信号与线性系统课件.ppt

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1、,教材内容纲要,绪论第一章,连续时域 第二章,离散时域 第七章,信号分解 第三章,付氏变换 第四章,拉普拉斯 变换 第五章,系统函数 第六章,状态变量 第十一章,付氏变换 Z变换 第八九章,基本概念引导 核心内容,应用和拓宽 加深部分,Compendium of textbook,教材内容纲要,第二章 连续时间系统的时域分析,会建立描述系统激励e(t)与响应r(t)关系的微分方程，深刻理解转移算 子H(p)的意义与应用。深刻理解系统的特征多项式、特征方程、特征根的(自然频率)的意 义，并会求解。深刻理解系统的全响应,r(t)可分解为：零输入响应 rzi(t)与零状态响应 rzs(t)；自由响应

2、与强迫响应；瞬态响应与稳态响应。会根据微分方程的特征根与已知的系统的初始条件，求解系统的零输 入响应rzi(t)。深刻理解单位冲激响应h(t)的意义，并会求解。深刻理解卷积积分的定义、运算规律及主要性质，能会求解卷积积分。会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状态响应rzs(t)。,基本要求：,2.1 引 言,2.2 系统方程的算子表示法,2.3 系统的零输入响应,2.4 奇异函数,2.5 信号的脉冲分解,2.6 阶跃响应和冲激响应,2.7 叠加积分,2.8 卷积及其性质,2.9 线性系统响应时域求解,第二章 连续时间系统的时域分析,系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响

3、应。,连续时间系统的时域分析法：在系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间 t 的一种分析方法。,连续时间系统的变换域分析法：为便于求解方程而将时间变量变换成其他变量。,2.1 引 言,连续时间系统的分析方法:时域分析法;变换域分析法,所谓系统的模型是指对系统物理特性的抽象，用数学表达式或具有理想特性的符号图形来表征系统特性。数学模型-以数学表达式表征系统特性。,举例1：RLC串联电路,一、建立数学模型:线性系统输入输出方程/状态方程,数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。对电系统而言，电路分析课程中已经提供了相应的理论和方法，主要有KCL和KVL方程,或,选取

4、变量：电流i(t)列方程,举例2：双耦合电路对图示电路列写电流和电压的微分方程。,解：选取变量：电流i1(t)、i2(t)列方程 由两类约束关系，分别列两回路方程得：回路1的KVL方程：,电阻R的伏安关系：整理后得：,回路2的KVL方程：,举例3.对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。,将（2）式两边微分，得,将（3）代入（1）得,*由以上例题可以得出如下结论：1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。例2：含有4个储能元件，故为四阶电路。例3：含有2个储能元件，故为二阶电路。,2.无论是电流i(t)或电压 u(t),他们的齐次方程相同。说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯

5、一的。,推广到一般：对于一线性系统其激励和响应函数或输入函数与输出函数之间的关系，总可用下列的微分方程输入输出方程描述：,n 阶常系数线性微分方程,二、常系数n 阶线性常微分方程的求解方法,（经典法）,古典解法解题过程：,齐次方程的通解：为n个指数项之和，其包含的n个待定常数，要用n个初始条件确定。该部分解为系统的自然响应或自由响应。,非齐次方程的特解：可根据系统激励函数的具体形式求取。该部分解为系统的受迫响应。,根据不同观点,全响应可分解为：自由响应分量和强迫响应分量；零输入响应和零状态响应分量；暂态响应分量和稳态响应分量。,1.时域分析法 1)古典解法（直接解法）,2)叠加积分法（卷积积分

6、、杜阿美尔积分）,2.变换域法 系统方程为高阶微分方程或激励信号是较为复杂的函数，利用时域法求解方程十分困难。为求解方程常采用变换域的方法。即将自变量从时间变量变换为频率变量、复频率变量等.如：傅氏变换、拉氏变化等 将求系统的微分方程转换求代数方程,系统的零输入响应：当系统外加激励信号为零时由初始状态 单独作用产生的响应。,系统的零状态响应：当系统初始状态为零时由外加激励信号 单独作用产生的响应。,求解方法：激励e(t)为零，只需求解齐次方程的解，并利用初始条件确定解中的待定系数。,求解方法：需求含有激励函数而初始条件为零的非齐次方程的解。方法1 时域分析法:A直接解方程法 B叠加积分法(卷积

