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1、 数列求和的方法教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题教学内容知识梳理1求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1.等比数列的前n项和公式()当q1时，Snna1；()当q1时，Sn.常见的数列的前n项和：， 1+3+5+(2n1)=，等(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个
2、数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(5)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求anbn的前n项和，其中an和bn分别是等差数列和等比数列(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.2. 常见的裂项公式(1)；(2)()；(3)()；(4)；(5)()(6)设等差数列an的公差为d，则()数列求和题型考点一 公式法求和1.(2016新课标全
3、国)已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式；(2)求bn的前n项和.2.(2013新课标全国，17)已知等差数列an的公差不为零，a125，且a1，a11，a13成等比数列.(1)求an的通项公式；(2)求a1a4a7a3n2.变式训练1.(2015四川，16)设数列an(n1，2，3，)的前n项和Sn满足Sn2ana1，且a1，a21，a3成等差数列. (1)求数列an的通项公式； (2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.2.(2014福建，17)在等比数列an中，a23，a581.(1)求an；(2)设bnlog3an，求数列b
4、n的前n项和Sn.考点二 错位相减法1.(山东)已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和Tn.2.(2015天津，18)已知数列an满足an2qan(q为实数，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式；(2)设bn，nN*，求数列bn的前n项和.变式训练1.(2014江西，17)已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令cn，求数列cn的通项公式；(2)若bn3n1，求数列an的前n项和Sn.2.(2014四川
5、，19)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*).(1)若a12，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.3.(2015湖北，18)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.4(2015山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列b
6、n满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.5.(2015浙江，17)已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*).(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.6.(2015湖南，19)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13, nN*.(1)证明：an23an；(2)求Sn.考点三 分组求和法1.(2015福建，17)在等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnn，求b1b2b3b10的值.2.(2014湖南，16)已知数列an的前n项和Sn，nN
7、*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nan，求数列bn的前2n项和.变式训练1.(2014北京，15)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和.考点四 裂项相消法1.(2015新课标全国，17)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和2.(2011新课标全国，17)等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3a
8、n，求数列的前n项和3.(2015安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.变式训练1.(2013江西，16)正项数列an满足：a(2n1)an2n0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.2.(2013大纲全国，17)等差数列an中，a74，a192a9.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.3.在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.考点
9、五 倒序相加法已知函数f(x)(xR)(1)证明：f(x)f(1x)；(2)若Sf()f()f()，则S_.变式训练1.设f(x)，若Sf()f()f()，则S_.考点六 并项求和1.(2012新课标，16)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_.2.(2014山东，19)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.变式训练1.(2014山东理，19)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n
10、1，求数列bn的前n项和Tn.2.(2013湖南，15)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan，nN*，则：(1)a3_；(2)S1S2S100_.考点七 数列|an|的前n项和问题1.(2011北京，11)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_变式训练1.(2013浙江，19)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比数列.(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.考点八 周期数列1.已知数列2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个
11、数列的前2 014项之和S2 014等于()A2 008 B2 010 C1 D0变式训练1.(2012福建)数列an的通项公式anncos，其前n项和为Sn，则S2 012等于()A.1 006 B.2 012 C.503 D.0考点九 数列与不等式的应用 1(2014新课标全国，17)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由2(2013广东，19)设数列an的前n项和为Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1
12、时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有，即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.4(2015山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.解(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a13，当n1时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因为anbnlog3an，所以b1，当n1时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；当n1时，Tnb1b2b3bn(
13、131232(n1)31n)，所以3Tn1(130231(n1)32n)，两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn，经检验，n1时也适合综上可得Tn.5.(2015浙江，17)已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*).(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)由a12，an12an，得an2n(nN*).由题意知：当n1时，b1b21，故b22.当n2时，bnbn1bn，整理得，所以bnn(nN*).(2)由(1)知anbnn2n.因此Tn2222323n2n，2Tn2
