中考数学专题复习图形变换问题【含解析】.doc

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1、图形变换问题【专题点拨】数学里的变换,指一个图形(或表达式)到另一个图形(或表达式)的演变。图象变换是函数的一种作图方法。已知一个函数的图象,通过某种或多种连续方式变换,得到另一个与之相关的函数的图象,这样的作图方法叫做图象变换。 【解题策略】从具体图形入手解析变换形式把握变换性质运用性质解题得到结论 【典例解析】类型一:平移问题研究例题1:(2016山东省菏泽市3分)如图,A,B的坐标为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为()A2B3C4D5【考点】坐标与图形变化-平移【解析】直接利用平移中点的变化规律求解即可【解答】解:由B点平移前后的纵坐标分别为1、2,可得

2、B点向上平移了1个单位,由A点平移前后的横坐标分别是为2、3,可得A点向右平移了1个单位,由此得线段AB的平移的过程是:向上平移1个单位,再向右平移1个单位,所以点A、B均按此规律平移,由此可得a=0+1=1,b=0+1=1,故a+b=2故选:A【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减变式训练1:(2016山东省济宁市3分)如图,将ABE向右平移2cm得到DCF,如果ABE的周长是16cm,那么四边形ABFD的周长是()A16cmB18cmC20cmD21cm类型二:轴对称

3、问题研究例题2:(2016山东潍坊3分)已知AOB=60,点P是AOB的平分线OC上的动点,点M在边OA上,且OM=4,则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是2【考点】轴对称-最短路线问题【解析】过M作MNOB于N,交OC于P,即MN的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值,解直角三角形即可得到结论【解答】解:过M作MNOB于N,交OC于P,则MN的长度等于PM+PN的最小值,即MN的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值,ONM=90,OM=4,MN=OMsin60=2,点P到点M与到边OA的距离之和的最小值为2变式训练2:(2016黑龙江龙东3分)如图,MN是O的直径,

4、MN=4,AMN=40,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为类型三:旋转问题研究例题3:(2016青海西宁2分)如图,已知正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点,且EDF=45,将DAE绕点D逆时针旋转90,得到DCM若AE=1,则FM的长为【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质【解析】由旋转可得DE=DM,EDM为直角,可得出EDF+MDF=90,由EDF=45,得到MDF为45,可得出EDF=MDF,再由DF=DF,利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等,由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF;则可得到AE=C

5、M=1,正方形的边长为3,用ABAE求出EB的长,再由BC+CM求出BM的长,设EF=MF=x,可得出BF=BMFM=BMEF=4x,在直角三角形BEF中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为FM的长【解答】解:DAE逆时针旋转90得到DCM,FCM=FCD+DCM=180,F、C、M三点共线,DE=DM,EDM=90,EDF+FDM=90,EDF=45,FDM=EDF=45,在DEF和DMF中,DEFDMF(SAS),EF=MF,设EF=MF=x,AE=CM=1,且BC=3,BM=BC+CM=3+1=4,BF=BMMF=BMEF=4x,EB=ABAE=31=2,在RtE

6、BF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2,即22+(4x)2=x2,解得:x=,FM=故答案为:变式训练3:(2016湖北荆门3分)两个全等的三角尺重叠放在ACB的位置,将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,AB与CE相交于点F已知ACB=DCE=90,B=30,AB=8cm,则CF=2cm类型四:翻转问题研究例题4:(2016黑龙江齐齐哈尔3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,A=60,点M是AD边的中点,连接MC,将菱形ABCD翻折,使点A落在线段CM上的点E处,折痕交AB于点N,则线段EC的长为1【考点】翻折变换(折叠问题);菱形的性质【解析

7、】过点M作MFDC于点F,根据在边长为2的菱形ABCD中,A=60,M为AD中点,得到2MD=AD=CD=2,从而得到FDM=60,FMD=30,进而利用锐角三角函数关系求出EC的长即可【解答】解:如图所示:过点M作MFDC于点F,在边长为2的菱形ABCD中,A=60,M为AD中点,2MD=AD=CD=2,FDM=60,FMD=30,FD=MD=,FM=DMcos30=,MC=,EC=MCME=1故答案为:1变式训练4:(2016山东省德州市4分)如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是 类型五:综合变换问题研究例题5:(2016吉

