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1、1,3-4 反馈控制系统的稳态误差(Steady-state errors in feedback control systems),3-3 劳斯-赫尔维茨稳定性判据(Routh-Hurwitz stability criterion),3-1 二阶系统的瞬态响应及性能指标(Transient response and performance indexes in second-order systems),3-2 增加零极点对二阶系统响应的影响(The effect of increasing zeros and poles on second-order systems),第三章 控制系统
2、的时域分析法(Time Domain Analysis in Control Systems in Second-order Systems),2,3.1 二阶系统的瞬态响应及性能指标(Transient response and performance indexes in second-order systems),分析系统的瞬态响应的方法：1、直接求解法 2、间接评价法 3、计算机仿真法,基本概念瞬态响应(Transient response)：系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起，到稳定状态为止，随时间变化的过程。,3,一、典型输入信号(Typical input signals),
3、控制系统的瞬态响应与输入信 号的形式有关,一个控制系统的实际输入信号往往具有多种形式，并且也常常难于事先确定,通常考虑某些典型输入信号对系统的影响,4,（一）阶跃信号(Step signal),阶跃信号表达式,A=1时，称为单位阶跃信号，用1(t)表示,5,（二）斜坡信号(Ramp signal),斜坡信号表达式,当A=1时，则称为单位斜坡信号,6,（三）抛物线信号(Parabolic signal),抛物线信号表达式,当A=1时，则称为单位抛物线信号,7,（四）脉冲信号(Pulse signal),脉冲信号表达式,当e 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦称d(t)函数)。,8,（五）正弦信号
4、(Sinusoidal signal),正弦信号表达式,A为幅值,T为周期，w=2p/T为角频率,9,二、系统的性能指标(Performance indexes),性能指标是衡量系统性能的一些数据,对系统的要求由系统在一定的典型输入信号作用下的具体性能指标来表示,性能指标的形式有多种（本节只讨论时域性能指标）,10,主要性能指标图解,调整时间(Settling time)ts,峰值时间(Peak time)tp,上升时间(Rise time)tr,超调量(Overshoot),延滞迟间(Time delay)td,11,主要性能指标,2、延滞时间td：,主要包括：,1、最大超调量sp：,4、峰
5、值时间tp：,5、调整时间ts：,3、上升时间tr：,其它两种定义方法：响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间,响应曲线到达稳态值50%所需的时间,响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间,响应曲线到达第一个峰值所需的时间,响应曲线从零开始到进入稳态值的95%105%（或98%102%）误差带时所需要的时间。,响应曲线偏离稳态值的最大值，常以百分比表示。最大百分比超调量sp：,12,其他性能指标图解,振荡次数,衰减比,13,其它性能指标,6、振荡次数(Oscillation)：在调整时间ts内,被调节量偏离稳态值 进行多少次的振荡。,反应暂态
6、过程的稳定性,7、衰减比(Decay ratio)：第一个峰值与第二个峰值之比。,对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，外扰动为主要输入，所以常以系统对单位扰动输入信号时的响应特性来衡量瞬态性能。这时参考输入不变、输出的期望值不变，响应曲线围绕原理工作状态上下波动，如下图所示。相应的性能指标就为 或者再加振荡次数等。,14,在评价系统性能时，并不一定需要考察所有上述指标，根据使用条件和实际情况，只对其中几个认为比较重要的性能指标提出要求。,15,三、瞬态响应(Transient response),.一阶系统(First-order system)的瞬态响应,一阶控制系统,代表一个电机