7、积分、杜阿美尔积分)方法2 变换域法,零输入响应和零状态响应的求解,1.微分、积分算子定义,在n 阶常系数线性常微分方程式 中的 和 为时域中的微分运算符号,为方便起见,把微分运算符号用p 表示，即令：把积分算子符号用1/p表示，即令：,n 阶常系数线性常微分方程式的简化形式如下：,2.2 系统方程的算子表示法一、微分、积分算子定义,规则 1 以 p 的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像 代数多项式那样进行相乘和因式分解。mp+np=(m+n)p pmpn=p(m+n),其中m,n 为任意整数 例如:,规则 2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，,二、微分、积分算子的运算规则,规则 3

8、 微分算子方程等号两边 p 的公因式不能随便消去。例如方程,规则 4 对函数进行先除后乘算子 p 的运算时，公式的分子与分母 中共有 p 算子允许消去。而对函数进行先乘后除运算时,则 不能相消.也就是说,对函数乘除算子p的顺序不能随意颠倒,可见:大部分代数运算法则可以使用，但是有一些不能用,对于n 阶连续系统,其输入-输出方程是n 阶线性常系数微分方程若设系统输入为e(t)，输出为r(t)，则可表示为：,利用微分算子将上式表示成：,或简记为：,又可进一步写成：,转移算子H(p),它代表了系统对输入的传输作用,故称为响应对激励的传输算子,或系统的传输算子,三、转移算子,求系统的零输入响应：激励

9、e(t)为零，求解齐次方程 的解，并利用初始 条件确定解中的待定系数。,求系统的零状态响应：系统的初始状态为零，求解 的非齐次方程。,四、系统算子方程的一般表达式,例 电路如图(a)所示，试写出u1(t)对f(t)的传输算子。,解 画出算子模型电路如图(b)所示。由节点电压法列出u1(t)的方程为,所以u1(t)对f(t)的传输算子为,它代表的实际含义是,电容：C1/Cp电感：LLp,例 如图(a)所示电路，电路输入为f(t)，输出为i2(t)，试建立该电路的输入输出算子方程。,电容：C1/Cp电感：LLp,解 画出算子模型电路如图(b)所示。列出网孔电流方程如下：,整理：,该方程组对新设变量

10、而言是一个微分方程组，可以用代数方法求解，得,系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。,求系统的零输入响应：激励 e(t)为零，求解齐次方程 的解，并利用初始 条件确定解中的待定系数。,-称为系统的特征方程，方程解为特征方程的特征根,2.3 系统的零输入响应一、零输入响应的概念二、特征方程,转移算子：,转移算子分母D(p)：特征多项式,简单系统1：1阶齐次方程，特征方程只有一个特征根 p=。,积分常数C可根据 t=0 时由未加激励前的初始储能决定的初始值 r(t)=r(0)来确定。上式为,一般情况下：初始条件为t=t0 时，r(t)=r(t0)此时r(t)=r(t0)e(t-t0),

11、1.简单系统,将上述结论推广到一般情况，n 阶齐次方程，若其特征方程有 n 个单根。则其解的一般形式为：,式中：各为响应中的自然频率，也是H(p)的极点；c1、c2cn 是 n 个应由系统初始条件确定的系数。,三、简单系统的零输入响应,简单系统2：系统特征方程在 p=处，具有一个二阶重根。其解的通解,积分常数c0、c1可根据 t=0 时由未加激励前的初始储能决定的初始值 r(t)=r(0)和 r(t)=r(0)来确定。,将上述结论推广到一般情况，在 p=处，具有一个k阶重根,有,式中，系数c0、c1、c2ck-1 由系统初始条件确定。,2.一般系统的零输入响应,对于一般情况，设n阶连续系统，其

12、特征方程具有 n个特根，设 1 是 k 阶重根。,解题步骤：,A、将特征多项式D(p)进行因式分解，即,求出系统特征方程的根。其中设 1有k 阶重根,，,B、根据下式，求出第 1 个根1对应的零输入响应,C、将所有特征根的响应相加，得到系统的零输入响应，即,D、根据给定的零输入响应初始条件 r(k)(0)k=0,1,2,n-1 确定常数 C1,C2,C(r i-1)（i=1,2,k）。,.,小结,图示RLC串联电路中，设L=1H，C=1F，R=2。若激励电压e(t)为零，且电路的初始条件（1）i(0)=1A/s,i(0)=0;(2)i(0)=0,uc(0)=1 0V,这里压降 uc 的正方向设

