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1、数学教育的基本理论,西华师范大学数学与信息学院杨孝斌,培利数学教育改革F.克莱因的数学教育思想H.弗赖登塔尔的数学教育理论G.波利亚的数学教育理论认知主义建构主义情境认知理论,一、弗赖登塔尔的数学教育理论,1.生平及贡献Hans Freudenthal（1905-1990年）,荷兰数学家和数学教育家,生于德国.1930年获柏林大学数学博士学位；1946年起任荷兰Utrecht 大学教授；1951年起为荷兰皇家科学院院士；1971-1976年任数学教育研究所所长；1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学。,弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父”“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Kle
2、in做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。”加亨(Kahane)教授,主要工作：1967年当选为国际数学教育委员会主席；单独举行国际数学教育大会（ICME1，1969法国里昂）；提倡数学教育的科学研究；创办ICME的理论刊物Educational Studies in Mathematics（数学教育研究）,主要数学教育论著：作为教育任务的数学；除草与播种数学教育学的序言；数学结构的教学法现象；数学教育再探在中国的三次讲学,2.弗赖登塔尔的数学教育观情境问题是教学的平台数学化是数学教育的目标学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分“互动”是
3、主要的学习方式学科交织是数学教育内容的呈现方式,概括为：现实、数学化、再创造,(1)何谓数学教育中的“现实”？,数学教育中的现实数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”.数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.,弗赖登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”。如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害。“新数”运动的失败就是个明证。,如何理解“现实”？不同的社会需要
4、是否就是“现实”？每个人的“数学现实”是一样的吗？,数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的各种数学问题。为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。,从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”。大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何形状
5、以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert空间的算，子、拓扑学以及纤维丛等等。,数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。从已有的“数学现实”发展到更高层次的“数学现实”,一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具以及途中出现的各种情况，
6、介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步可介绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等。,由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有特定的数学现实，弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平：第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算，只要通过简单的变换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题。在这里，具体的现实问题起着核心作用。第二级是提出了某个现实
7、问题，希望学生能够找出与之有关的数学，加以组织，建立结构，从而解决问题。这里需要运用数学作为工具来组织现实问题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用。,第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引进新的数学概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从通常的具体客观世界中抽象出来。综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。,(2)什么是“数学化”？,弗赖登塔尔的名言是：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”；与其说是学习公理系统，还不如说是学习“公理化”；与其说是学习形
8、式体系，还不如说是学习“形式化”,人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。,数学化，是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展的过程。数学化的对象：水平数学化现实客观事物 垂直数学化数学本身水平数学化，形成数学概念、运算法则、规律、定理，以及为解决实际问题而构造的数学模型；垂直数学化，形成数学概念、运算法则、规律、定理，以及不同层次的公理体系和形式体系。,现实数学教育的数学化有两种形式：,一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分作符号化处理；二是从符号到概念的数学化，
9、即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。,对于前者，基本流程是：,确定一个具体问题中包含的数学成分；建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系；通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化；找出蕴含其中的关系和规则；考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现；作出形式化表述。,对于后者，基本流程是：,用数学公式表示关系；对有关规则作出证明；尝试建立和使用不同的数学模型；对得出的数学模型进行调整和加工；综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型；用已知数学公式和语言尽量准确地描述得到的新概念和新方法；作一般化的处理、推广。,(3)什么是“再创造”？,弗赖登塔尔认为存在
10、两种数学，一种是现成的或已完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学。完成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现，它完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，给予人们的是思维的结果；活动的数学则是数学家发现和创造数学的过程的真实体现，它表明了数学是一种艰难曲折又生动有趣的活动过程。,弗赖登塔尔所说的“再创造”，其核心是数学过程再现。学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”的过程。教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作。,日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都不需要事先给以严格的定义，儿童通过实际接触，自然地形成了概念。数学中的一些东西，同样来自现实，也可以通过学生的实际感受而
