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1、保险产品的设计方案摘要随着人们的生活水平不断提高，社保、养老等问题已引起人们的普遍关注。针对这一现象，保险公司计划设计一种新产品推向市场。本文为解决保险产品的设计问题，建立了相应的模型。针对模型一、二、三：首先根据题目中已知信息，结合当投保人恰好满岁死亡（，为整数），保险公司不盈不亏，可以得出每月交纳费用、交纳年限、固定工资、月利率与死亡年龄之间的一个关系式：，其次运用软件，可以求得问题中的元，问题中的关系式为：最后绘制出与的图形。针对模型四： 首先列出完成本产品的最终设计所需要的数据种类，再结合这些数据以及全国第五次人口大普查的死亡概率分布图得出的信息，综合模型三中建立的关系式计算出年后的缴
2、费年限，再来确定每月工资发放的额度。针对模型五、六：解决保险公司不盈不亏的概率。首先，对于问题，上面已经求出在保险公司不盈不亏情况下的关系式，并且已知投保人恰好岁死亡的概率是，所以保险公司不盈不亏的概率即为。其次，在问题中，考虑的是投保人都是恰好满整数岁死亡，对此分为两种方案进行计算。由已知条件列出关系式，先求出投保人在两种方案下的平均死亡概率分别为： ， 投保人平均死亡概率即为保险公司不盈不亏的概率。针对模型七：首先，已知投保人大于岁，小于等于岁的死亡概率为，且交费和领取工资是按月进行的，投保人不一定恰好满整数岁死亡。其次，需对模型六出现的两种情况进行分析求解，运用水平法求出每个月的平均死亡
3、概率，以此得出月平均增长率。根据月平均增长率，累加算出每个月的死亡概率，对其求出期望值，由期望值确定出保险公司不盈不亏的概率。最后，第二种方案是在投保人的死亡年龄大于交费年龄下进行计算，方法同第一种方案相同。两种情况下分别求得保险公司不盈不亏的概率为： ， 针对模型八：首先，第一种情况：分别取、，、，、进行比较；第二种情况：选取、进行比较。其次，根据从上面获取的已知信息，结合模型一得到的关系式，在选择时把不考虑的因素看作常数，求出它们之间存在的关系式，最后从关系式可以看出各因素间的相互影响程度，以此求出合适的值。最后对模型进行了灵敏度分析，并对模型作了进一步的评价与推广。关键词: 软件 死亡概
4、率 水平法 不盈不亏 期望值 1 问题重述某保险公司要设计一个新的产品。1.1已知信息 1、投保人从一出生开始，每月交纳固定费用元，交满年（是正整数）停止缴费，并从下个月开始按月领取固定额度的工资元，直到其死亡。 2、只考虑一种例外情况：投保人交费未满年死亡，保险公司全额退还其所有交费（不付利息），并按交费月数进行赔付。 3、为简单起见，这里不需要考虑其他例外情况。银行的月利率为一直不变。保险公司只将投保人的交费即使存入银行，不进行其他投资。1.2 提出问题 1、投保人恰好满岁死亡（，为整数），保险公司不盈不亏，建立关于常数的关系式，并尽量简化。2、根据问题1中的关系式，假设，求的具体值。并写
5、出所用计算工具及操作步骤。3、根据问题1中的关系式，假设元，元，求，的关系式，并用图形或表格形象描述的关系。4、要完成本产品的最终设计，需要那些数据？并探讨获取和加工数据的有效方案。5、假设投保人都是恰好满岁死亡（，为整数）。已知投保人恰好岁死亡的概率是（），且。建立数学模型，求保险公司不盈不亏的概率。6、假设投保人都是恰好满整数岁死亡。已知投保人恰好岁死亡的概率为（），且。投保人岁死亡（，为整数）时，保险公司全额退还投保人所有交费（不付利息），并在按所有交费的倍赔付。建立数学模型，求保险公司不盈不亏的概率。7、保险公司通过某种方法获知，投保人大于岁，小于等于岁得死亡概率为（），且。因为交费和
6、领取工资是按月进行的，投保人不一定恰好满整数岁死亡，问题6中退款和赔付也要按月计算。根据已知按岁死亡的概率，估算按月死亡的概率?并建立数学模型，求保险公司不盈不亏的概率。8、从直觉上知道，越小，越大，投保者越多。但也可能是公司的风险增大。根据以上模型，探讨如何确定合适的（可以引入以上没有提及的影响因素）。2 问题假设与符号说明2.1 问题假设1 假设投保人的不会自行退订2 假设每个月的第一天缴费3 假设每个月的第一天领取固定工资2.2 符号说明:每月交纳的固定费用 :每月领取的固定费用:银行的月利率 :投保人死亡时岁数:投保人缴费的年数 :保险公司赔付的倍数:总的投保人数 :平均死亡年龄:保险
