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1、第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且 则 A A. B. C. -1 D. 12.函数 D A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数在点处的两个偏导数存在是函数在该点可微的 B A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件4. 设u=+2+3+xy+3x-2y-6z在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 D A. B. C. D. 5. 函数 B A. 在点(0, 0)处取极大值 B.
2、 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值6.二元函数在点处可微是在该点连续的 A A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件7. 已知, 则= B A. B. C. D. 8. 函数 （x0，y0） D A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数在点处连续的是在点处可微的 A A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必
3、要条件10. 曲线x=t, y=, z=所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 B A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在11设，则 B A. B. C. D. 12为使二元函数沿某一特殊路径趋向的极限为2，这条路线应选择为 B A. B. C. D. 13设函数满足，且，则BA. B. C. D. 14设，则 C A. B. C. D. 15为使二元函数在全平面连续，则它在处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D.16已知函数，则 CA. B. C. D. 17若 ，则B A. B. C. D. 18若，则在点 D 处有A. B. C. D. 19设，则下列结论正确的
4、是 A A. B. C. D.两者大小无法确定20.函数 ，则极限 （ C）.(A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在21.函数在点 ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值22.二元函数在原点处（ A）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23设，而，具有二阶连续导数，则（ B）.(A) (B) (C) (D) 24函数在点处连续是它在该点偏导存在的（ D）.(A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件25函数的极大值
5、点是 （ D ）.(A) (B) (C) (D) 26设，则（B ）.(A) (B) (C) (D) 27极限（ B ）.(A) 等于 (B) 不存在 (C) 等于 (D) 存在且不等于及28若在点处的两个一阶偏导数存在，则（B ）.(A) 在点连续 (B) 在点连续 (C) (D) A,B,C都不对29. 设函数，则=（ A ）(A) (B)(C) (D)30. 已知（ C ）（A） （B） （C） （D）31函数z=的定义域是（ D ）（A.） D=(x,y)|x2+y2=1（B.）D=(x,y)|x2+y21（C.） D=(x,y)|x2+y21（D.）D=(x,y)|x2+y2132设
6、，则下列式中正确的是（ C ）； ； ； ； 33设，则（ D ）； ； ； ； 34已知，则（ C ）； ； ； 35. 设，则（ B ）（A）6 （B）3 （C）-2 （D）2. 36.设（ B ）（A） （B） （C） （D）37. 设由方程确定的隐函数（ B ）（A） （B） （C） （D）38. 二次函数 的定义域是（ D ） A. 1 4； B. 1 4； C. 1 4； D. 1 4。39. 在点处的偏导数和连续是可微分的（ B ） A.充分必要条件； B.充分非必要条件； C.必要非充分条件； D.非充分又非必要条件。40. 抛物面 上点P处的切平面平行于平面 ，则点P的坐标是
7、（ C ） A. ； B. ； C. ； D. 41. 设 ，则（ B ） A. ； B. ； C. ； D. 。42. 设二元函数 的极小值点是（ A ）A.（1，0）； B.（1，2）； C.（-3，0）； D.（-3，2）43. 设（ B ） （A）0 （B） （C）-1 （D）144. 设是由方程决定的隐函数，则（ D ）（A） （B） （C） （D）45. 设( B )（A） （B） （C） （D）二、填空题1. 2. 函数u=ln ()在点M(1, 2, -2)的梯度gradu= 1, 2, -23. 24. 已知是可微函数，则5. = 46设，则 7曲线在点处的切线与Y轴的正向夹
8、角是 8设，则 9函数的间断点是 10函数在点沿方向的方向导数是 11. 函数的定义域是12.二元函数的定义域是13函数在原点沿方向的方向导数为 14.函数的定义域是15.曲面在点处的法线方程为 16极限 17若，则 18设有函数，则 19.函数的极大值点是 20设函数则方向导数 21设函数 22曲面上一点（1，-1，3）处的切平面方程为 23. 在点P（0,1,3）处的切平面方程 2y+z=5 ，法线方程 24、设，则全微分dz= 25、设z= 26、已知 27. = 28. 已知，则 29. 已知,则 三、计算与证明1. 设z=f (x+y, xy)的二阶偏导数连续, 求 解：= = 2.