7、的速度控制系统，其中t 是电机的时间常数,闭环传递函数,输出响应,16,一阶系统响应曲线,一阶系统的单位阶跃响应,一阶系统的单位阶跃响应,系统时间常数：定义为系统响应达到稳态值的63.2%所需要的时间,响应的稳态值,17,一阶系统的稳态误差,系统的稳态误差,18,.二阶系统(Second-order system)的瞬态响应,闭环传递函数,为阻尼比，wn为无阻尼自然振荡频率,19,以下图R-L-C电路为例,传递函数,无阻尼自然振荡频率,当R=0时的谐振频率,阻尼比,20,电枢控制的直流电动机,输出w 与电枢电压ua之间传递函数为,21,典型二阶系统的阶跃响应特性,特征方程(Characteri
8、stic equation),解方程,0z1，欠阻尼情况 z=，临界阻尼情况 z，过阻尼情况,22,0z1，欠阻尼(Underdamped)情况,系统传递函数,有阻尼振荡频率,输入r(t)=1(t),23,0z1，欠阻尼情况（续）,(a)根分布(b)单位阶跃响应 欠阻尼情况(0z 1),系统的误差为,当t时，稳态误差e()。,24,z=，无阻尼(Undamped)情况,系统的特征根为一对共轭虚根s1,2=jwn,单位阶跃响应,25,z=，临界阻尼(Critical damping)情况,两个相等的实数特征根：s1=s 2=-wn,(a)根分布(b)单位阶跃响应 临界阻尼情况(z 1),系统输出
9、的拉氏变换,无超调，无振荡，单调响应过程,26,z，过阻尼(Overdamped)情况,两个不相等的实数根：,单位阶跃输入：,由拉氏反变换得：,27,过阻尼情况（续）,(a)根分布(b)单位阶跃响应 过阻尼情况(z 1),无超调，过程拖得比 z=时长,28,不同z值下的二阶系统单位阶跃响应曲线族,29,3.二阶系统的脉冲响应,输入单位脉冲信号d(t)，即R(s)=,二阶系统单位脉冲响应的拉氏变换为,系统的单位脉冲响应,欠阻尼情况(0z 1),临界阻尼情况(z 1),过阻尼情况(z 1),30,不同z 值时的单位脉冲响应曲线,31,4.二阶系统的瞬态响应性能指标,主要的性能指标：上升时间、峰值时
10、间、最大超调量、调节时间,32,上升时间tr(Rise time),c(tr)为1,33,峰值时间tp(Peak time),一阶求导,到达第一个峰值时wd tp=p,34,代入t=tp,sp与z 的关系,最大超调量sp%(The maximum percent overshot),35,调节时间ts(Settling time),调节时间：响应曲线进入并保持在允许的误差带内所需的最短时间。即,二阶系统的单位阶跃响应时域表达式为,可得,36,调节时间ts(Settling time),ts与z 的关系 z 稍微突变引起的ts突变,在z=0.69(或0.77)，ts有最小值，以后ts随z 的增大
11、而近乎线性地上升,曲线的不连续性是由于z 在虚线附近稍微变化会引起ts突变造成,T=1/zwn,经数值计算得到的ts随变化的关系曲线：,37,调节时间ts（近似方法）,或,38,小结,当wn一定，要减小tr和tp，必须减少z 值，要减少ts则应增大zwn值，而且z 值有一定范围，不能过大增大wn，能使tr，tp和ts都减少最大超调量sp只由z 决定，z 越小，sp越大,39,例3.1 角位置随动系统结构图如下图,设系统的参数均已确定，只有放大器增益Ka可调，经等效变换后得开环传递函数为 试计算Ka=200时的tp，ts和p%。如果增益提高到1500或降低到10，对系统响应有何影响？,40,(2
12、)Ka=1500时，得n=86.2s-1，=0.2；tp=0.037s，ts=0.17s，p%=52.7%。可以看出，提高增益使响应初始段加快，但振荡强烈，平稳性明显下降。而由于小，n大，调节时间并无多大变化。,解:系统开环传递函数为,(1)当Ka=200时,n=31.6s-1,=34.5/(2n)=0.545,得:,41,(3)Ka=10时，得n=7.07s-1，=2.44，系统处于过阻尼状态，阶跃响应无超调。二阶系统两个特征根为 因s2的绝对值远大于s1，二阶系统近似为一阶惯性环节,此时，响应虽无超调，但过程缓慢。,例3.1 总结：不同增益下的系统响应,43,四、线性定常系统的重要特性,初