13、与电流 i 的正方向一致。分别求上述两种初始条件时电路的零输入响应电流。,例题2-1：,上题中如将电路电阻改为1，初始条件为（1），求 零输入响应电流。解：系统的微分方程为,求系数C1、C2：将 和 代入式（2-19C）得：,例题2-2：,解：,一、奇异函数的定义,有一个或多个间断点，在间断点上的导数用一般方法不好确定，这样的函数统称奇异函数,二、典型奇异函数,1.阶跃函数,连续时间单位阶跃信号用(t)表示，定义为 当t=0时,取值没有定义,函数(t-t1):在 t=t1 处由0 跃变为1 的单位阶跃函数，它较(t)延迟一时间 t1,2.4 奇异函数,举例：在电路分析中，单位直流电压源或电流源

14、，通过一个在t=0时刻闭合的开关,加到电路上的电压信号或电流信号，就可数学抽象为(t)。,*单位阶跃函数(t)乘以任何一个函数 f(t)后,其乘积在阶跃之前为零,在阶跃之后保持原f(t)值*单位阶跃函数(t-t1)和另一函数相乘，有将后者从t1 之前全部切除的作用。,t=0时,K闭合u(t)=E,t=0,(t)移位:,(a)(b)(c),画出sin t、sin t(t-t0)、sin(t-t0)(t-t0)波形,由单位阶跃函数可组成复杂的信号,例 1,f(t)=t(t)-(t-1)+(t-1)=t(t)-(t-1)(t-1),2.冲激函数,定义1：从某些函数的极限来定义函数,冲激函数有几种不同

15、的定义方式，本课程介绍两种定义。,单位冲激函数(t)可视为幅度1/与脉宽的乘积（矩形面积）为1个单位的矩形脉冲，当趋于零时脉冲幅度趋于无穷大的极限情况。,矩形脉冲的极限:,冲激函数常用图示带箭头的线段来表示。函数只在t=0处有“冲激”，而在t 轴上其它各点取值为零。如果矩形面积为1，则在带箭头的线段旁注上(1)，表明冲激强度为单位值。如果在图形上将(A)注于箭头旁，则表示冲激强度为A单位值的(t)函数。,单位冲激函数又称狄拉克（Dirac）函数，函数的定义式为：,(t-t0）则表示在 t=t0 处所出现的冲激，如图所示。显然有：,冲激函数还可是三角形脉冲、高斯脉冲、抽样等函数的极限情况。,定义

16、2：利用广义函数（或称分配函数）定义函数,考虑任何一个函数 f（t）（该函数必须在 t=0 处连续）乘以单位冲激函数后在-t 范围内进行积分：,即有：,函数(t)可通过它在积分运算中对另一函数 f(t)的作用来定义。这样的函数不是通常意义的函数，而是广义函数（或称分配函数）,推广：,单位冲激函数的抽样性质：用一单位冲激去乘某一函数并进行积分，其结果等 于冲激所在的该函数之值。随着冲激处位置的移动，可以抽取任何所需时刻的函数值。,例：求,解：,3.其它奇异函数,结论：阶跃函数和冲激函数及其他们的若干次积分和若干次导数 也是奇异函数。,1）斜变函数R(t),对单位阶跃函数进行积分单位斜变函数，其表

17、达式如下：,斜变函数AR(t)：乘数A为斜变函数的斜率。,2）单位冲激偶(t),单位冲激函数的导数：当t从负值趋于零时，它是一强度为无限大的正的冲激函数；当t从正值趋于零时，它是一强度为无限大的负的冲激函数。,阶跃函数与冲激函数关系,1.周期性脉冲信号表示为奇异函数之和,举例1：一矩形脉冲可分解为两个幅度相同但跃起时间错开的正、负阶跃函数之和。,举例2：有始周期锯齿形脉冲可分解为一个斜变函数和一系列阶跃函数之和。,推广：有始矩形脉冲可分解为阶跃函数之和。,2.5 信号的脉冲分解,2.任意函数表示为阶跃函数的积分,任意有始函数 f(t)可用一系列阶跃函数之和近似表示。,时域中，任意有始函数 f(

18、t)可分解为无限多小阶跃函数相叠加的叠加积分表示式。,各阶跃函数表示为,有始函数近似表示为：,t 0:t d kt 求和 取积分,3.任意函数表示为冲激函数的积分,任意有始函数 f(t)可用脉冲函数相叠加近似表示而这些脉冲函数用冲激函数近似表示：各冲激函数的位置是它所代表的脉冲左侧所在时间，各冲激的强度是它所代表的脉冲的面积。,时域中，任意有始函数 f(t)可分解为无限多冲激函数相叠加的叠加积分表示式。,t 0:t d kt 求和 取积分,各脉冲函数表示为：,有始函数近似表示为：,定义:一个初始状态为零的连续系统，当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应(Implus