14、2223324n2n1，所以Tn2Tn222232nn2n1.故Tn(n1)2n12(nN*).6.(2015湖南，19)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13, nN*.(1)证明：an23an；(2)求Sn.(1)证明由条件，对任意nN*，有an23SnSn13，因而对任意nN*，n2，有an13Sn1Sn3.两式相减，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故对一切nN*，an23an.(2)解由(1)知，an0，所以3.于是数列a2n1是首项a11，公比为3等比数列；数列a2n是
15、首项a22，公比为3的等比数列.因此a2n13n1，a2n23n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1).从而S2n1S2na2n23n1(53n21).综上所述，Sn考点三 分组求和法1.(2015福建，17)在等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnn，求b1b2b3b10的值.解(1)设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2
16、112)55211532 101.2.(2014湖南，16)已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nan，求数列bn的前2n项和.解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n).记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.变式训练1.(2014北京，15)已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b
17、14，b420，且bnan为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和.解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3.所以ana1(n1)d3n(n1，2，).设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1，2，).(2)由(1)知bn3n2n1(n1，2，).数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为12n1.所以，数列bn的前n项和为n(n1)2n1.考点四 裂项相消法1.(2015新课标全国，17)Sn为数列an的前n项和已知an0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；
18、(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)，a13.所以an是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an2n1.(2)由an2n1可知bn.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnb1b2bn .2.(2011新课标全国，17)等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列的前n项和解(1)设数列an的公比
19、为q.由a9a2a6，得a9a，所以q2.由条件可知q0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故数列an的通项公式为an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n)，故2()，2.所以数列的前n项和为.3.(2015安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题设知a1a4a2a38.又a1a49.可解得或(舍去).由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1，又bn，所以Tnb1b2bn1.变式训练1.(2013江
20、西，16)正项数列an满足：a(2n1)an2n0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由a(2n1)an2n0，得(an2n)(an1)0.由于an是正项数列，所以an2n.(2)由an2n，bn，则bn，Tn.2.(2013大纲全国，17)等差数列an中，a74，a192a9.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由得解得a11，d.an的通项公式为an.(2)bn，Sn.3.在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设b
21、n，求bn的前n项和Tn.答案（1）可求得（2）考点五 倒序相加法1.已知函数f(x)(xR)证明：f(x)f(1x)；变式训练1.设f(x)，若Sf()f()f()，则S_.考点六 并项求和1.(2012新课标，16)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_.理科解析当n2k时，a2k1a2k4k1，当n2k1时，a2ka2k14k3，a2k1a2k12，a2k3a2k12，a2k1a2k3，a1a5a61.a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(2601)30611 830.答案1 830文科解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a
22、1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案D2.(2014山东，19)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解(1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12.所以数列an的通项公式为an2n.(2)
23、由题意知bnan(n1).所以Tn122334(1)nn(n1).因为bn1bn2(n1)，可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，当n为奇数时，TnTn1(bn)n(n1).所以Tn变式训练1.(2014山东理，19)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1，求数列bn的前n项和Tn.解(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1.当n为偶数时，
24、Tn1.当n为奇数时，Tn1.所以Tn2.(2013湖南，15)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan，nN*，则：(1)a3_；(2)S1S2S100_.解析(1)Sn(1)nan.当n3时，a1a2a3a3，当n4时，a1a2a3a4a4，a1a2a3，由知a3.(2)Sn(1)nan当n为奇数时，两式相减得an1an1an，an；当n为偶数时，两式相减得an1an1an，即an2an1，故anSnS1S2S100.答案(1)(2)考点七 数列|an|的前n项和问题1.(2011北京，11)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_解析q38，q2，则an(
25、2)n1，|a1|a2|a3|an|122n22n1.答案22n1变式训练1.(2013浙江，19)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1，2a22，5a3成等比数列.(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解(1)由题意得5a3a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4，ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn，d0，由(1)得d1，ann11，则当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n.当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110，综上所述：|a1|a2|a3|an|考点八 周期数列1.已知数列
26、2 008,2 009,1，2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S2 014等于()A2 008 B2 010 C1 D0答案 B变式训练1.(2012福建)数列an的通项公式anncos，其前n项和为Sn，则S2 012等于()A.1 006 B.2 012 C.503 D.0答案 A考点九 数列与不等式的应用 1(2014新课标全国，17)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.证明(1)由an13an1得an13又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以.2.(2015浙江，20)已知数列an满足a1且an1ana(nN*)(1) 证明：12(nN*)；(2)设数列a的前n项和为Sn，证明：(nN*)证明(1)由题意得an1ana0，即an1an，故an.由an(1an1)an1得an(1an1)(1an2)(1a1
