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1、表解空间角,异面直线所成角,直线与平面所成角,二 面 角,图 形,定义,表示,范围,要点,用什么度量？,从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,在空间任取一点o，分别作a，b的平行线，从而形成的的锐（直）角,异面直线a，b所成角,斜线与它在平面内的射影所成的锐角。,线a与平面 所成角,找适当点、,找射影、,二足,作平行线,相连,【知识梳理】,空间角的求解步骤：,1.作出所求的空间角,2.证明所作的角符合定义,3.构造三角形并求出所要求角,简言之，空间角的求解步骤为：,“一作”,“二证”,“三算”,“三算”:主要利用正,余弦定理解三角形,一.异面直线所成的角：范围是（0，/2。求两条
2、异面直线所成的角的大小一般方法:,一是:(平移法)通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上（常用中位线、平行四边形）；证明作出的角即为所求的角；利用三角形来求角。原则:一般作面内的直线的平行线!,二是:补形法:一般适用于三棱柱,补成四棱柱.本质上也是平移法.,直线与平面所成的角：范围是0，/2。求直线和平面所成的角的方法是：一是:(定义法)找点在面上的射影。具体步骤如下：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算
3、。,关键是:找到平面的垂线,(2)最小角定理（或三余弦公式）,关键是:分清三个角的位置,（3）:转移法.找到一条与斜线平行的直线,四、等体积法,用等体积法求出点A到平面 的距离h，设AO是平面 的一条斜线段，直线和平面 所成角为，则,确定点的射影位置有以下几种方法：,斜线上任一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；,如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上,两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；,如果点到线段的两端点距
4、离相等,那么射影在线段的垂直平分线上。,利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：即三角形的几个心!,a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心,b.如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；,c.如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；,平面与平面所成的角：范围是0，。求平面和平面所成的角的方法是：一是:(定义法)找二面角的平面角。,二是:(射影面积法),三是:(转移法),四是:(补形法)适用于锥体,补成柱
5、体.,五是:三正弦公式（适用于小题）,六是:(等体积法),用等体积法求出点P到平面 的距离h，PB垂直于，平面 和平面 所成角为，则,l,多面体中无棱二面角的求法,一 平行类,二 相交类,图中两平面已有一个公共点，依据公理二及直线平面（平面平面）的性质定理，待求二面角的棱必过该点且平行于图中某一直线。,图中两平面已有一个公共点，根据几何图形的几何特征，只需运用平面几何知识找出另一个公共点即可得到二平面的交线（即待求二面角的棱）。,例1：在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAABa，E为BC中点。（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面P
6、DC所成二面角的大小,练习3：PA正方形ABCD，设PA=AD，求：（1）面PBC与面PCD所成角的大小；（2）面PAB与面PCD所成角的大小。,D,E,F,M,思考3,在正三棱柱ABCA1B1C1中，,EBB1，截面A1EC侧面AC1。,（1）求证：BE=EB1；,（2）已知AA1=A1B1，,求平面A1EC与平面,ABC所成二面角（锐,角）的大小。,E,D,证明（1）,过E作EFA1C,则EF平面AC1，,F,取AB的中点G，,G,连BG，,ABC是正，BGAC，,又面ABC面AC1，,BG面AC1，,EFBG，,EF，BG共面，,又BE面AC1，BEFG，,EBGF为平行四边形，,BE与
7、FG平行相等，,又BEAA1，,FGAA1，,而G为AC的中点，,AA1=2FG，,BB1=2BE，故BE=EB1。,于F，,解,（2）A1是平面A1EC,与平面A1B1C1的一个公共点，,只需找到另一个公共点即可。,EB1CC1且CC1=2EB1，,CE与C1B1延长后必交于一点D,连A1D即为面A1EC与面A1B1C1,的交线。DB1=B1C1=A1B1，,且A1B1D=600，DA1B1=300 C1A1D=900，,即C1A1A1D。由三垂线定理知CA1A1D。,CA1C1为平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的,平面角，易知CA1C1=450，又面ABC面A1B1C1,故面A1EC与面ABC所成的二面角为450。,在四棱锥P-ABCD中，已知ABCD为矩形，PA 平面ABCD，设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B-PC-D的大小。,思考1,如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PA底面ABCD，BAD=120,E为PC上任意一点，,如何作出空间角？,作出角之后，即可转化为三角形中的计算,