19、Response)，冲激响应就是系统在基本信号激励下所产生的零状态响应；当输入为阶跃信号激励所产生的零状态响应称为系统的阶跃响应（Step Response）。,一、线性非时变系统阶跃响应r(t)和冲激响应h(t)的关系,1.单位冲激响应h(t)是单位阶跃响应r(t)的导数,2.单位阶跃响应r(t)是单位冲激响应h(t)的积分,推广：上述关系同样可用来求系统对其他奇异函数（冲激偶、斜变函数）的响应。,2.6 阶跃响应和冲激响应,求解系统冲激响应的方法有：1）系统方程法：根据微分方程求解2）初始条件法：将冲激激励转化成 0+时刻的初始条件，然后利用零输入响应的求解方法求解。例题2-4(P50)使

20、用了这种方法3）系数平衡法：比较等式两边相同函数的系数，得到解答；例题2-4(P50)使用了这种方法。4）LT变换法：利用拉普拉斯变换求解。这种方法最简单。在Ch5中介绍。,二、系统的冲激响应的计算方法,#1.系统的冲激响应的计算方法1系统方程求解方法 Heaviside 部分分式分解方法,系统的冲激响应可由系统的微分方程来计算：当激励函数 e(t)为单位冲激函数(t)时，其响应函数 r(t)即为系统的冲激响应 h(t)。,一般使用Heaviside部分分式分解法，其基本原理等同于LT法。它将复杂系统变为许多个简单系统的和。,1）一阶系统的冲激响应的求解,或者简单记为：,e-t h(t)-h(

21、0-)=k(t),h(t)=k et(t)（注意：零状态h(0-)=0，),微分方程两边同时乘以 e-t，可以得到：,或用算子表示为：,一阶系统:,若：系统特征方程的根均为单根：,-ki为转移算子展开为部分分式时的各系数,系统的冲激响应为：,情况1：nm,2）一般系统：系统的特征根D(p)=0的根无重根,ki的计算公式：,情况2：n=m,系统的冲激响应除包含指数函数外，还包含冲激函数。对于一般微分方程的系统的冲激响应为：,bm 为转移算子中Pm的系数,情况3：nm,系统的冲激响应除包含指数函数、冲激函数外，还包含有直到(m-n)(t)的冲激函数的各阶导数：,3）一般系统，系统的特征根（D(p)

22、=0的根）中1有s个重根假设mn，有,可以证明：则：,重根系数,2.系统的冲激响应的计算方法2初始条件法,将冲激响应的影响看成是t=0+时的初始条件。只要确定这一组初始条件，冲激响应可用求零输入响应的方法求取,线性系统的算子方程：,当 e(t)=(t)时:r(t)=h(t),单位冲激激励引起的在t=0+时的n个初始条件：,将冲激激励转化成 0+时刻的初始条件，然后利用零输入响应的求解方法求解。,例2-4,分析过程：,3.系统的冲激响应的计算方法3系数平衡法,比较等式两边相同函数的系数，得到解答例题2-4,例题2-3例题2-5,例1.描述某系统的微分方程为:试求该系统的冲激响应h(t)。,解：由

23、冲激响应的定义，当e(t)=(t)时，rzs(t)=h(t),推导:,初始条件法小结,解：,试求该系统的冲激响应,r(t)的求解方法方法1：,方法2：,利用叠加原理，把系统对激励信号的各分量(阶跃函数序列或冲激函数序列)的响应进行叠加以求取系统的零状态响应(杜阿美尔积分或卷积积分)。本节只介绍卷积积分,*1.杜阿美尔积分,任意一函数 f（t）可用若干个阶跃函数之和近似表示：,用 e(t)代表激励函数，则激励函数可近似表示为:,（2-56）,阶跃幅值 时移为kt的阶跃函数,2.7 叠加积分,变换积分变量杜阿美尔积分的另一种形式:,或:,在时域中利用叠加积分由阶跃响应求系统对激励函数的零状态响应的

