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1、2.1.1 数列的概念与简单表示法,(1)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为,(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为,1、考察下面的问题,1740，1823，1960，1989，2072，,问题创设,(1)三角形数,(2)正方形数,2、观察以下2个例子：,1,3,6,10,1,4,9,16,问题创设,一、数列的概念：,按一定次序排列的一列数叫做数列,思考1：拿“1，2，3”这三个数来排，能排出几个数列？,例如：三角
2、形数 1，3，6，10，正方形数 1，4，9，16，,1，2，3 2，1，3 3，1，21，3，2 2，3，1 3，2，1,注意：每个数列中的数都有特定的顺序，但不一定要有 特殊的规律.,一、数列的概念：,按一定次序排列的一列数叫做数列,注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项.,我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，an，.(nN*)简记作an。,例如：若用an来表示“2，1，3”这个数列，则a2=_；,1,思考2：能不能把数列“2，1，3”记为2，1，3？,不行，2，1，3是一个集合，集合中的元素是没有顺序的,一、数列的概念：,
3、按一定次序排列的一列数叫做数列,注：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项.,我们常把数列的一般形式写成 a1，a2，a3，an，.(nN*)简记作an。,思考3：an 与an的意思一样吗？an表示一个数列：a1，a2，a3，an，.an表示数列an中的第n项,各项都相等的数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列,二、数列的分类：1、以项数来分类：（1）有穷数列：（2）无穷数列：2、以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：（2）递减数列：（3）常 数 列：（4）摆动数列：,项数有限的数列项数无限的数列,对任意nN*，总
4、有an+1an(或an+1-an0),对任意nN*，总有an+1an(或an+1-an0),从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列,从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列,思考：观察下列数列的特点，用适当的数填空，并猜想这些数列的第n项an是什么？（1）1，9，16，25，49，；（2）2，4，16，32，128，；（3）1，-1，1，1，-1，-1，；,4,36,8,64,-1,1,三、数列的通项公式：,如果数列an的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项。,例如：an=n2 就是数列1，4，9，16，的一个通项公式,注意：通项公
5、式的主要作用是“知序号可求项”如：数列n2的第11项是_ 一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，不是每一个数列都能写出它的通项公式。如：1，24，8，3，19,121,例1、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：,变题：4，6，8，10,变题：-3，-1，1，3,（1）2，4，6，8；（2）1，3，5，7；,an=2n,an=2n+2,an=2n-1,an=2n-5,变题：5，55，555，5555,（4）9，99，999，9999；,（1）-2，2，-2，2；（2）（3）2，0，2，0；,拓展、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
6、,练习：课本P31第1，4题,小结,观察法求通项公式：,（1)常见数列：正整数列；奇数列，偶数列，平方数列，三角形数列，,（2)分数列：观察分子、分母的特点。,（3)指数数列：观察底数、指数的特点。,（4)各项符号一正一负：,例1、已知数列an的通项公式是an=-n2+4n-1，（1）写出这个数列的前4项；（2）你能判断出这个数列哪一项最大吗？为什么？,注意：an=-n2+4n-1可看成以n为自变量的一个函数,（2）an=-n2+4n-1=-(n-2)2+3 当n=2时，an取到最大值3,思考：上述数列的通项an=-n2+4n-1与函数f(x)=-x2+4x-1有什么不同？,(3)-13是这个
7、数列中的项吗？,递增数列：递减数列：,对任意nN*，总有an+1an(或an+1-an0),对任意nN*，总有an+1an(或an+1-an0),例2、已知数列an的通项公式为an=n2+n，其中nN*，求证an是个递增数列。,证明：对任意nN*，an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+20 an是个递增数列,五、数列与函数的关系：,从函数的观点看，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，n）为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.,数列的其他表示方法：,如：数列2，4，6，2n，,列表法，图象法,例4、下图中的三
8、角形称为谢宾斯基三角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.,（1）,（2）,（3）,（4）,思考：如果一个数列an的首项a1=1，从第2项起每一项都等于它的前一项的2倍再加1，即 an=2an-1+1(n2)则该数列的第5项是什么？,已知数列an的第1项（或前几项），且任意一项an与前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式,练习：试写出数列1，3，6，10，的一个递推公式。,解：a1=1,练习：写出下列数列an的前5项（1）a1=5，an=an-1+3(n2)；（2）a1=2，an=2an-1(n2)；,思考：你能否利用上面两题的条件求出数列an的 通项公式？,（1）5，8，11，14，17（2）2，4，8，16，32,二.数列的分类：1.以项数来分类：（1）有穷数列：（2）无穷数列：2.以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：（2）递减数列：（3）常 数 列：（4）摆动数列：,项数有限的数列项数无限的数列,从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列各项都相等的数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列,(an+1an，nN*),(an+1an，nN*),(an+1=an，nN*),
