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1、3.3 垂径定理,阳山县青莲中学数学组,九年级数学(下)第三章 圆,1.圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,2.圆也是中心对称图形.,它的对称中心就是圆心.,知识回顾,4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。,5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。,3.顶点在圆心的角叫做圆心角.,AM=BM,垂径定理,AB是O的一条弦.作直径CD,使CDAB,垂足为M.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,小明
2、发现图中有:,由 CD是直径,CDAB,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。,垂径定理,证明：连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM,RtOAMRtOBM,AM=BM,AOC=BOC,AOD=180AOC,BOD=180BOC,AOD=BOD,垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧,AM=BM,由 CD是直径,CDAB,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。,CD是直径，CDAB,AB是弦,AM=BM，ADBD，ACBC,CDAB,垂径定理的逆定理,AB是O的一条弦,且AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关
3、系?与同伴说说你的想法和理由.,下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,由 CD是直径,AM=BM,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB,CDAB，ADBD，ACBC,垂径定理的应用,例1:如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,讨论,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧,（3）（1）,（2）（4）（5）,（2）（3）,（1）（4）（5）,（1
4、）（4）,（3）（2）（5）,（1）（5）,（3）（4）（2）,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧,命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB,CDAB，ADBD，ACBC,命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,AB是弦，CD平分AB，CD AB，CD是直径，ADBD，ACBC,命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧,CD是直
5、径，AB是弦，并且ADBD（ACBC）CD平分AB，ACBC（ADBD）CD AB,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,推论,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧,（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,（3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧,垂径定理,记忆,弧的中点到弦的距离,叫弓形高或弓高，如图线段CM是弓高,圆心到弦的距离,叫弦心距。如图线段OM是O到弦AB的弦心距。,赵州石拱桥,1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的
6、中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,随堂练习1,赵州石拱桥,解：如图，用 表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,随堂练习1,如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么?,E,F,M,N,随堂练习2,还有其他情况吗？,如图，已知O的半径为30mm，弦AB=36mm.则点O到AB的距离及 OAB的余弦值。,知识技能2,C,如图，
7、两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？,理由：过O作OEAB于E，,解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。,则 AE=BE,CE=DE,AECE=BEDE,即AC=BD,数学理解3,解：AC=BD,O,如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,数学理解4,A,B,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.(),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.(),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.(),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧(),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）,挑战自我,（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧(）,（7）平分弦的直线，必定过圆心（）,（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦（）,（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径（）,（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦（）,（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分（）,这节课有何收获？！,你,