8、林8分)(1)如图1,在RtABC中,ABC=90,以点B为中心,把ABC逆时针旋转90,得到A1BC1;再以点C为中心,把ABC顺时针旋转90,得到A2B1C,连接C1B1,则C1B1与BC的位置关系为平行;(2)如图2,当ABC是锐角三角形,ABC=(60)时,将ABC按照(1)中的方式旋转,连接C1B1,探究C1B1与BC的位置关系,写出你的探究结论,并加以证明;(3)如图3,在图2的基础上,连接B1B,若C1B1=BC,C1BB1的面积为4,则B1BC的面积为6【考点】几何变换综合题【解析】(1)根据旋转的性质得到C1BC=B1BC=90,BC1=BC=CB1,根据平行线的判定得到BC

9、1CB1,推出四边形BCB1C1是平行四边形,根据平行四边形的性质即可得到结论;(2)过C1作C1EB1C于E,于是得到C1EB=B1CB,由旋转的性质得到BC1=BC=B1C,C1BC=B1CB,等量代换得到C1BC=C1EB,根据等腰三角形的判定得到C1B=C1E,等量代换得到C1E=B1C,推出四边形C1ECB1是平行四边形,根据平行四边形的性质即可得到结论;(3)设C1B1与BC之间的距离为h,由已知条件得到=,根据三角形的面积公式得到=,于是得到结论【解答】解:(1)平行,把ABC逆时针旋转90,得到A1BC1;再以点C为中心,把ABC顺时针旋转90,得到A2B1C,C1BC=B1B

10、C=90,BC1=BC=CB1,BC1CB1,四边形BCB1C1是平行四边形,C1B1BC,故答案为:平行;(2)证明:如图,过C1作C1EB1C,交BC于E,则C1EB=B1CB,由旋转的性质知,BC1=BC=B1C,C1BC=B1CB,C1BC=C1EB,C1B=C1E,C1E=B1C,四边形C1ECB1是平行四边形,C1B1BC;(3)由(2)知C1B1BC,设C1B1与BC之间的距离为h,C1B1=BC,=,S=B1C1h,S=BCh,=,C1BB1的面积为4,B1BC的面积为6,故答案为:6变式训练5:(2016黑龙江龙东8分)已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个

11、动点(点P不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点(1)当点P与点O重合时如图1,易证OE=OF(不需证明)(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当OFE=30时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明【能力检测】1. (2016贵州安顺3分)如图,将PQR向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则顶点P平移后的坐标是()A(2,4)B(2,4)C(2,3)D(1,3)2. (2016黑龙江龙东3分)如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边ABC

12、“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次変换,如果这样连续经过2016次变换后,等边ABC的顶点C的坐标为3. (2016广西桂林3分)如图,正方形OABC的边长为2,以O为圆心,EF为直径的半圆经过点A,连接AE,CF相交于点P,将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始,绕着点O逆时针旋转90,交点P运动的路径长是 4. (2016云南省昆明市)如图,ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)(1)请画出将ABC向左平移4个单位长度后得到的图形A1B1C1;(2)请画出ABC关于原点O成中心对称的图形A2B2C2;(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直

13、接写出点P的坐标5. (2016浙江省绍兴市8分)对于坐标平面内的点,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2的单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点A的坐标为(1,0)(1)分别写出点A经1次,2次斜平移后得到的点的坐标(2)如图,点M是直线l上的一点,点A惯有点M的对称点的点B,点B关于直线l的对称轴为点C若A、B、C三点不在同一条直线上,判断ABC是否是直角三角形?请说明理由若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C的坐标为(7,6),求出点B的坐标及n的值6. (2016山东潍坊)如图,在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,过点D

14、作DEAB于点E,DFBC于点F(1)如图1,连接AC分别交DE、DF于点M、N,求证:MN=AC;(2)如图2,将EDF以点D为旋转中心旋转,其两边DE、DF分别与直线AB、BC相交于点G、P,连接GP,当DGP的面积等于3时,求旋转角的大小并指明旋转方向【参考答案】变式训练1:(2016山东省济宁市3分)如图,将ABE向右平移2cm得到DCF,如果ABE的周长是16cm,那么四边形ABFD的周长是()A16cmB18cmC20cmD21cm【考点】平移的性质【解析】先根据平移的性质得到CF=AD=2cm,AC=DF,而AB+BC+AC=16cm,则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+D

15、F+AD,然后利用整体代入的方法计算即可【解答】解:ABE向右平移2cm得到DCF,EF=AD=2cm,AE=DF,ABE的周长为16cm,AB+BE+AE=16cm,四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BE+AE+EF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm故选C变式训练2:(2016黑龙江龙东3分)如图,MN是O的直径,MN=4,AMN=40,点B为弧AN的中点,点P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为2【考点】轴对称-最短路线问题;圆周角定理【解析】过A作关于直线MN的对称点A,连接AB,由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值,由对称的性质可知=,

