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1、,数学问题与数学考试,第十二讲,为什么我们的学生很少提问？,师道尊严？教师不能传授暂无定论的并可以加以讨论的东西，而必须要给学生传授确切的和无可置疑的知识？事实是教师授课总是先将一种无可置疑的理论提出来，然后再用这个理论来解释相关的现象。（演绎法）对于无可置疑的东西你还有什么问题呢？要问只能问自己，为什么连前人已经给出了惟一正确解答的东西还不能理解？岂不太笨？何必丢人现眼！老师们眼中的好学生：理解力极强，很少有问题。,茅以升教学法,每次上课的前十分钟，茅以升先指定一名学生，让他就前次学习课程提出一个疑难问题，从学生所提问题的深浅，可知他对课程的领会程度，以及自己是否作过深入的钻研和探讨。问题提
2、得好，或教师都不能当堂解答的，给提问学生打满分。如提不出问题，则由另一学生提问，前一学生作答。,数学问题的标准 戴再平习题理论,有关的概念必须是被定义的有关的记号必须是被阐明的条件必须是充分的、不矛盾的条件必须是独立的、最少的叙述必须是清晰的要求必须是可行的,教师也难提出问题,波利亚说,一个重大的发现可以解决一个重大的问题，但在求解任何问题的过程中，也都会有点滴的发现。你要求解的问题可能不大，但如果它能引起你的好奇心，如果它能使你的创造才能得以展现，而且，如果你是用自己的方法去解决它们的，那么，你就会体验到这种紧张心情，并享受到发现的喜悦。在易塑的青少年时期，这样的体验会使你养成善于思维的习惯
3、，并在你的心中留下深刻的印象，甚至会影响到你一生的性格。,从解数学问题到数学问题解决,求出所给数学问题的答案 教师重视典型问题，重视通过问题启发学生，重视通过问题获取教学反馈并评价学生的学习20世纪80年代以来，数学问题解决(problem solving)开始普遍受到重视接受性、封闭性、确定性挑战性、探究性，问题是指对一个人具有智力挑战，没有现成解决方法的未解决的情境，因此因人而异,牧羊人问题,牧群中有125只羊，5只狗。问：牧羊人几岁？,有四分之三的学生给出了解答。“125+5=130太大了 是否 125-5=120 还是太大 应该 125/5=25.对了。我想牧羊人应该是25岁”,68年
4、级促进数学学习，加深对数学概念的理解，培养灵活又聪明的问题解决者。所设计的情景和途径应建立在学生已有的数学理解、技能和语言的基础之上，并促进其提高。912年级建立和加深对数学概念的理解，建立和发展“更多更好的数学”，建立和加强“更牢固的基础”，建立和增强灵活使用表达方式，在经常性地经历处理有意思的有挑战性的问题过程中获得发展。,问题解决教学 NCTM,1989,怎样的问题好,1.(a-b)2 与a2-b2 相等吗？举例说明(a-b)2 与a2-b2 不相等,2.在下列数轴上分别标出数字“1”的位置（要求保留作图痕迹）,3.请用你能想到的尽可能多的方法比较3/4与5/6的大小。,4、请你画图说明
5、 的结果是 为什么是合理的。5.生活常识告诉我们，给糖水里加糖，糖水里就变甜了。你能从这一经验中提炼出一个数学关系吗？,从教学角度来看，什么是好的问题,一个好问题必须：是容易接受的（不需要大量的技巧）有多种解题方法（或者至少有多种思路）蕴涵了重要的数学思想（好的数学）不故设陷阱(通性通法)可以进一步开展和一般化（导致丰富的数学探索活动）,匈菲尔德，1994,例：某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变.有关数据如下表所示：该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平，问风景区是怎样计算的？另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日
6、总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？,下图是由16个边长为1的正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段。,有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如左下图所示）。在保证通道最狭窄的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅能否摆下三套或四套同样大小圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方1420方格纸内画出设计示意图。,已知：如图，P是圆O的直
7、径AB上的一个动点（P与A不重合），PDAP，垂足为P，DC切圆O于C，连结BC交PD于F。圆O的半径为33，PD=7。（1）图a、图b、图c是点P由A向B运动过程中的三种情况。在图形的变化过程中DCE的边、角或形状等存在多种规律，如：DCE始终是锐角三角形；边CE逐渐增大；。请你通过观察、测量、比较，再写出两条与DCE的边、角或形状等有关的规律。（注意：可使用量角器、刻度尺等，找规律的过程中添加的字母或辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出两条规律即可）（2）已知：当点P由A向B运动时，存在某一时刻，使D角为60度，求此时AP的长。,例：要判断如图ABC的面积是PBC面积的几倍，只用一把
8、仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是-（）。,如图，在方格纸中有四个图形、，其中面积相等的图形是-（）（A）和（B）和（C）和（D）和,例:剪纸是中国的民间艺术剪纸方法很多，下面是一种剪纸方法的图示(先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案)：下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是(),以问题解决为中心的教学过程,学生处于一个真实的情景,并对其感兴趣在情景中产生一个真实的问题,刺激思维学生通过观察等手段收集并占有资料,一步步地着手解决这个问题检验所用方法是否正确,得出最后结论互相交流,寻求更好的结论和策略,基本不等式,1。某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价。有三种方案：甲方案是第一
