P3 P4 P5)x 5!P1=P2=P3=P4=P5=(1/5)时最大.(0.04)实际 红色仅为 1/100.记者披露H后,x大王名裂出南京路.,例15 投票的数学,5种投票法:1.简单多数 2.最高两人选一.3.一票赞成,一票否定.4.赞成投票法.5.排序打分法.6.奥运投票法 实力指标 1972加拿大选举自由(109);保守党(107)新民主党(31);其他(17)总计26451;28,24,24 51;26,26,2651,40,25,20,15 选举实力指标分析,（案例16）数据误导,班平均分为76分.我得到78分在班上

34、属中上水平.全班30人,数学成绩为5个90分,22个80分,一个78分以及2分和10分.算得 平均数 76.67.78分者平均分以上,倒数第三.据校友问卷调查,1924年耶鲁大学毕业生的年收入为25111美圆.1936年美国总统大选,电话调查兰登将高票当选,结果罗斯福胜出.,（例17）仙农(Shannon)研究信息论,一.信息量 烽火台.传送一个信息量 log2 2=1.两个烽火台.1.敌人来?2.要否补给?四种情况.log2 4=2.信息是 0,1 符号串.二.概率和信息量:“狗咬人”“人咬狗”.“今天太阳升起”,“今天日食”.事件的概率P(E)大,传送此事件的信息量H(E)小.H(E)=1

35、/P(E)?H(E)=-P(E)log2 P(E).,（案例18）仙农的（7，4）码,把要传送的0-1序列编组。每4个信息符号（0或1）加上另外3个检验符，构成一个由7个二进位数码组成的信息块，X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7。其中X3，X5，X6，X7 四个二进数码是要传的信息,X1，X2，X4 等3个是检验符.检验符选择的方法是:X4 要选得使 a=X4+X5+X6+X7 为偶数 X2 要选得使 b=X2+X3+X6+X7 为偶数 X1 要选得使 c=X1+X3+X5+X7 为偶数,（7，4）码（续）,现在,假如我们接收到一组由7个二进数码组成的字母串,将它代入以上公式进行计算,如

36、果a,b,c都是偶数，则表示传送正确，4个信息数码确定无误。如果计算出的 a,b,c 是奇数，那就一定出错了。7个数码计算 a,b,c 的奇偶，可以发生 7种情况：a=1,b=0,c=0 此时出现在 b,c 中的X5，X6，X7 都正确 因此 错误出现在X4。a=0,b=1,c=0 同上，X2 错。那么能否判断那里出错？,哪一个是错码？,要增加一个假设：“传送的7个数码中至多可能出现一个错误”。以下以 a=0 记 a 为偶数，a=1 表示a为奇数，余同。现在用接收到的 a=0,b=0,c=1 同上，X1 错。a=1,b=1,c=0 此时出现在 c 中的X1，X3，X5，X7 都对，a,b 表示

37、式中的共同项是X6，故断定X6 错。a=1,b=0,c=1 同上，断定X5 错。a=0,b=1,c=1 同上，断定X6 错。a=1,b=1,c=1 因为7个数码只有一个是错的，而只有X7 在 a,b,c 的表示式中都出现，因此断定X7 错。,（案例19）选举悖论（探究学习,2/3多数？1/3:ABC;1/3:BCA;1/3:CABA.2/3 多数：AB.20个名额分配。甲 100（10）；乙60（6）；丙：40（4）。20名。103(10.3);63(6.3);34(3.4)21个名额分配。甲：103（10.815）；乙63（6.615），丙34（3.570）,例18 拓扑学-,同伦等价圆周的同伦群：整数群 Z 球面的同伦群：0 环面的同伦群：Z+Z,例19 算法,先乘除、后加减，从内到外去括弧。分数加减要通分。分数相除即颠倒相乘 珠算口诀就是机器算法。高斯消去法是解线性方程组的算法 迭代算法是计算机最适用的算法之一 算法语言：赋值语句、循环语句、条件语句,例20 面积到测度,原始概念 集合函数（1）正规性。m(a,b)=b-a（2）有限可加性（3）运动不变性 零测度。线段的面积 无限可加性？可列可加测度。S-测度 概率测度,