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1、第2章 连续时间系统的时域分析,重点：,线性系统完全响应的求解冲激响应h(t)的求解卷积的图解说明卷积的性质零状态响应=f(t)*h(t),2.1 连续时间系统(LTI)的数学模型,1.由系统结构建立数学模型,根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL,KVL.,电感,电阻,电容,根据KCL,代入上面元件伏安关系，并化简有,这是一个代
2、表RCL并联电路系统的二阶微分方程。,求并联电路的端电压 与激励 间的关系。,m,机械位移系统，其质量为m的刚体一端由弹簧,牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为，外加牵引力为，其外加牵引力 与刚体运动速度 间的关系可以推导出为,2.由系统模拟框图建立数学模型,如图所示系统中含有两个积分器,两个倍乘器,一个加法器.在P端和Q端分别满足以下关系式:,加法器的输出端满足:,由此,该系统的数学模型:,一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述,若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。,阶次：方程的阶次由独立的动态元
3、件的个数决定。,n阶线性时不变系统的描述,2.2 连续时间系统的零输入响应和零状态响应,零输入响应：,没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。,不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。,零状态响应：,系统响应求解方法,1.经典时域分析方法:,求解微分方程,2.卷积法:,系统完全响应=零输入响应+零状态响应,求解齐次微分方程得到零输入响应,利用卷积积分可求出零状态响应,齐次解：由特征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式代入原方程，比较系数定出特解。,经
4、典法,全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解,特征根为,齐次解,解：1)求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t),特征方程为,已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y(0)=2,输入信号为号,求系统的完全响应y(t)。,2)求非齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t),解得 A=5/2，B=-11/6,由输入f(t)的形式，设方程的特解为,yp(t)=Ce-t,将特解代入原微分方程即可求得常数C=1/3。,3)求方程的全解,几种典型激励函数相应的特解,激励函数e(t),响应函数r(t)的特解,讨论,1)若初始条件不变
5、，输入信号 f(t)=sin t(t)，则系统的完全响应y(t)=？,2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？,卷积法,系统完全响应=零输入响应+零状态响应,系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。,数学模型:,求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式再由初始条件确定待定系数。,已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0-)=1，y(0-)=3，求系统的零输入响应yzi(t)。,解：系统的特征方程为,系统的特征根为,（两相等实根）,y(0-)=yzi(0-)=K1=1;y(0-)=yzi(0
6、-)=-2K1+K2=3,解得 K1=1,K2=5,卷积法求解系统零状态响应yzs(t)的思路,1)将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合。2)求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响应 单位冲激响应h(t)。3)利用线性时不变系统的特性，求出单位冲激信号线性组合作用在系统上的响应，即系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yzs(t)。,2.3 冲激响应和阶跃响应,1.冲激响应,系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,定义,列系统微分方程：,冲激 在 时转为系统的储能（由 体现），t0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响