9、次打p折，第二次打q折；乙方案是第一次打q折，第二次打p折；丙方案是两次都打(p+q)/2折，请问哪一种方案降价较多？,基本不等式,2。用一个有毛病（天平的两臂之长略有差异，其他因素忽略）的天平怎样称量物体的重量？有人说只要左右各称量一次，在相加后除于2就可以了，你认为怎样？,问题一,甲方案:pq折乙方案:qp折丙方案:(p+q)/2(p+q)/2折以具体数值猜测,如 p=7,q=9得丙方案打折最多,若p=q时则三个方案打折一样多,问题二,假设两次称重分别为p,q,m,n,G,没有明确的数学问题形式,日本的花圃设计问题,要求花圃的面积是花园面积的一半,数学开放题(open-ended prob
10、lem)的特征,所提的问题的答案常常是不确定的没有现成的解题模式寻求解答的过程能促进学生学习答案呈多水平利于全体学生参与思维发散度大难于用注入式进行教学往往题中有题可以不断引出新的问题,经典的五子问题 Shimada 1977,A,B,C 三个学生做扔石子游戏，每人扔五颗石子，结果如图(p.189)。游戏以所扔结果最密者为胜者。为了确定胜者，我们必须想出几种衡量石子密度的方法。(1)从各种角度思考并写下不同的测量方法(2)比较不同的测量方法，有最好的吗？如果有，为什么它是最好的？,开放题的类型,条件开放型 如要使两个数相加为20,这两个数是多少结论开放型 如日本“五子问题”策略开放型 如围着火
11、塘一圈,一次可以烤10个红薯,烤熟一面要5分钟,两面烤熟才完全烤熟,现要烤15个红薯,需多长时间综合型如一个长方形剪掉一个角,剩下部分还有几个角设计型 如暑假巳到,小明与两位同学相约到苏州、杭州去3日游.父母同意并给他们800元钱,规定旅游时间不得超过3天,回上海的时间不得超过晚上10点.要求学生收集资料,做出旅游计划,又一些开放题,你能找出根为x=1的方程吗？找得越多越好.设法测量一个土豆的体积.某糖果厂欲举办促销活动,方式是买一份糖果摸一次彩,摸彩的器具是绿、白两色乒乓球.该厂拟按中奖率1%设大奖,其余99%为小奖,请你提出一个摸彩的方案.平面上有且只有四个点,它们有一个性质:每两点之间的
12、距离有且只有两种长度.如,正方形ABCD,有AB=BC=CD=DA,AC=BD.请画出具有这种独特性质的另外四种不同图形.,例、习题的选和编,改头换面本地化另起炉灶个人化铺路架桥台阶化由此及彼类比化、一般化、特殊化,目的?典型?启发?顺序?,波利亚“怎样解题”表（简化）,第一步必须了解问题未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？可能满足条件么？画一个图，引入适当的符号第二步找出已知数和未知数间的关系。如果找不出关系，就得考虑辅助问题。最后应想出一个计划你以前曾见过它么？你知道什么有关的问题么？看着未知数，试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题第三步实行你的计划实行你的解决计划，校核每一步
13、骤第四步校核所得的解答你能用不同的方法得出结果么？你能应用这结果或方法到别的问题上去么？,影响数学问题解决的主要因素匈菲尔德,知识与经验,表征与探索,监控与调节,情感与信念,自发的探究,学生自发地发现可探究的问题对学生的发展很重要对老师所说的知识的惟一、确切性、有定论持怀疑或否定态度 理解不同，怀疑和批判 爱迪生问：1l为什么不等于1？两根蜡烛不就可以熔为一根吗？当罗巴切夫斯基的老师在讲授两条平行线永不相交时，他问：“老师，线画得长一些会不会相交？”,数学考试中的命题,明确考试目的：诊断性？形成性？总结性测试？确定试卷结构：内容覆盖率？内容、要求、题型比例？难度及分布？区分度？单题命制：功能？
14、科学性？语言？公平？各类题型的注意点？试卷组拼：目的达成？信度？效度？整体难度？顺序？编制参考答案和评分标准：全面？认定关键步骤？准确？公平？,如图，AB是O的直径，BMAB于B点，点C是射线BM上异于端点的一动点，AC交O于D点，过D点作O的切线交BC于E点，连结OE，根据上述条件，除角的关系结论外，你能推出哪些正确结论？（在找结论的过程中，不能再添加字母，所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出6个正确结论即可）.正确结论不止6个，想一想，就能多写出几个结论，写出6个正确结论得满分，超过6个的每个加0.5分，至多加3分，不过还是请你把握好时间，后面还有两道题呢！,例：此题有A、B、C
15、三类题目，其中A类题4分，B类题6分，C类题8分。请你任选一类证明，多证明的题目不记分。（A类）已知：如图7，AB=AC，AD=AE。求证角B等于角C：。（B类）已知：如图8，CEAB于点E，BDAC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分角BAC。求证：OB=OC。（C类）如图9，都是等腰直角三角形，且D在BC上，BH的延长线与AC交于点E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程。,例：下列说法或解法正确的个数有（1）用换元法解方程，设，则原方程可化为；（2）平分弦的半径垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧；（3）平面直角坐标系内的点与实数一一对应；（4）“对顶角相等”的逆命题是真命题.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 点评：本题中的4个命题所涉及的知识点毫无任何关系，硬性将其拼凑在一个试题中，人为痕象非常明显，其本意可能是想加大知识的覆盖面，但无形之中增加了学生的负担，造成陈旧的学习观念。而且本题的选择支设计不合理，有失试题的信度。,例：反比例函数的表达式为，则.点评：将二次代数式与反比例函数强扭在一起，表面上看来似乎有利于综合考查反比例函数的概念，但这种形式显然是人为的、硬性凑合的。这样的试题极其容易使数学教学丢掉函数的本质属性而舍本逐末，注重形式而忽视本质，使教学走向死记硬背和模式化的道路。,
