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1、小学奥数中的,“余数问题”,余数的定义,一般地，如果,a,是整数，,b,是整数（,b0,），若,有,a,b,qr,，或者,a,b,q,r,，,0,rb,当,r,0,时，称,a,能被,b,整除；,当,r 0,时，称,a,不能被,b,整除，,r,为,a,除于,b,的余数，,q,为,a,除于,b,的商。,1,余数的性质,（,1,）被除数除数商余数,除数（被除数余数）商,商（被除数余数）,除数,（,2,）余数小于除数,2,同余定理（一）,如果,a,，,b,除于,c,的余数相同，就称,a,，,b,对于余,数来说是同余的，且有,a,与,b,的差能被,c,整除。,（,a,b,c,均为自然数）,3,同余定理（
2、二）,a,与,b,的和除于,c,的余数，等于,a,，,b,分别除于,c,的,余数之和（或这个和除于,c,的余数）,例：,23,16,除于,5,的余数非别是,3,和,1,，所以（,23,16,）除于,5,的余数等于,3,1,4,例：,23,，,19,除于,5,的余数非别是,3,和,4,，所以,（,23,19,）除于,5,的余数等于（,3,4,）除于,5,的余数，即,2,4,同余定理（三）,a,与,b,的乘积除于,c,的余数，等于,a,，,b,分别除于,c,的余数之积（或这个积除于,c,的余数）,例：,23,16,除于,5,的余数非别是,3,和,1,，所以,（,23,16,）除于,5,的余数等于,
3、3,1,3,例：,23,，,19,除于,5,的余数非别是,3,和,4,，所以,（,23,19,）除于,5,的余数等于（,3,4,）除于,5,的余数，即,2,5,?,1,小东在计算除法时，把除数,87,写成,78,，结果,得到的商是,54,，余数是,8.,正确的商是,_,余数,是,_.,?,2.,a,24=121,b,要使余数最大，被除数应该,等于,_.,?,3.,一个三位数被,37,除余,17,被,36,除余,3,那么这个,三位数是,_.,6,解,1.48,44.,依题意得,被除数,=78,54+8=4220,而,4220=87,48+44,所以正确的商是,48,余数是,44.,解,2.292
4、7,因为余数一定要比除数小,所以余数最大为,23,故有,被除数,=24,121+23=2927,解,3.831,这个三位数可以写成,37,商,+17=36,商,+(,商,+17).,根据“被,36,除余,3,”,.(,商,+17),被,36,除要余,3.,商只能,是,22(,如果商更大的话,与题目条件“三位数”不,符合,).,因此,这个三位数是,37,22+17=831.,7,?,4.393,除以一个两位数,余数为,8,这样的两位数有,_,个,它们是,_.,解：,4.4;11,35,55,77,393,减,8,那么差一定能被两位数整除,.,393-8=385,385=5,7,11=(5,7),
5、11=(5,11),7=(7,11),5,385,能被两位数,11,，,35,，,55,，,77,整除,.,8,?,5.31453,68765,987657,的积,除以,4,的余数是,_.,?,解：,5.1,?,31453,4=78631,?,68765,4=171911,?,987657,4=2469141,?,1,1,1=1,?,31453,68765,987657,的积除以,4,余数是,1.,9,?,6.8888,乘以,6666,的积，除以,7,余数是,50,个,8 50,个,6,解：,.5,?,因为,111111,能被,7,整除,所以,888888,和,666666,均能,被,7,整除
6、,.,而,50=6,8+2,故得被乘数与,88,被,7,除的余,数相同,乘数与,66,被,7,除的余数相同,进而得,:,被乘数,被,7,除余,4,乘数被,7,除余,3.,所以乘积与,(4,3=)12,被,7,整除的余数相同,.,因此得乘积被,7,除的余数是,5.,10,?,7.,如果时针现在表示的时间是,18,点整,那么分针旋,转,1990,格之后是,_,点钟,.,解：,7.16,?,因为分针旋转一圈为一个钟头,所以分针旋转,24,格,时针旋转,2,格,.,若以现时,18,点整为起点与终点,这样时,针又回到,18,点整的位置上,.,由,1990,24=82,余,22,，可知那时时钟表示的时间应
7、,是,16,点整,.,11,?,8.,甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏,从,1,起按,下面顺序进行：甲报,1,、乙报,2,、丙报,3,、丁报,4,、乙,报,5,、丁报,6,、甲报,7,、乙报,8,、丙报,9,，,，这样，,报,1990,这个小朋友是,_.,解,8.,丁,?,根据小朋友报数顺序列表如下,:,甲,乙,丙,丁,1 2 3 4,5 6,7 8 9 10,11 12,由上表可知每,6,个数号为一组的报数的规律,.,由,1990,6=3314,，根据余数是,4,可知报,1990,的小,12,?,9.,如果按红、橙、黄、绿、青、蓝、紫的顺序，将,199219921992,只彩灯依次反复排列
8、，那么,1991,个,1992,何种颜色的彩灯必定要比其他颜色的彩灯少一只,.,解：,9.,紫,?,考虑通过试除发现规律后求彩灯总数被,7,除的余数,即可,.,经试除得,:199219921992,能被,7,整除,而,1991,被,3,除余,2,所以彩灯总数与,19921992,被,7,除的余数,相同,均为,6.,所以,紫色的彩灯要比其它颜色的彩灯,少一只,.,13,?,10.,从,7,开始,把,7,的倍数依次写下去,一直写到,994,成,为一个很大的数,:71421987994.,这个数是,_,位数,.,解：,10.411,9,7=12,一位数中能被,7,整除的数有,1,个；,99,7=141,两位数中能被,7,整除的数有（,14-1=,）,13,个；,999,7=1425,三位数中能被,7,整除的数有,142-13-1=128,（个）,所以，这个数的位数为：,1+13,2+128,3=411,14,