24、积分公式杜阿美尔积分,将积分下限改为0-,系统对激励函数e(t)的总响应为:,任意一函数 f(t)可用若干个冲激函数之和近似表示：,用 e(t)代表激励函数，则激励函数可近似表示为:,2.卷积积分,冲激强度 位于kt处的冲激函数,系统对激励函数e(t)的总响应可近似为:,当t无限趋小时:t d,kt,e(kt)e(),对各项取和变成取积分,系统对激励函数e(t)的总响应为:,变换积分变量卷积积分的另一种形式:,在时域中利用叠加积分由冲激响应求系统对激励函数的零状态响应的积分公式 卷积积分,（2-60）,（2-61a）,（2-61b）,设：系统的单位冲激响应为h(t)：(t)h(t)当系统在t=

25、kt处激励函数为则系统在t=kt处的冲激响应为,(a)激励函数分解成若干个脉冲函数,(b)第k 个脉冲的冲激响应,(c)冲激响应叠加后的总响应,图2-20 卷积积分示意图,用冲激响应求系统的零状态响应方法：给定一系统或其微分方程，可求出系统的冲激响应(或阶跃响应),然后用叠加积分就可求出系统的零状态响应。,激励信号可以分解为一系列冲激函数的积分-卷积积分,卷积积分,结论：如果得到了系统的冲激响应，通过卷积积分，就可以计算出系统对任意信号e(t)的响应。,激励:,响应:,与杜阿美积分相比,这里并不需要信号连续、可导,所以其实用性大大优于杜阿美积分,叠加积分可推广用于线性时变系统：,系统响应为：,

26、激励函数e(t)=(0.5t+1)(t)-(t-2)+(t+1)(t-2)加于RC串联电路。设R=0.5,C=2F,且初始状态为零，求响应电流 i(t).解：由例题2-3解得RC电路的冲激响应为：,激励函数,响应电流为,例题2-6,e(t)=(0.5t+1)(t)-0.5t(t-2),一、卷积的定义,一般而言，如果有两个函数f1(t)、f2(t)，积分 称为f1(t)、f2(t)的卷积积分，简称卷积：,2.8 卷积及其性质,信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成轴，分别得到f1()和f2()的波形。第二步，将

27、f2()波形以纵轴为中心轴翻转180,得到f2(-)波形。第三步，给定一个t值，将f2(-)波形沿轴平移|t|。在t0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-)的波形。,换积分变量 反褶平移相乘叠加（积分）,二、卷积的图解机理,第四步，将f1()和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1()f2(t-)。第五步，计算乘积信号f1()f2(t-)波形与轴之间包含的净面积，便是式 卷积在t时刻的值。第六步，令变量t在(-，)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。,求f(t)与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数f()h(t)在 由0到t的区间内的定积分。

28、根据定积分的几何意义，函数在0到t区间内的定积分值，决定于被积函数f()h(t)的曲线在该区间内与 轴之间所限定的面积。,举例,（）变量替换后，将其中一信号反折,（）平移（左移到与另一信号没有重合后,再右移),*,解:,t-2,（）相乘,（）相乘,（4）相加：以上各图中的阴影面积，即为相乘积分的结果 最后，若以t为横坐标，将与t对应积分值描成曲线，就是卷积积分e(t)*h(t)函数图像。,附：,卷积表,1.卷积代数,作为一种数学运算，卷积运算遵守代数（乘法）运算的某些规律：,（1）互换律 设有u(t)、v(t)两函数，则,这表明卷积结果与两函数的次序无关,（2）分配律：设有u(t)、v(t)、

29、w(t)三函数，则,实际上这个结果也是线性系统叠加特性的体现,（3）结合律：设有u(t)、v(t)、w(t)三函数，则,（2-63）,（2-65）,（2-64）,卷积的计算类似于函数的乘法计算。它的很多性质与乘法运算性质相同，但是也有一些不同。通过这些性质，可以方便卷积的计算。,三、卷积的性质,卷积代数运算与乘法运算的规律相同，但卷积的微分或积分却与函数相乘的微分或积分性质不同。,(4)函数相卷积后的微分 两个函数相卷积后的导数等于其中一个函数的导数与另一个函数的卷积。其表示式为：,(5)函数相卷积后的积分 两个函数相卷积后的积分等于其中一个函数的积分与另一个函数的卷积。其表示式为：,（2-6

30、6）,（2-67）,第4号公式（2-68）,此外：有,卷积的微分和积分,（6）函数延时后的卷积,两函数经延时后的卷积等于两函数卷积后延时，其延时量为两函数分别延时量的和。,如果则有,（2-69）,卷积的延时性质,互相关函数定义：两时间实函数x(t)、y(t)的相关运算由积分定义,Rxy(t)函数称为x(t)与 y(t)的互相关函数，而Ryx(t)函数称为y(t)与 x(t)的互相关函数,令=-t 作变量置换，且置换后将积分变量仍用 表示,有：,（2-70a）,（2-70b）,Rxy(t)与Ryx(t)的关系：,（2-71a）,（2-71b）,比较（2-70）与（2-71）,（2-72）,相关与