13、始条件为零的线性定常系统,44,四、线性定常系统的重要特性,初始条件为零的线性定常系统,45,结论(Conclusion),单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数。单位阶跃响应可以由单位斜坡响应和单位抛物线响应对时间的一阶导数和二阶导数求得。单位斜坡响应和单位抛物线响应是单位阶跃响应对时间的一重和二重积分。只要知道系统对某一种典型信号的响应，对其它典型信号的响应也可推知。,返回,46,3.2 增加零极点对二阶系统响应的影响(The effect of increasing zeros and poles),高阶系统传递函数的一般形式,零极点的形式,式中q+2l=m，k+2r=n,47,高阶
14、系统单位阶跃响应,假设没有重极点,48,高阶系统小结,高阶系统瞬态响应各分量的衰减快慢由-pi和-zniwni决定各分量所对应的系数决定于系统的零、极点分布系统的零极点影响瞬态响应曲线的形状,对于系数很小(影响很小)的分量、远离虚轴衰减很快的分量常常可以忽略，因而高阶系统的性能就可用低阶系统来近似估计,49,主导极点(Dominant pole),定义,假如高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实数部分为其它极点的15或更小，并且附近又没有零点，则可认为系统的响应主要由该极点(或共轭复数极点)决定，这一分量衰减最慢。这种对系统瞬态响应起主要作用的极点，称为系统的主导极点,50,主导极点example
15、,三阶系统闭环传递函数,三阶系统的零极点分布图,系统的性能指标可用二阶系统的曲线来表示,主导极点,51,主导极点example(续）,将三阶系统看成是由主导极点决定的二阶系统与一个惯性环节（一阶滤波器）串联而成,惯性环节的时间常数较大时，惯性环节的作用较强。二阶系统的输出c1(t)经过惯性环节的滤波后，震荡现象减弱很多,52,仿真结果,当z=0.45时，通过计算机仿真能够得到系统在单位阶跃输入下的响应,当t=2.25时，实数极点为-1/t=-0.444，而复数极点的实部为-0.45，二者相差不大，系统是过阻尼的，响应没有超调,t 调整为0.9，即实数极点为-1.11，则计算得到的超调量为12%
16、，调节时间为8.8秒,53,有零点情况,如果二阶系统包含有零点，且该零点位于主导极点附近，则会对系统的瞬态响应产生影响,标准二阶系统附加一个零点,54,有零点时的仿真结果,含有一个零点二阶系统的阶跃响应,55,零极点分布如上图所示，可知系统闭环传递函数有一个零点(-20.03)和一个极点(-20)距离很近，远离其它零极点。对消此零极点得,例 3.2,解：对于高阶系统传递函数，首先进行因式分解，得,56,近似单位阶跃响应：,进一步将高阶系统近似为一个二阶系统,例 3.2,返回,上式s1=-60,Res2,3=-10。s1距虚轴的距离是s2,3距虚轴距离的5倍以上。,例 3.3,解,1、从闭环传递
17、函数可以看出，系统的传递系数(或静态增益)为1，所以系统对阶跃输入的稳态误差为零,零极点分布图,57,例 3.3（续）,2、应用MATLAB进行计算机仿真，得到单位阶跃响应曲线,单位阶跃响应曲线,A:原三阶系统，超调量sp%=37%调节时间ts=1.6秒,B:忽略极点的系统超调量sp%=54.5%，调节时间ts=1.5秒,D:忽略零极点的系统超调量sp%=9.5%，调节时间ts=1.2秒,C:忽略零点的系统超调量sp%=5.5%调节时间ts=1.4秒,返回,58,例3.3 总结,60,3.3 劳斯-赫尔维茨稳定性判据(Routh-Hurwitz stability criterion),劳斯赫
18、尔维茨(RouthHurwitz)判据，代数判据方法（第三章）根轨迹法，图解求特征根的方法（第四章）奈魁斯特(Nyquist)判据，基于复变函数理论的方法（第五章）李雅普诺夫方法，适用于线性系统和非线性系统,常用的稳定性分析方法,61,一、稳定性(Stability)的概念,(a)稳定的(b)不稳定的,定义,系统在受到外作用力后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的,在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又简称为BIBO(Bounded-Input Bounded-Output)稳定,62,单输入单输出线性系统,系统
