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1、双曲线及其标准方程,巴西利亚大教堂,北京摩天大楼,法拉利主题公园,花瓶,1、回顾椭圆的定义？,探究研究,平面内与两个定点F1、F2的距离的与等于常数(大于F1F2)的点轨迹叫做椭圆。,考虑:假如把椭圆定义中的“距离之与”改为“距离之差”,那么动点的轨迹会是如何的曲线？即“平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹”是什么？,画双曲线,演示实验:用拉链画双曲线,如图(A),|MF1|-|MF2|=2a,如图(B),上面 两条合起来叫做双曲线,由可得:,|MF1|-|MF2|=2a(差的绝对值),|MF2|-|MF1|=2a,依照实验及椭圆定义,您能给双曲线下定义不？,两个定点F1、F
2、2双曲线的焦点;,|F1F2|=2c 焦距、,平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线、,2、双曲线定义,|MF1|-|MF2|=常数(小于|F1F2|),注意,|MF1|-|MF2|=2a,(1)距离之差的绝对值,(2)常数要小于|F1F2|大于0,02a2c,符号表示:,【考虑2】说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？(F1、F2是两定点,|F1F2|=2c(0ac)当|MF1|-|MF2|=2a时,点M的轨迹;当|MF2|-|MF1|=2a时,点M的轨迹;,因此,在应用定义时,首先要考查、,双曲线的右支,双曲线的左支,以F1、F2为端点
3、的两条射线,不存在,2a与2c的大小,线段F1F2的垂直平分线,若2a=0,动点M的是轨迹_、,若2a=2c,动点M的轨迹;若2a2c,动点M的轨迹、,|MF1|MF2|=|F1F2|时,M点一定在上图中的射线F1P,F2Q 上,此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。,常数大于|F1F2|时,常数等于|F1F2|时,P,M,Q,M,是不估计的,因为三角形两边之差小于第三边。此时无轨迹。,此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。,则|MF1|=|MF2|,常数等于0时,方程表示的曲线是双曲线,方程表示的曲线是双曲线的右支,方程表示的曲线是x轴上分别以F1与F2为端点,指向x轴的负半轴与正半轴的两
4、条射线。,练习巩固:,x,y,o,设M(x,y),双曲线的焦距为2c(c0),F1(-c,0),F2(c,0),F1,F2,M,以F1,F2所在的直线为X轴,线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系,1、建系、,2、设点、,3、列式、,|MF1|-|MF2|=2a,4、化简、,3、双曲线的标准方程,令c2a2=b2,y,o,F1,M,双曲线的标准方程,焦点在x轴上,焦点在y轴上,双曲线定义及标准方程,|MF1|-|MF2|=2a(2a|F1F2|),F(c,0)F(0,c),F(c,0),F(c,0),a0,b0,但a不一定大于b,c2=a2+b2,ab0,a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区
5、别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F(0,c),F(0,c),判断：与 的焦点位置？,考虑:如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在X轴上依然Y轴上？,结论:,看 前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴上。,1、已知下列双曲线的方程:,3,4,5,(0,-5),(0,5),1,2,(-2,0),(2,0),课本例2,4、写出适合下列条件的双曲线的标准方程,(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;(2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5)利用定义得2a=|MF1|MF2|,(3)a=4,过点(1,),分类讨论,例3,证明椭圆 与双曲线x2-15
6、y2=15的焦点相同,变式:上题的椭圆与双曲线的一个交点为P,求|PF1|,练习,例:已知圆C1:(x+3)2+y2=1与圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程、,解:设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 与B,依照两圆外切的条件,|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|,这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2、根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),这个地方a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为(x,y),其轨迹方程为:,轨迹问题,变式训练:已知B(-5,0
7、),C(5,0)是三角形ABC的两个顶点,且,求顶点A的轨迹方程。,解:在ABC中,|BC|=10,故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支,又因c=5,a=3,则b=4,则顶点A的轨迹方程为,解:由双曲线的定义知点 的轨迹是双曲线、因为双曲线的焦点在 轴上,因此设它的标准方程为,所求双曲线的方程为:,变2:已知,动点 到、的距离之差的绝对值为6,求点 的轨迹方程、,小结-双曲线定义及标准方程,|MF1|-|MF2|=2a(2a|F1F2|),F(c,0)F(0,c),解:,1、已知方程 表示椭圆,则 的取值范围是_、,若此方程表示双曲线，的取值范围？,解:,当堂训练:,2、“ab0”是方程 ax2by21 表示双曲线的()条件,A、必要不充分 B、充分不必要C、充要 D、既不充分也不必要,C,【名师点评】双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据,在应用时,一是注意条件|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的使用,二是注意与三角形知识相结合,经常利用正、余弦定理,同时要注意整体运算思想的应用、,跟踪训练,小结-双曲线定义及标准方程,|MF1|-|MF2|=2a(2a|F1F2|),F(c,0)F(0,c),感谢您的聆听！,