31、卷积,自相关函数定义：进行相关运算的是同一时间信号，则称相关运算所得结果为自相关函数。,相关运算与卷积运算的关系：,自相关函数为时间 t 的偶函数,（2-73）,（2-74a）,（2-74b）,(t)(t)=t(t)，et(t)et(t)=t et(t),若f(t)=fa(t)*fb(t)fa(t)定义在(ta1，ta2)fb(t)定义在(tb1，tb2)则f(t)的定义范围为：(ta1+tb1，ta2+tb2),几个特殊函数的卷积：,例,图解法：,解析法：直接根据卷积定义式计算,方法四应用卷积的微分与积分性质求解,方法1：图解法,例题 2-7 P58 例题2-8 P65,方法2：解析法根据卷

32、积定义求解,f(t)=f1(t)*f2(t),方法3：应用卷积的微分与积分性质求解 例2-8 P65,例题 2-9求矩形脉冲f1(t)=(t-t1)-(t-t2),t2t1 和指数函数f2(t)=e-t(t)的卷积解：,方法1：图解法,方法2：应用卷积的微分与积分性质求解,已知 f1(t)=t(t)-(t+1),f2(t)=(t)-(t-1)求 f(t)=f1(t)*f2(t),f(t)=0.5(1-t2)(t+1)-(t)+0.5(1-t)2(t)-(t-1),例:,例 图2(a)所示为门函数，在电子技术中常称矩形脉冲，用符号g(t)表示，其幅度为1，宽度为，求卷积积分g(t)*g(t)。,

33、由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转180后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，t=0时，门函数左边沿位于x=-/2位置，右边沿位于x=/2位置，如图(b)所示。,方法一 图解法。,在任一t时刻，移动门函数左边沿位于x=t-/2位置，右边沿则位于x=t+/2位置，如图(c)所示,按照图卷积过程的图解表示，可计算求得：,方法一图,图解法,方法二 应用卷积运算的微积分和时移性质,方法二图,解析法：根据卷积定义式求解2.图解法求解3.利用卷积性质求解,例：求,卷积积分的求解方法小结：,举例1,举例2 如图所示系统的e(t)、h(t)，求其零状态响应,解：,举例3 P84 习题 2.27,齐次方程的

34、通解,非齐次方程的特解,例4,a,解：,一、线性系统响应的时域求解方法,一个线性非时变系统对于某一激励函数的响应可看成由零输响应和零状态响应部分组成。零输入响应由系统的特征和开始计算时间 t=0 时系统的初始储能决定，它可由齐次方程得到。零状态响应则由系统的特征和外加激励决定，它可由外加激励函数与系统的单位激响应相卷积得到。,2.9 线性系统响应时域求解,系统微分方程的一般形式为：,其中 为转移算子,设特征方程无重根，且考虑 N(p)的幂次一般低于 D(p)，则有：,j 为特征方程 D(p)=0 的 n 个根中的第 j 个根；Kj 是转移算子展开为部分分式后的相应项的系数。,线性系统全响应时域

35、求解的步骤如下：,第一步：由系统微分方程求转移算子,第二步：求零输入响应,设特征方程无重根，i 为特征方程 D(p)=0 的 n 个根中的第 j 个根，则系统的零输入响应为,相应的各系数Cj 须由未加输入的初始条件确定。,（2-76）,第三步：求零状态响应,先求系统冲激响应,转移算子部分分式中的算子项 作用于单位冲激函数时的冲激响应为：,其解,系统冲激响应为,j 为特征方程 D(p)=0 的 n 个根中的第 j 个根；Kj 是转移算子展开为部分分式后的相应项的系数,系统的零状态响应为：,（2-78）,第四步：求全响应 全响应=零输入响应+零状态响应,（2-79）,由于系统必须遵从因果律，它的零