19、稳定,特征方程,设方程有k个实根-pi(i=1，2，k)，r对共轭复数根(-s ijwi)(i=1，2，r)，k+2r=n,63,讨 论,-pi 0，-si 0(即极点都具有负实部)，系统是稳定的。但由于存在复数根的wi0，系统的运动是衰减振荡的；若wi=0，则系统的输出按指数曲线衰减。若-pi或-si中有一个或一个以上是正数，系统是不稳定的。只要-pi中有一个为零，或-si中有一个为零(即有一对虚根)，系统处于稳定的临界状态。,64,线性系统稳定的充分必要条件,所有特征根均为负实数，或具有负的实数部分,所有特征根，均在根平面的左半部分,=,=,所有极点均位于S平面的左半部分,65,系统稳定性
20、的简单例子,66,二、劳斯判据(Routh Criterion),(一)系统稳定性的初步判别,67,证明:,特征方程有n个根，其中k个实根-p j(j=1，2，k)，r对复根-s ijw i(i=1，2，r)，n=k+2r。则特征方程式可写为：,假如所有的根均在左半平面，即-pj 0，si 0。所以将各因子项相乘展开后，特征方程的所有系数都是正数,68,(二)劳斯判据,系统特征方程,劳斯阵列表,第一列系数均为正数，系统稳定。第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数,69,例 3.4,解,1、系统特征方程所有系数均为正实数，满足系统稳定的必要条件。,3、第一列系数均为
21、正实数，故系统稳定,2、劳斯阵列表如下 s4 1 24 15 s3 8 32 s2 20 15 s1 26 s0 15,70,解,2、第一列有负数，系统不稳定。由于第一列 系数的符号改变了两次(511 174)，系统特征方程有两个根的实部为正。,例3.5,1、劳斯阵列表如下,s5 1 2 5 s4 3 1 6 s3 5 9(各系数均已乘3)s2-11 15(各系数均已乘5/2)s1 174(各系数均已乘11)s0 15,71,1、劳斯阵列表,特殊情况(1),劳斯阵列表中某一行的第一个系数为零，其余各系数不为零(或没有其余项),解,s 4 1 1 1 s 3 2 2 s 2 e 1 s 1 2-
22、2/e s 0 1,用一个很小的正数e 来代替零,此例中e的上下两个系数符号相同，说明有一对虚根存在,系统处于临界状态。若上下两行系数符号不同，则说明出现一次符号变化，系统不稳定。,72,特殊情况(2),劳斯阵列表中某一行(设为第k行)的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等、关于原点对称的根,处理步骤,利用第k1行的系数构成辅助多项式，它的次数总是偶数的,求辅助多项式对s的导数，将其系数构成新行，代替第k行,继续计算劳斯阵列表,关于原点对称的根可通过令辅助多项式等于零求得,73,1、劳斯阵列表如下,例 3.7,解,s 3 1 4 s 2 10 40 辅助多项式10s 2+40 s
23、1 0 0 求导数 20 0 构成新行 20s+0 s 0 40,2、第一列各系数均未变号，所以没有特征根位 于右半平面。由辅助多项式10s 2+40=0知 道有一对共轭虚根为j2。,74,（三）劳斯判据的应用 稳定裕量(Stability margin)的检验,如果所有根均在新虚轴的左边，则说系统具有稳定裕量s 1,75,例 3.8,解,1、劳斯阵列表 s 3 1 15 s 2 8 20 s 1 25/4 s 0 20,2、第一列无符号改变，故没有根在s平 面右半平面，说明系统稳定。,76,例 3.8（续）,3、令s=z-1，代入特征方程式，得 即,4、新的劳斯阵列表 z 3 1-2 z 2
24、 5-12 z 1-5/2 z 0 12,5、第一列符号改变两次，故有两个根在直线s=-1的右边，因此稳定裕量不到1,77,分析系统参数对稳定性的影响,0 K 15，其稳定的临界值为15,劳斯阵列表：s 3 1 50 s 2 15 50K s 1 s 0 50K,78,例 3.9,解,劳斯阵列表 s 3 2T(K+1)s 2 T+2 K s 1 s 0 K,要是系统稳定，必须满足,79,三、赫尔维茨判据(Hurwitz Criterion),系统特征方程式为 ansnan-1sn-1a1sa0=0,赫尔维茨行列式由特征方程的系数按下述规则 构成：主对角线上为特征方程式自an-1至a0的系数，每