7、公司不盈不亏的概率 :前年一共死亡的概率:前年一共死亡的概率 :第年的第一个月死亡的概率:死亡时的月数 :第月死亡的平均月数:死亡概率最高的年龄段 :前年交的本息和:（=+1，+2，200）不同年龄对应的死亡概率:（）前年投保人在岁的死亡概率:（）平均每月增长速度:（）第1个月到2400个月的死亡概率3 问题分析已知投保人从一出生开始，每月交纳固定费用元，交满年（是正整数）停止缴费，并从下一个月开始按月领取固定额度的工资元，直到投保人死亡。在此期间，假设银行月利率不变，并且保险公司只将投保人的交费及时存入银行，不进行其他投资。如果投保人交费未满年死亡，保险公司全额退还投保人所有交费（不付利息）
8、，并按交费月数进行赔付。本文针对题目中给出的各个问题进行如下分析：问题1、2、3的分析首先，假设投保人在恰好满岁死亡时（，为整数），保险公司不盈不亏，根据上面的已知条件，可以建立常数，的关系式。然后，假设=1000元，=20年，=0.25%，在问题中，当岁时，根据问题得到的关系式，运用软件求解出的具体值。在问题中，未知、元，把已知的，代入问题中建立的关系式，得出与的关系。最后，通过软件绘制出投保人死亡的年龄与缴费总年数的图形，直观地描述、的关系。问题4的分析首先，列出完成本产品的最终设计所需要的数据，再画出全国第五次人口大普查的死亡概率分布图，并根据图中得到的信息结合前面的数据，综合问题3中建
9、立的关系式计算出年后的缴费年限，再来来确定每月工资发放的额度。问题5、6的分析首先，在问题中，假设投保人都是恰好满岁死亡，并且已知投保人恰好岁死亡的概率是（=+1，+2，200），且，综合上面得到的关系式可求出保险公司不盈不亏的概率。其次，假设投保人都是恰好满整数岁死亡，此时，分为两种方案进行计算。第一种是死亡年龄不大于规定的缴费年限，保险公司将全额退还投保人所有交费（不付利息），并再按所有交费的倍进行赔付。为了使保险公司不盈不亏，其赔付的费用需等于投保人交费获取的利息，由此列出关系式，求得投保人在此年龄的平均死亡概率，即为保险公司不盈不亏的概率；另一种是死亡年龄超过规定的缴费年限，在这种情况
10、下可知，投保人已经开始领取固定工资，只有当投保人领取的工资总额，与其在m年中的交费以及所产生的利息之和相等时，保险公司就会不盈不亏，其不盈不亏的概率就是投保人在此年龄的平均死亡概率。问题7的分析首先，已知投保人大于岁，小于等于岁的死亡概率为（=+1，+2，200），且。因为交费和领取工资是按月进行的，投保人不一定恰好满整数岁死亡，所以依然对问题出现两种情况进行分析。其次对于第一种，已知岁的平均死亡概率，运用水平法，根据月初和月末的死亡概率，得出每个月的平均死亡概率，由此可知每个月的平均增长速度，然后算出每个月的死亡概率，即可求出此时保险公司不盈不亏的概率。最后，对于第二种情况，算法同第一种相同
11、。问题8的分析首先，从以上分析可知，越小，越大，投保者就越多，但也可能使公司的风险增大。为降低风险，需确定出合适的。，其次在问题分析中，已经可以确定出，之间的关系式，结合关系式，先选择其中的两个因素，把其余的看作常数进行比较，可以看出两个因素间存在怎样的关系。最后以此类推，来确定出合适的取值。4 模型的建立与求解4.1 模型一的建立与求解由题目中的已知信息可知，投保人恰好满岁死亡，在保证保险公司不盈不亏前提下，建立的关系式。要得出之间的关系式，需先求出投保人在保险公司投了年一共有多少钱，即本金和利息第1个月 第2个月 第3个月 第1个月 由于本文采用的是这个月初算上月的本息的方法，所以到第个月
12、末第个月初本息为在第个月时，投保人就开始领取固定额度的工资，直到第个月，根据保险公司不盈不亏这个条件，设，可知化简得4.2 模型二的建立与求解把已知的、代人模型1中，即用求解得4.3 模型三的建立与求解已知、，由模型1可知之间的关系式为根据关系式求出 用画出投保人活的岁数与投保人投保年数的关系图，如下图4-1投保人活的岁数与投保人投保年数的关系与之间的关系用表格表示见附录A。4.4 模型四的建立与求解完成本产品的最终设计必须要结合当地的具体情况，这样才能设计出来符合大众需求的产品1.各年龄段的死亡率2.当地居民月收入水平3.当地婴儿的出生时限 4.当地人口的平均寿命通过调查到当地婴儿的出生时间