11、形成概念。,以学习平行四边形概念为例，教师可以出示一系列的平行四边形的图形或是实际例子，告诉学生这些就是“平行四边形”，让学生自己进行比较、分析、研究，在经过反复的观察与思考后，他们就会发现“平行四边形”的许多共同性质，如：对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分等等，接着就会进而发现这些性质之间的联系，可以由一个性质出发推出其它的性质，在教师的引导与学生间相互讨论的基础上，学生就不仅掌握了平行四边形的概念，同时也理解了形式定义的含义以及各种相关性与等价定义的概念.,也就是说，学生通过自己的实践活动学会了怎样定义一个数学的概念，对于定义的必要性与作用都会有更深的体会，通过这样的“再创造”方
12、式进行的概念教学，显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多.,伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一个活动的最好方法是演示。”他主张要打开学生的各种感觉器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作，弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为“学一个活动的最好方法是实践”，这样提法的目的是将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳的。,提倡按“再创造”原则来进行数学教育，就是基于以上原理，弗赖登塔尔认为
13、可以从教育学的角度来找到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三点：(1)通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般来说还可以保持较长久的记忆。(2)发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。(3)通过“再创造”方式，可以进一步促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法。,小 结,弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学+数学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、“数学反思”、“再创造”、“思辨数学”等诸多特有的概念.每一个概念以及他的每一个想法，都值得我们去思考、
14、去领悟、去实践,二、G.波利亚的数学教育理论,G.Polya(1887-1985),生平及贡献：乔治波利亚（George Polya,18871985）美籍匈牙利数学家。波利亚是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士。1887年出生在匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士联邦理工学院任教。,1940年移居美国；1942年起任美国斯坦福大学教授；他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、数论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献，一些术语和定理都以他的名字命名。由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界数学教育所
15、产生的影响，在他93岁高龄时，被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。,波利亚数学教育三部曲,著,涂泓等译.怎样解题(1944).上海科技出版社,2002,6著,刘景麟等译.数学的发现(1954).科学出版社,2006,7著,李心灿等译.数学与猜想(1961).科学出版社,2001,7其中，怎样解题一书被译成17种文字，仅平装本就销售了100万册以上。范.德.瓦尔登说：“每个大学生，每个学者，特别是每个老师都应该读读这本引人入胜的书”（1952）,（一）波利亚的数学教育观1.数学教育的根本目的：教会学生思考不只是传授知识，更应努力发展学生运用所学知识的能力，应该强调技能、技巧、有益的思考方
16、式和理想的思维习惯。2.学习过程的三原则：主动学习尽量让学生在现有条件下亲自发现尽可能多的东西。最佳动机激发学生在学习中的好奇心，并寻求欢乐。循序渐进从行动与感知开始，发展到词语与概念，养成合理的思维习惯。,3.一名好的数学教师必须具备两方面的知识数学内容的知识一般中学数学教师最大的缺陷在于，他没有主动完成数学工作的经验.数学教学法的知识,4.给数学教师的“十条建议”1）对数学有兴趣；2）熟知数学；3）懂得学习的途径亲自独立地发现所学东西的奥妙；4）努力观察学生的面部表情；5）传授知识、技能技巧，培养思维方式、科学的工作习惯；6）让学生学会猜想；7）让学生学会证明问题；8）揭示存在于具体情况的
17、一般模式；9）让学生独立地找出尽可能多的东西；10）启发问题。,（二）波利亚关于解题的研究,1.解题的思维过程：联想念头,详见数学的发现第十一章：思维的作用,弄清问题（表征）拟定计划（模式识别、引入辅助问题）实现计划回顾（反思、优化、拓展）,2.怎样解题表,“怎样解题”表的精髓启发联想联想什么？怎样联想？通过一连串建议性或启发性问题来加以回答.波利亚认为，“万能方法”是不存在的，但是“各种各样的规则还是有的，诸如行为准则、格言、指南等等，这些都还是有用的。,波利亚怎样解题表与实例示范,【例】已知正四棱台的高为h，上底边长为a，下底边长为b,求其面积F。,学以致用：例谈用怎样解题的提示语解高考题
18、以江苏省2009年第20题为例,小结,“怎样解题表”就“怎样解题”、“教师应教学生做什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段了解问题、拟定计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统。,这四个阶段中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”；“了解问题”是认识、并对问题进行表征的过程，是成功解决问题的一个必要前提；与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法。在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容。,“拟定计划”的过程是探索解题思路的过程，波利亚建议分两步走：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系（模式识别等）；第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改，引进辅助问题。为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化、一般化、类比等，积极激发思维，努力变化问题。,这实际上是阐述和应用解题策略，并进行资源的提取与分配，基础是“过去的经验和已有的知识”（也是一种解题力量）。于是，这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身，融理论与实践于一体。,