36、输入响应和冲激响应不可能出现于 t0 时，因此上式及式（2-76）、（2-78）中的(t)可省去。,二、几种典型函数信号激励下系统的响应,1.指数函数信号激励下系统的响应,当激励信号为指数函数时,系统的响应为（特征根为单根）：,整理上式,前一和式,后一和式,（2-81）,其中：,（2-80）,自然响应分量,受迫响应分量,几个重要概念：,（1）自然响应分量：在（2-81）的前一和式中诸项只含有自然频率，合称为系统的自然响应分量。,受迫响应分量：在（2-81）的后一和式中诸项只含有外加激励的频率 S，称为系统的受迫响应分量。,（2）转移函数：在复频域中受迫响应分量中的因子 称为系统的转移函数。意义

37、：受迫响应分量中的因子为转移算子 H(p)中的 p 换成激励频率 S 后的函数。转移函数H(s)在特定频率S 时的值即为受迫响应中该频率在 t=0 时的值。,（3）瞬态响应分量：系统响应中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应分量。,稳态响应分量：系统响应中随着时间增长而趋于稳定的部分称为稳态响应分量。,对于一稳定系统：自然响应必随着时间增长而趋于零；受迫响应视激励函数的性质可能随着 时间增长而趋于零，也可能随着 时间增长而趋于稳定，或者两者都有。,（4）系统响应的分类,全响应=零输入响应+零状态响应=自然响应分量+受迫响应分量=瞬态响应分量+稳态响应分量,结论：对于一稳定系统系统的零输入响应

38、 必然是自然响应的一部分，零状态响应中又可分为 自然响应和受迫响应两部分。零输入响应和零状态响应中的自然响应两部分合成总的自然响应，它必然是瞬态响应。受迫响应中随着时间增长而衰减消失部分也是瞬态响应中的一部分，随着时间增长仍存在并趋于稳定响应的部分则是稳态响应。,其中H(s)为将激励信号的指数因子s带入转移算子H(p)中，作为代数表达式进行计算而得到的数值。这个值实际上就是后面将要讨论的拉普拉斯变换。,如果激励信号的指数s与系统的某个特征根相同，则响应中有：,全响应 零输入响应 零状态响应 自然响应分量 受迫响应分量瞬态响应分量 稳态响应分量,各响应间的关系（一般情况）,电源电压e(t)=(1

39、+e-3t)(t)加于RC串联电路上。设R=1,C=1F,且uc(0-)=1V，求响应电压uc(t)。解：,=-1，零输入响应为,代入初始电压值，求得C1=1,RC电路的冲激响应为,零状态响应为,例题2-10,全响应电容电压为：,2.矩形脉冲信号激励下RC电路的响应,激励函数e(t)为一幅值是 E 脉冲宽度是 0 的矩形脉冲，表示为,设系统为零状态，单求零状态响应：,求电容电压 uC,先考虑阶跃函数 E(t)加于此电路时电容C上的电压 uC1,电路方程或,同理，阶跃函数-E(t-0)加于此电路时电容C上的电压 uC2为,矩形脉冲作用时电容上电压为,（2-83）,考虑(t)是 est(t)中 s

40、=0 的特例，令 1/RC=a，利用公式（2-80）式中的第二和式，即得零状态响应uC1,求电阻电压 uR,（2-82）,先考虑阶跃函数 E(t)加于此电路时电容R上的电压 uR1,电路方程为：其解：,同理，阶跃函数-E(t-0)加于此电路时R上的电压 uR2为,讨论：系统参数对系统特性的影响,系统的时域特性由系统在特定信号激励下的响应表示，通常是系统的冲激响应。,一般系统的冲激响应由若干阶跃指数函数组成，指数函数的个数是微分方程的阶数。这些指数函数的性质由其自然频率决定。对于稳定系统，或为负实数或是两个均具负实部且为共轭复数对。前者对应于单调呈指数律衰减的响应，后者对应于幅度按指数律衰减的正

41、弦振荡的响应。系统的自然响应与冲激响应具有相同的形式，系统的受迫响应同时与冲激响应及激励响应有关。,RC电路的冲激响应按指数规律作单调衰减，其特性表现为衰减的快慢。,概念：时间常数=RC 决定RC电路的衰减速度,因其具有时间量纲,称为电路的时间常数。衰减常数时间常数倒数 a=1/=1/RC，称为衰减常数。,结论：显然，时间常数 值愈大或衰减常数a 值愈小,则响应衰减愈慢；反之,响应衰减愈快。,微、积分电路：当外加激励时间参数 0 与电路时间常数满足不同条件时，RC 电路可具有微、积分电路的性质。,很小，0 时：电阻电压的波形呈一正一负尖顶脉冲形这时电路具有微分电路的 性质。,很大，0 时：电容