13、，来初步确定投保人的围。再由当地居民月收入水平，来确定每月缴纳的固定费用元的等级，不同阶级、不同收入保险产品所覆盖的人群更广，为不同收入人群的服务余地也越大。各人群的月缴纳费用根据人口的平均寿命可以不同，当然后面所领取的工资也不尽相同，对这些因素综合考虑，得出各个年龄段的死亡概率与总人数。通过全国第五次人口大普查得到的各年龄人口的死亡概率绘制图形如下图4-2每个年龄段的死亡概率根据图4. 可以看出在（）这个区间的死亡率最高，根据模型三中求缴费年限的方法将代入得出保险的缴费年限，从而保险公司可以此来设计出每月工资的发放额度。4.5 模型五的建立与求解由于模型1求的是保险公司在不盈不亏时，常数之间
14、的关系，因此据模型1得到的关系式，可求出保险公司不盈不亏时的概率。由 可得已知信息：投保人恰好岁死亡的概率为（），且，可知保险公司不盈不亏的概率为，即4.6 模型六的建立与求解方案一根据问题中的假设，投保人在岁死亡时，保险公司全额退还给投保人（不付利息），并再按所有交费的倍赔偿，在保险公司不盈不亏前提下，可用银行月利率和投保人死亡时的岁数，表示已知投保人都恰好满整数岁死亡，且岁死亡的概率为()，且，即要求出平均死亡年龄，记为。已知死亡年龄对应的概率，如下表表41 年死亡概率的分布列（死亡的年龄）12200（岁死亡的概率）把分成两段，以第年为分解点，先求出当时的平均死亡年龄，设总的投保人数为，表
15、示前年投保人在岁死亡的概率，则以此类推可知(,)用表格表示为表42 年死亡概率分布列（死亡的年龄）1 23（岁死亡的概率）由表42可知，平均死亡年龄为，即当，时，为投保人在保险公司不盈不亏的条件下死亡的年龄，所以保险公司在该条件下的概率为，即方案二当时,分为两段前年和，要保证公司不盈不亏，必须要满足以下式子 解出由已知投保人恰好满整数岁死亡，岁死亡的概率为，可列出表格表4-3 年死亡概率分布列死亡的年龄 死亡的概率现要求出的平均死亡年龄，记为，为年投保人在第年死亡的概率，用同方案一的方法求得（，,）用表格表示如下表4-4 年死亡概率分布列（死亡的年龄）（岁死亡的概率）根据4-4中的数据，用求期
16、望的方法，可算出平均死亡年龄，即所以当，时，保险公司不盈不亏的概率为4.7 模型七的建立与求解4.7.1 预备知识 用水平法推算每个时期的平均发展速度。平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，用于描述现象在整个观察期平均发展变化的程度。水平法：水平法又称集合平均法，它是根据各个时期的环比发展速度采用几何平均法计算出来的。计算公式为式中：表示平均发展速度，为环比发展速度的个数，为连乘符号。应用水平法计算平均发展速度的基本思想或原理是：从最初发展水平出发，每期按平均发展速度发展，经过期后将达到最末期水平，即因此，用水平法计算的平均发展速度推算出的最后一期的数值与最后一期的实际观察值是一致的。从
17、计算公式不难看出，按水平法计算的平均发展速度，实际上只与数列的最初观察值和最末观察值有关，而与其他各观察值无关，这一特点表明，水平法旨在考虑现象在最后一期所达到的发展水平。因此，在实际应用中，如果我们所关心的是现象在最后一期应达到的水平时，采用水平法计算平均发展速度比较合适。4.7.2 模型的建立与求解由题目中的已知信息，投保人大于，小于等于岁的死亡概率为（），且，可算出每年的平均每月死亡的概率（1） 当时，即投保人在死亡的概率为，由于中包含12个月，我们近似的把这种情况下每个月的死亡概率都为 （2）当（）时，前年一共死亡的概率为前年一共死亡的概率为平均每月死亡的概率为平均每月增长速度为设第年