16、再由圆周角定理可求出AON的度数,再由勾股定理即可求解【解答】解:过A作关于直线MN的对称点A,连接AB,由轴对称的性质可知AB即为PA+PB的最小值,连接OB,OA,AA,AA关于直线MN对称,=,AMN=40,AON=80,BON=40,AOB=120,过O作OQAB于Q,在RtAOQ中,OA=2,AB=2AQ=2,即PA+PB的最小值2故答案为:2变式训练3:(2016湖北荆门3分)两个全等的三角尺重叠放在ACB的位置,将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,AB与CE相交于点F已知ACB=DCE=90,B=30,AB=8cm,则CF=2cm【考点

17、】旋转的性质【解析】利用旋转的性质得出DC=AC,D=CAB,再利用已知角度得出AFC=90,再利用直角三角形的性质得出FC的长【解答】解:将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至DCE的位置,使点A恰好落在边DE上,DC=AC,D=CAB,D=DAC,ACB=DCE=90,B=30,D=CAB=60,DCA=60,ACF=30,可得AFC=90,AB=8cm,AC=4cm,FC=4cos30=2(cm)故答案为:2变式训练4:(2016山东省德州市4分)如图,半径为1的半圆形纸片,按如图方式折叠,使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合,则图中阴影部分的面积是【考点】扇形面积的计算;翻折变换(折

18、叠问题)【解析】连接OM交AB于点C,连接OA、OB,根据题意OMAB且OC=MC=,继而求出AOC=60、AB=2AC=,然后根据S弓形ABM=S扇形OABSAOB、S阴影=S半圆2S弓形ABM计算可得答案【解答】解:如图,连接OM交AB于点C,连接OA、OB,由题意知,OMAB,且OC=MC=,在RTAOC中,OA=1,OC=,cosAOC=,AC=AOC=60,AB=2AC=,AOB=2AOC=120,则S弓形ABM=S扇形OABSAOB=,S阴影=S半圆2S弓形ABM=122()=故答案为:【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三

19、角形的面积公式的运用,解答时运用轴对称的性质求解是关键变式训练5:(2016黑龙江龙东8分)已知:点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合),分别过点A、C向直线BP作垂线,垂足分别为点E、F,点O为AC的中点(1)当点P与点O重合时如图1,易证OE=OF(不需证明)(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当OFE=30时,如图2、图3的位置,猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系?请写出你对图2、图3的猜想,并选择一种情况给予证明【考点】四边形综合题【解析】(1)由AOECOF即可得出结论(2)图2中的结论为:CF=OE+AE,延长EO交CF于点G,只要

20、证明EOAGOC,OFG是等边三角形,即可解决问题图3中的结论为:CF=OEAE,延长EO交FC的延长线于点G,证明方法类似【解答】解:(1)AEPB,CFBP,AEO=CFO=90,在AEO和CFO中,AOECOF,OE=OF(2)图2中的结论为:CF=OE+AE图3中的结论为:CF=OEAE选图2中的结论证明如下:延长EO交CF于点G,AEBP,CFBP,AECF,EAO=GCO,在EOA和GOC中,EOAGOC,EO=GO,AE=CG,在RTEFG中,EO=OG,OE=OF=GO,OFE=30,OFG=9030=60,OFG是等边三角形,OF=GF,OE=OF,OE=FG,CF=FG+C

21、G,CF=OE+AE选图3的结论证明如下:延长EO交FC的延长线于点G,AEBP,CFBP,AECF,AEO=G,在AOE和COG中,AOECOG,OE=OG,AE=CG,在RTEFG中,OE=OG,OE=OF=OG,OFE=30,OFG=9030=60,OFG是等边三角形,OF=FG,OE=OF,OE=FG,CF=FGCG,CF=OEAE【能力检测】1. (2016贵州安顺3分)如图,将PQR向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则顶点P平移后的坐标是()A(2,4)B(2,4)C(2,3)D(1,3)【解析】直接利用平移中点的变化规律求解即可【解答】解:由题意可知此题规律是(x+2

22、,y3),照此规律计算可知顶点P(4,1)平移后的坐标是(2,4)故选A【点评】本题考查了图形的平移变换,平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减2. (2016黑龙江龙东3分)如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次変换,如果这样连续经过2016次变换后,等边ABC的顶点C的坐标为【考点】翻折变换(折叠问题);等边三角形的性质;坐标与图形变化-平移【解析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方,然后求出点A纵坐标,再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标,最后写出即可【解答】解:解:ABC是等边三角形AB=