9、求平面和柱面的交线上与xoy平面距离最短的点解：设(x, y, z)是交线上任一点，由已知，距离函数f (x, y, z)=z 又设 令： (1) 与(2)相比，得：，代入(5), 得：；相应的有： 从而得交线上的两点：， 其中：点到xoy平面的距离是 点到xoy平面的距离是比较得：所求点是3.证明极限不存在证明：当(x, y)沿着曲线=x趋于(0, 0)时， 当(x, y)沿着曲线2=x趋于(0, 0)时， 所以，极限不存在 4.设z=xf (xy, ), 求 解：= = 5. 求曲线x= t-sint, y=1-cost, z=4, 在点M(, 1, )处的切线及法平面方程解：因为=1-c
10、ost, =sint, = 而点M(, 1, )所对应的参数为t= 点M的切向量=1, 1, 故点M处的切线方程为 点M处法平面方程为: x+y+z= 6. 求曲面在点(2, 1, 0)处的切平面方程及法线方程解：令F(x, y, z)= 则故 因此:点(2, 1, 0)处的切平面方程为x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0 点(2, 1, 0)处的法线方程为7. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz及梯度gradz解：， 故：dz=ycos(x+y)dx+sin(x+y)+ycos(x+y)dy gradz=( ycos(x+y), sin(x+y)+ycos(x+y) 8. 设
11、直线在平面上，而平面与曲面相切于点M(1, -2, 5), 求a,b之值解：点M处曲面的法向量n=2x, 2y, -1=2,-4,-1 点M处切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0 即: 2x-4y-z-5=0, 此即平面之方程 由直线可得y=-x-b, z=x-a(x+b)-3 代入得: (5+a)x+4b+ab-2=0解得: a=-5, b=-2 9.设函数z=f (u, v), 则u, v具有二阶连续偏导数，其中u=3x+2y, v=， 求 解：= = 10.是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，说明理由。解：不存在。 。 。11.求u关于x,y,z的一阶偏导数：解：
12、。 12、说明函数在何时取得极值，并求出该极值：解：函数定义域。因为，故时极小；无极大。 解方程组，可知函数驻点分布在直线上。对于此直线上的点都有。但是恒成立。所以函数在直线上的各点取得极小值。13.解：= 而，。故原式=14.求u的一阶全微分：解：15、求函数在点M（1，2，-2）沿曲线在此点的切线方向上的方向导数。解：，。在点（1，2，-2）它们的值分别是 曲线在该点切线方向余弦为。方向导数为16.解：=a17.求由下式决定的隐函数z关于x和y的一阶偏导数：。解：等式两端对x求偏导数，得故。利用对称性可得18.用拉格朗日法求条件极值：解：设，解方程组 可得。由于当或时都有。故函数只能在有限
13、处取得极小值（最小）值：当时，函数取得极小（最小）值19.求极限解：原式20.设，求.解： .21. 求抛物面到平面的最近距离。解：设在上，到的距离为，则记，令解得：.所以 22.求曲面上与平面平行的切平面方程。解：曲面的切平面的法向量为 ，平面的法向量为 要使切平面与平面平行，必有，即 解之得， 从而.因此为23 函数求.解：因为 所以 24设函数由方程确定，求。解：(方法一) 令则，因此 .(方法二)方程两边对求导，并注意是的函数，得 解得 .25如何将已知正数分成两个正数之和，使得为最大，其中、是已知的正数。解：由拉格朗日乘数法，令由解得驻点.又由题意当点趋于边界或时，目标函数趋于零，所
14、以连续函数在驻点取最大值。因此当时，的值最大26设，其中具有一阶连续偏导数，求解：27求曲线在对应于点处的切线及法平面方程。解：当时，对应点的坐标为；又参数方程的切线方向向量为： ，故切线方程为，或.而法平面方程为.28.求函数在点处方向导数的最大值和最小值。解：在点处沿方向的方向导数为：令 则的夹角。要使取最大值，则，即，也就是同向时，取最大值，即：当时，取最大值同理，要使取最小值，则，即，也就是反向时，取最小值，即：当时，取最小值29. 设函数，求，解：设，那么，故 =+ =+30. 设是由所确定的隐函数，求它在点（1，2，-1）处的偏导数的值。 31. 斜边长为m的所有直角三角形中，求有
15、最大周长的直角三角形直角边的边长解：设两条直角边的边长为x，y，周长为S，则（1分）并满足 由（2分）令 （3分）解得 因为所有直角三角形的直角顶点位于直径为的半圆周上，最小周长不存在，从而实际问题只有最大值，此时有最大周长的直角三角形的边长均是。32.设，而,求, = =（3分） = =33.设可微，求。 34求曲面在点处的切平面与法线的方程.则,（3分）切平面方程为即（2分）法线方程为（2分）35.将正数12分成三个正数之和，使得为最大.（8分）解：令，则 （3分） 解得唯一驻点（4分），故最大值为36、已知z=arctan，求。 解：37.设,求 ，38. 已知z=arctan，求。 解
16、： 39、设z=x2lny，而x=，y=3u-2v，求。 解： 40将正数a分成三个正数之和，使它们之乘积为最大。求这三个数。解: 设三个数分别为x,y,z.作41设，求解：（2分） （2分）（2分）42求曲面在点处的切平面方程和法线方程。解：（3分） 切平面方程为法线方程为43、设，求解: (2分) (2分)(2分)44、设 ，其中 可微，证明；证: (2分) (2分) (2分)45.求曲面上点M(-1,1,3)处的切平面及法线方程。解： (2分) 切平面方程为即(2分)法线方程为46、求的极值。解： 解得驻点为(2分) A= B= C=(3分) 在点无极值 在点 所以在点（1，1）函数有极小值(2分)