25、行以主对角线上的系数为准，若向左，系数的注脚号码依次下降；若向右，系数的注脚号码则依次上升。注脚号码若大于n或小于零时，此系数为零。,80,赫尔维茨判据：系统稳定的必要和充分条件是an0的情况下，对角线上所有子行列式i(i=1，2，,n)均大于零。,赫尔维茨判据(Hurwitz Criterion),n=1,a10，1=a0,n=2,81,n=3,n=4,稳定条件,82,例3.10,解,1、从特征方程式看出所有系数为正数，满足稳定的必要条件,2、赫尔维茨行列式,系统是稳定的,返回,83,3.4 反馈控制系统的稳态误差(Steady-state errors in feedback contro
26、l systems),瞬态响应性能指标,稳态误差,稳态误差是对系统精度的一种衡量,表达了系统实际输出值与希望输出 值之间的最终偏差,系统在不同的输入信号作用下，会有不同的稳态误差,系统静特性不稳定和参数变化等因素也会导致系统产生一定的稳态误差,84,一、稳态误差的概念(steady-state error),单位反馈系统,非单位反馈系统,85,误差信号e(t)与输入信号r(t)之间的传递函数,终值定理,稳态误差与输入信号和系统的结构、参数有关,(a)阶跃输入(b)斜坡输入(c)抛物线输入 不同典型信号作用下的稳态误差,86,二、稳态误差的计算,控制系统的开环传递函数,系统有N个积分环节串联。因
27、为系统的类型常按其开环传递函数中串联积分环节的数目分类，所以称此系统为N型系统，增加型号数，可使系统精度提高，但对稳定性不利，实际系统中N,87,（一）单位阶跃(Step input)输入时的稳态误差,位置误差系数(Position error constant),0型系统，N=0,1型或1型以上的系统，N,88,（二）单位斜坡输入(Unit step input)时的稳态误差,稳态误差,速度误差系数(Velocity error constant),0型系统，N=0,1型系统，N=,2型或高于2型系统，N 2,89,（三）单位抛物线信号(Parabolic input)(等加速度信号)输入时
28、的稳态误差,稳态误差,0型或1型系统，N=0或1,2型系统，N=2,3型或高于3型系统，N 3,加速度误差系数(Acceleration error constant）,90,稳态误差小结,当输入信号是上述典型信号的组合时，为使系统满足稳态响应的要求，N值应按最复杂的输入信号来选定。,91,解：系统a为1型系统，其Ka=0，不能紧跟r(t)的3t2分量，所以 ess=；系统b为2型系统，其Ka=K=10/4，所以,例 3.11,由G(s)可以看出:v=1,K=1。稳态时，系统可以无误差地跟踪阶跃输入，而跟踪斜坡输入的稳态误差为常值V0/K0。则系统在r(t)=r01(t)V0 t 1(t)作用
29、下的总误差为,解 原系统闭环传递函数为,92,例 3.12,将闭环传递函数等效为单位反馈系统，则,因此得到,93,三、主扰动输入引起的稳态误差,定义,一般情况下，系统除受到输入信号的作用外，还可能承受各种扰动信号的作用，在扰动信号的作用下，系统也将产生稳态误差，称为扰动稳态误差(Disturbance steady-state error)。,主扰动的影响,主扰动,94,主扰动输入引起的稳态误差（续）,R(s),输出与扰动之间的传递函数,扰动为单位阶跃信号n(t)=1(t),（1）先求控制输入引起的稳态误差。由阶跃输入作用下的稳态误差及位置误差系数的计算公式得,解 原系统闭环传递函数为,95,
30、例 3.13,阶跃参考输入的稳态误差为零,（2）再求扰动输入引起的稳态误差。根据终值定理得,解 原系统闭环传递函数为,96,例 3.13(续),扰动误差大小与扰动作用点之前系统前向通道放大系数K1有关,扰动输入引起的稳态误差为,为了降低或消除扰动引起的稳态误差，可以增大扰动作用点之前的前向通道的放大系数或通过在扰动作用点之前引入积分环节的办法来实现。但往往会给系统带来结构不稳定现象。,98,四、关于降低稳态误差问题,增大系统开环放大系数可以增强系统对参考输入的跟随能力；增大扰动作用点以前的前向通道放大系数可以降低扰动引起的稳态误差。增加前向通道中积分环节数，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。保证元件有一定的精度和稳定的性能，尤其是反馈通道元件如果作用于系统的主要干扰可以测量时，采用复合控制来降低系统误差，消除扰动影响。,99,按输入反馈按扰动顺馈的复合控制系统,顺馈控制器传函,消除扰动对系统的影响，其中包括对稳态响应的影响，从而提高系统的精度,控制器传函,干扰信号影响系统输出的干扰通道传函,被控对象传函,100,按参考输入顺馈的复合控制系统,消除由参考输入所引起的误差,101,例3.14 温度复合控制系统,返回,