23、31=2,点C到x轴的距离为1+2=+1,横坐标为2,A(2, +1),第2016次变换后的三角形在x轴上方,点A的纵坐标为+1,横坐标为2-20161=-2014,所以,点A的对应点A的坐标是(-2014,+1)故答案为:(-2014,+1)3. (2016广西桂林3分)如图,正方形OABC的边长为2,以O为圆心,EF为直径的半圆经过点A,连接AE,CF相交于点P,将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始,绕着点O逆时针旋转90,交点P运动的路径长是【考点】轨迹;正方形的性质;旋转的性质【解析】如图点P运动的路径是以G为圆心的弧,在G上取一点H,连接EH、FH,只要证明EGF=90,求出G

24、E的长即可解决问题【解答】解:如图点P运动的路径是以G为圆心的弧,在G上取一点H,连接EH、FH四边形AOCB是正方形,AOC=90,AFP=AOC=45,EF是O直径,EAF=90,APF=AFP=45,H=APF=45,EGF=2H=90,EF=4,GE=GF,EG=GF=2,的长=故答案为4. (2016云南省昆明市)如图,ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)(1)请画出将ABC向左平移4个单位长度后得到的图形A1B1C1;(2)请画出ABC关于原点O成中心对称的图形A2B2C2;(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标【考点】作图

25、-旋转变换;轴对称-最短路线问题;作图-平移变换【解析】(1)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置,然后顺次连接即可;(2)找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置,然后顺次连接即可;(3)找出A的对称点A,连接BA,与x轴交点即为P【解答】解:(1)如图1所示:(2)如图2所示:(3)找出A的对称点A(3,4),连接BA,与x轴交点即为P;如图3所示:点P坐标为(2,0)5. (2016浙江省绍兴市8分)对于坐标平面内的点,现将该点向右平移1个单位,再向上平移2的单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5),已知点A的坐标为(1,0)(

26、1)分别写出点A经1次,2次斜平移后得到的点的坐标(2)如图,点M是直线l上的一点,点A惯有点M的对称点的点B,点B关于直线l的对称轴为点C若A、B、C三点不在同一条直线上,判断ABC是否是直角三角形?请说明理由若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C的坐标为(7,6),求出点B的坐标及n的值【考点】几何变换综合题【解析】(1)根据平移的性质得出点A平移的坐标即可;(2)连接CM,根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可;延长BC交x轴于点E,过C点作CFAE于点F,根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可【解答】解:(1)点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5),点A的坐标

27、为(1,0),点A经1次平移后得到的点的坐标为(2,2),点A经2次平移后得到的点的坐标(3,4);(2)连接CM,如图1:由中心对称可知,AM=BM,由轴对称可知:BM=CM,AM=CM=BM,MAC=ACM,MBC=MCB,MAC+ACM+MBC+MCB=180,ACM+MCB=90,ACB=90,ABC是直角三角形;延长BC交x轴于点E,过C点作CFAE于点F,如图2:A(1,0),C(7,6),AF=CF=6,ACF是等腰直角三角形,由得ACE=90,AEC=45,E点坐标为(13,0),设直线BE的解析式为y=kx+b,C,E点在直线上,可得:,解得:,y=x+13,点B由点A经n次

28、斜平移得到,点B(n+1,2n),由2n=n1+13,解得:n=4,B(5,8)6. (2016山东潍坊)如图,在菱形ABCD中,AB=2,BAD=60,过点D作DEAB于点E,DFBC于点F(1)如图1,连接AC分别交DE、DF于点M、N,求证:MN=AC;(2)如图2,将EDF以点D为旋转中心旋转,其两边DE、DF分别与直线AB、BC相交于点G、P,连接GP,当DGP的面积等于3时,求旋转角的大小并指明旋转方向【考点】旋转的性质;菱形的性质【解析】(1)连接BD,证明ABD为等边三角形,根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB,根据相似三角形的性质解答即可;(2)分EDF顺时针旋转和逆时针旋

29、转两种情况,根据旋转变换的性质解答即可【解答】(1)证明:如图1,连接BD,交AC于O,在菱形ABCD中,BAD=60,AD=AB,ABD为等边三角形,DEAB,AE=EB,ABDC,=,同理, =,MN=AC;(2)解:ABDC,BAD=60,ADC=120,又ADE=CDF=30,EDF=60,当EDF顺时针旋转时,由旋转的性质可知,EDG=FDP,GDP=EDF=60,DE=DF=,DEG=DFP=90,在DEG和DFP中,DEGDFP,DG=DP,DGP为等边三角形,DGP的面积=DG2=3,解得,DG=2,则cosEDG=,EDG=60,当顺时针旋转60时,DGP的面积等于3,同理可得,当逆时针旋转60时,DGP的面积也等于3,综上所述,将EDF以点D为旋转中心,顺时针或逆时针旋转60时,DGP的面积等于3

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