18、的第一个月死亡的概率为，则，算出，根据可算出以后的每个月的死亡概率表4-5 第年中每个月的概率月数123456死亡概率月数789101112死亡概率上表中不同的（）所对应的增长速度也不同，当时，每个月的死亡概率都为，由200年可知总共有2400个月。设第1个月到2400个月的死亡概率为。已知每个月的死亡概率，要求出保险公司不盈不亏的概率，我们考虑以下两种方案第一种方案 投保人死亡时的月数，求此时保险公司不盈不亏的概率。先得满足以下式子 已知死亡时的月数对应的死亡概率，如下表表4-6 每个月的死亡分布列月份122400死亡概率总投保人数为，可算出月每个月死亡的概率如下表表4-7 投保人出生到第个
19、月死亡的分布列。月份122400死亡概率根据表4-7可得死亡年龄的数学期望即月死亡的平均月数按倍赔付情况下不盈不亏且投保人在月死亡的平均月数为，已知投保人恰好月死亡概率是，且。则保险公司不盈不亏时概率为第二种方案 当投保人死亡月数,分为前个月和个月。已知每个月死亡概率如下表表4-8 每个月的死亡概率的分布列月份122400死亡概率总投保总人数为，可算出岁后每个月份的概率如下表表4-9 投保人岁后每个月的死亡的概率分布列月数死亡概率根据表4-9可得死亡年龄的数学期望即月死亡的平均月数 要保证保险公司不盈不亏的概率，必需满足以下等式即当保险公司满足倍赔偿时，公司不盈不亏的概率为4.8 模型八的建立
20、与求解（1）当时，根据模型立的关系式：得出与之间的关系式，解出(为常数)分析与之间的关系，与之间为单调递增函数。与之间的关系式（为常数）分析与之间的关系，随着的增加而减少。（2）当时，根据模型六可知之间的关系即得出间的关系（为银行月利率） 根据之间的关系式，分析可知随着的增加而减少。 的值可根据的值确定，越大，越大，越小。的值可根据死亡年龄确定，越小，就越大。5 模型检验与误差分析灵敏度分析通过以上的模型得出各种情况下保险公司的不盈不亏点，改变相关变量则这个不盈不亏点将随之改动。透过现象看本质，这一现象的灵敏点在于：银行的月利率。当然，这一点是恒定不变的，投保人每月所需要交纳的金额，交纳的金额
21、越少，投保人的人数就更多， 公司风险就会随之增大。投保人所需交纳费用的年数，需交纳的年数越长，投保人的人数就越少，反之则越多。这决定公司的客户多少起着重要作用。保险公司在所需交纳费用年数之前死亡，赔付所有金额的倍数，倍数越高，投保人的人数也会增多，但是保险公司所担的风险也就更大。投保人交纳到规定年数后，投保人每个月所领工资的多少也影响这保险公司的经济利益。综合以上的分析可以设计出保险公司新产品的方案，由于每个地方每个年龄阶段的死亡概率不同，这影响到该产品设计的最优设计方案。当然，每个地方的消费水平是由不同城市确定的，因此只有进一步考察该公司所在城市的消费水平，才能设计出最佳的产品方案。 6 模
22、型的评价与推广模型的评价优点1 建立的优化模型有成熟的理论基础，又有相应专业软件支持，可信度较高2 模型原理简单明了，容易理解与灵活运用3 建立的模型与实际紧密联系，充分考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，通用性、推广性较强。缺点1 模型建立过程中，仅考虑了题中所给的几个参数对保险产品设计的影响，没有考虑到其它因素带来的影响。2 模型复杂因素较多，不能对其进行全面的考虑，造成与实际有一定的不相符之处。模型的推广建模的方法和思想可以推广到其它模型，如企业投资，旅游策划，产品开发，市场营销等问题。7 参考文献1 吴建国主编数学建模案例精编中国水利水电 2005.52 钱小军主编 数量方法
23、高等教育 1999.83 祥 徐流美 吴清编著MATLAB7.0基础教程清华大学 2005.54 启源 金星 叶俊主编数学模型（第三版）高等教育 2003.28 附录附录A表1 通过、确定的与10.66334221.64988331.530921.31994322.00878431.671631.96974422.36078531.808942.61274522.70598631.942653.24884623.04448732.072863.87794723.37618832.199774.49994823.70138932.323485.1150 4924.02009032.443895.
