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1、计算方法复习,典型概念例题,零 绪论,误差及算法,误差,算法,分类,度量,传播,舍入,截断,绝对,相对,有效数字,一元函数,n元函数,一 插值与逼近,所以，关于a，a为未知数的法方程组为,求g(x)=x 在P10,1中的最佳平方逼近元,解法一,这是C0,1上的最佳平方逼近问题.,取,x,P10,1span1,x,记 p1(x)=aax,(,0)=1，(,1)=1/2，(1,1)=1/3，(,g)=2/3，(1,g)=2/5.,例1,解得a=4/15，a4/5,为P10,1中对g(x)=x的最佳平方逼近元.,即p1(x)=4/5x+4/15,例1,观测物体过原点的直线运动,得到所示数据,求运动方
2、程.,解,作直线模型:at+s=0,n为观测点数,定义残差向量:,所以:,令:,所求运动方程为:,二 数值积分,数值积分,基本概念,Gauss求积公式,代数精度,插值型求积公式,收敛及稳定性,数值求积思想,N-C公式,Romberg求积公式及外推加速,梯形公式,辛普森公式,例2,试确定常数A,B,C及,使求积公式:,解,代数精确度尽可能高，并确定上述公式的代数精确度。是否为高斯型求积公式.,令:,整理得:,所以代数精确度为5次.,因为代数精确度为23=5次,是高斯型求积公式.,三 线性方程组,直接法,Gauss消去法,矩阵三角分解法,向量和矩阵范数,追赶法,矩阵条件数,三 线性方程组,迭代法,
3、基本概念,雅可比迭代,迭代收敛速度,高斯-塞德尔迭代,迭代格式,收敛条件,SOR迭代,例3,解,设线性方程组 的系数矩阵为:,(1)写出Jacobi 迭代法的迭代格式,(2)确定a的取值范围，使方程组对应的Gauss-Seidel迭代收敛。,(1)线性方程组,Jacobi 迭代,(2)线性方程组,Gauss-Seidel迭代矩阵:,令,得,四 非线性方程求根,求根法,二分法,不动点迭代法及收敛性理论,牛顿迭代法,插值型迭代,弦截法,抛物线法,用一般迭代法求方程x-lnx2在区间(2,)内的根，要求|xk-xk-1|/|xk|=10-8,令f(x)=x-lnx-2,f(2)0,故方程在(2,4)
4、内至少有一个根,因此f(x)=0在(2,)内仅有一个根x*,将方程化为等价方程：x2lnx,x(2,4),例5,解,因此，x0(2,),xk+12lnxk产生的序列 xk 收敛于x*,取初值x03.0,计算结果如下：,k xi 0 3.000000000 1 3.098612289 2 3.130954362 3 3.141337866 4 3.144648781,5 3.1457022096 3.1460371437 3.1461436118 3.1461774529 3.146188209,10 3.14619162811 3.14619271412 3.14619306013 3.146
5、19316914 3.146193204,另一种迭代格式,0 3.000000000 1 3.147918433,2 3.1461934413 3.146193221,五 常微分方程数值解,数值解法,单步法,线性多步法,方程组与高阶方程,重要概念,重要构造方法,局部截断误差,方法精度,差分构造,泰勒展式构造,积分构造,例5,解,给定求解常微分方程初值问题,的线性多步公式,试确定系数,并推导其局部截断误差主项。,使它具有尽可能高的精度，,线性多步公式局部截断误差,此时:,令:,得:,所以当:,为三阶多步公式.,局部截断误差主项为:,六 特征值特征向量,特征值及特征向量解法,迭代法,变换法,重要概
6、念,特征值特征向量,QR分解,变换,正交相似,反射,平面旋转,幂法,反幂法,雅可比法,QR法,先看一个简单的例子.,设 是二阶实对称矩阵,即a21=a12,其特征值为1,2.,容易验证BT=B,且,当 时,为使RTAR为对角阵，要求b12=b21=0,解之得:,一般的n阶平面旋转矩阵,例3,设矩阵,试作矩阵A=QR分解。,乘幂法是适用于求一般矩阵按模最大特征值及相应特征向量的算法.,设A是n阶矩阵,其n个特征值按模从大到小排序为,又假设关于1,2,n的特征向量v1,v2,vn线性无关,一、乘幂法,任意取定初始向量x0,建立迭代公式：,故当k时，xk1ka1v1.,因此，xk可看成是关于特征值1的近似特征向量,有一严重缺点，当|1|1（或|1|1时）vk中不为零的分量将随k的增大而无限增大，计算机就可能出现上溢（或随k的增大而很快出现下溢）,因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量xk进行“规范化”。,迭代格式改为:,因为,