42、电压在矩形脉冲存在期间，电路的输出响应近似与输 入阶跃函数的积分，这时电路具有积分电路的性质。,RL电路的分析与RC电路类似,只是其电路的时间常数是=L/R,衰减常数a=1/=R/L。RL电路也具有微分和积分电路的性质。,讨论,讨论：梯形脉冲信号作用于系统,梯形脉冲e(t)如右图作用于一单位冲击响应为h(t)的零状态系统，系统对梯形脉冲的响应函数可表示为：,激励函数e(t)为较复杂函数，为简化计算可将响应函数微分两次，得,其中 如右图，其值为：,与h(t)相卷积可得,对 进行两次积分,基本概念：系统的数学模型、特征方程、特征根、奇异 函数、零输入响应、零状态响应、单位冲激 响应、单位阶跃响应、

43、自然响应、受迫响应、瞬态响应、稳态响应、卷积。基本运算：零输入响应的求解、单位冲激响应及单位阶 跃响应的求解、零状态响应的求解、卷积的 几何含义、卷积性质的应用。,本章小结,线性时不变系统的时域分解法有两种：1 经典法：常规的线性微分方程的求解方法，先确定解的形式。将响应分为两部分：1）自然响应：即通解，由相应的齐次微分方程的解，由系统的自然属性产生；2）受迫响应：即特解，由激励项引起。最后，将两部分解相加，带入初始条件确定其中的待定系数，最终确定全响应。经典法的主要缺点是在激励信号比较复杂时难于确定其特解。,复习：线性系统响应的时域求解法,2 近代时域法（卷积法）：将解分为零输入响应和零状态

44、响应两部分：1）零输入响应：激励信号为零时，系统的响应。其解法主要有经典法。在经典法中仅仅有自然响应，只要求解齐次微分方程即可。2）零状态响应：系统初始条件为零时的系统响应。该响应可以用经典法求解，但是必须同时考虑自然和受迫响应，比较麻烦。卷积法则通过计算激励信号与系统的冲激响应的卷积的方法得到系统的零状态响应响应。如果得到了系统的冲激响应，它可以求解任意激励信号下的响应。在有些条件下卷积积分难于得到解析解，但是，借助于计算机数值分析，可以得到非常精确的系统响应的数值解。这种方法现在可以使用的比较广泛。时域法可以计算出系统对任意信号的响应。但是它难于得到一些广泛性的结论。这个弱点可以通过后面的

45、变换域法解决。,系统,建立系统的微分方程,求转移算子H(p),求特征根,求冲激响应h(t),求零输入响应,求零状态响应,时域经典法和时域卷积法,响应分类小结：1、响应信号按照其数学特性可以分为自然响应和受迫响应，也可以按照物理特性分为零输入响应和零状态响应。其中零输入响应与自然响应、零状态响应与受迫响应从表面上看相似，但是它们并不相同：1）零输入响应是自然响应的一部分，但是自然响应还包括了零状态响应响应的一部分；2）受迫响应是零状态响应的一部分，但零状态响应还包括自然响应的一部分；2、系统响应又有另外一种分法：1）瞬态响应：随时间增长而趋于零的部分；2）稳态响应：随时间增长而不趋向零的部分。对

46、于稳定系统，自然响应必定属于瞬态响应，受迫响应则可能为瞬态响应，也可是稳态响应，具体情况视激励信号的形式而定。,总之，信号的响应有三种分类：（1）零输入响应和零状态响应；（2）自然响应和受迫响应；（3）瞬态响应和稳态响应。如果激励信号的指数s与系统的某个特征根相同，则响应中有：,关于系统的线性时不变性,已知某线性时不变系统在相同的初始条件下，若激励为e1(t)=(t)时，系统的全响应为r1(t)=(2e-t+2e-2t-cos3t)(t);而若激励为e2(t)=3(t)时，系统的全响应为r2(t)=(4e-t+2e-2t-3cos3t)(t);求该系统的单位冲激响应h(t),零输入响应；若激励e3(t)如图所示时，求系统的全响应。,练习1：,已知，当激励为,系统的全响应,求：零输入响应、零状态响应、自然响应分量、受迫响应分量、瞬态响应分量、稳态响应分量,练习2：,练习3：已知f1(t)，f2(t)如图所示，求y(t)=f1(t)*f2(t)*(t)的解析表达式。,描述某LTI系统的微分方程为,练习4：,练习5 图示电路，已知，求全响应i3(t).,解：i)先求零状态响应i3zs(t)：,