24、72285024.33219132.5611106.32365124.63799232.6753116.91715224.93749332.7865127.50345325.23069432.8948138.08245425.51769533.0002148.65405525.79859633.1029159.21835626.07359733.2028169.77535726.34259833.30001710.32485826.60569933.39471810.86695926.863010033.48681911.40156027.114710133.57642011.92876127
25、.360810233.66362112.44856227.601410333.74852212.96076327.836510433.83112313.46546428.066310533.91142413.96276528.290810633.98952514.45256628.510210734.06562614.93476728.724510834.13952715.40966828.933710934.21142815.87696929.138111034.28132916.33687029.337611134.34933016.78927129.532411234.41553117.
26、23437229.722611334.47983217.67197329.908111434.54233318.10227430.089211534.60313418.52527530.265911634.66223518.94097630.438211734.71973619.34937730.606411834.77553719.75057830.770311934.82983820.14457930.930212034.88263920.53148031.086212134.93394020.91128131.238212234.98384121.28408231.386412335.0
27、32212435.125115035.950217636.335712535.169615135.971117736.345412635.212815235.991417836.354912735.254815336.011217936.364012835.295715436.030318036.372912935.335315536.048918136.381513035.373915636.067018236.389913135.411315736.084518336.398013235.447715836.101518436.405913335.483015936.118118536.4
28、13513435.517316036.134118636.421013535.550716136.149718736.428213635.583116236.164818836.435213735.614616336.179518936.442013835.645116436.193819036.448613935.674816536.207619136.455014035.703716636.221119236.461214135.731716736.234119336.467214235.758916836.246819436.473114335.785316936.259119536.4
29、48614435.811017036.271019636.478814535.835917136.282619736.484314635.860117236.293919836.489614735.883717336.304819936.494814835.906517436.315420036.499914935.928717536.3257附录B表2第五次人口大普查调查表年龄别平均人口 死亡人口死亡概率合计男女小计男女小计0岁2515836133985311759832410711533125740.00961岁2508000134283811651622390130210880.0012
30、岁26451661414841123032616729477250.00063岁27144631447696126676714438026410.00054岁28508701518704133216611526824700.00045岁29383051561859137644610486464020.00046岁2979795157883514009609725963760.00037岁3050907161403014368779035623410.00038岁31166601645776147088410227013210.00039岁3569418187798116914371030699
31、3310.000310岁40178672102767191510012217984230.000311岁40599902114366194562410566903660.000312岁41782522167879201037311207054150.000313岁41069802119812198716811487384100.000314岁38900811978238191184410386983400.000315岁42855062119055216645210926824100.000316岁51999972523832267616512037254780.000217岁64374043
32、1319133305491158110575240.000218岁667211733083103363808201112607510.000319岁594390730226292921278196012896710.000320岁579823829835532814686238016347460.000421岁566659029149442751646242516827430.000422岁523315626745122558645266417968680.000523岁524895326655022583451274618978490.000524岁556711328202472746866
33、3148209310550.000625岁5814061294741928666423359231210470.000626岁6163863314186230220013414228511290.000627岁6454567331734031372273859260312560.000628岁6620472341897732014954120277113490.000629岁6939916359874333411734542311014320.000730岁6827725354784632798805277368215950.000831岁666898334733743195609494333
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