7、应。,齐次方程,(1)直接计算单位冲激信号作用下的零状态响应,特征方程,特征根,即:,据方程可设,a.直接法,由于t0+后,方程右端为零,故nm时,nm时,为使方程两边平衡,h(t)应含有冲激及其高阶导数,即,将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡,确定系数Ki，Ai,(2)从系统的微分方程求解冲激响应,已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的单位冲激响应。,解：当f(t)=d(t)时,y(t)=h(t),即,动态方程式的特征根s=-3,且nm,故h(t)的形式为,解得A=2,已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。,解：当f(t)=d(t)时,y(t)=h(t),即,动
8、态方程式的特征根s=-6,且n=m,故h(t)的形式为,解得A=-16,B=3,直接法小结,1)由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式.,2)由动态方程右边d(t)的最高阶导数与方程左边h(t)的最高阶导数确定d(j)(t)项.,b.间接法,人为假设描述n阶连续系统的微分方程右侧只有一项，为,则有,当 时，由因果性,为保证等式两边平衡，只能是第n阶导数项包含冲激函数。而且只有一项。这时,则n-1阶导数项包含，而n-2阶导数项包含,当 时，由于 将是一个特殊的零输入响应，它取决于 时的n个初始条件。,在t=0处，只有 是不连续的，而其余的如 等都是连续的，因而 的低于n-1阶导数在t=0处是连
9、续的。即,是一族很有用的函数。,只有,注,对上述微分方程两边取积分,上式左边只第一项不为零，其他项为零,单位冲激信号引起的t=0+时的n个初始条件为,已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。,解：当f(t)=d(t)时,即,动态方程式的特征根s=-6,故h0(t)的形式为,解得A=1,求解方法:,1)求解微分方程,2)利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系,2.阶跃响应,求例1所述系统的单位阶跃响应g(t)。,例1系统的单位冲激响应为,解：,利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系，可得,2.4 信号的时域分解和卷积积分,1.信号的时域分解,当0时，k，d，且,由时不变特性,由均匀特
10、性,由积分特性,2.零状态响应的确定卷积积分,已知某LTI系统的动态方程式为y(t)+3y(t)=2f(t)，系统的冲激响应,.试求系统的零状态响应yzs(t)。,解：,卷积的定义：,1）将f(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自变量；,卷积的计算步骤：,2）把其中一个信号翻转、平移；,3）将f(t)与h(t-t)相乘；对乘积后的图形积分。,3.卷积的图解和卷积积分限的确定,计算y(t)=p1(t)*p1(t)。,a)-t-1,b)-1 t 0,y(t)=0,c)0 t 1,d)1 t,y(t)=0,2.5 卷积积分的运算规律及性质,1.运算规律,y(t),y(t),一个单位冲激响应
11、是 的LTI系统对输入信号 所产生的响应，与一个单位冲激响应是 的LTI系统对输入信号 所产生的响应相同。,(1)交换律,一个系统有若干LTI系统的并联构成，则系统总的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应之和。,+,y(t),y(t),(2)分配律,h1(t),h2(t),w(t),y(t),y(t),(3)结合律,从系统的观点解释：,一个系统是由若干LTI系统级联所构成，则系统总的单位冲激响应等于各个LTI子系统单位冲激响应的卷积.,2.卷积性质,(1)时移性,证明:,式子(2-62)说明当输入信号延时,再与冲激响应卷积时,其结果是时移前两信号卷积的延时,并也延时相同的时间,(2)微分性,证
12、明:,同理可证,微分特性说明信号微分一次后与另一信号的卷积积分,等于两信号卷积积分后再对t 微分一次.同理,若微分两次或者多次,也有相同的结果.,(3)积分性,(4)微积分性质,如果将微分,积分性质同时应用,则有,可以推广得到一般形式,注,当n=m的时候?,(5)与冲激函数的卷积性质,利用冲激函数的抽样性质和 卷积运算的 交换律，可以得到,利用位移特性及(t)*(t)=r(t)，计算y(t)=f(t)*h(t),y(t)=f(t)*h(t)=(t)-(t-1)*(t)-(t-2),=(t)*(t)-(t-1)*(t)-(t)*(t-2)+(t-1)*(t-2),=r(t)-r(t-2)r(t-
13、1)+r(t-3),1：已知 y(t)=f1(t)*f2(t)，求y(t)。,解：y(t)=y(t)*d(t)=f1(t)*f2(t)*d(t),2：已知 y(t)=f1(t)*f2(t)，求y(-1)(t)。,解：y(-1)(t)=y(t)*(t)=f1(t)*f2(t)*(t),=f1(t)*f2(t),=f1(t)*f2(t),=f1(-1)(t)*f2(t),=f1(t)*f2(-1)(t),3：利用等效特性，计算y(t)=f(t)*h(t)。,f(t)=d(t)-d(t-1),f(t)*h(t)=h(t)-h(t-1),1列写KVL方程,2冲激响应为,4.定积分限（关键）,波形,知识回顾Knowledge Review,
