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1、一元一次方程知识点总结一、等式与方程1等式：（1）定义：含有等号的式子叫做等式（2）性质：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变若那么等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变若那么有或（） 对称性：若，则传递性：若，则（3）拓展： 等式两边取相反数，结果仍相等 如果，那么 等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等 如果，那么 等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质如移项，运用了等式的性质；去分母，运用了等式的性质运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0，否则无意义2方程：（1）定义：含有未知数的等式叫做方程（2）说明：方
2、程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可未知数：通常设x、y、z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！“次”：方程中次的概念和整式的“次”的概念相似指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数未知数次数最高是几就叫几次方程方程有整式方程和分式方程整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程二、一元一次方程1一元一次方程的概念：（1）定义：只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一
3、次方程 （2）一般形式：（a，b为常数，x为未知数，且）（3）注意： 该方程为整式方程 该方程有且只含有一个未知数 该方程中未知数的最高次数是1化简后未知数的系数不为0如：，它不是一元一次方程未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次如，它不是一元一次方程2一元一次方程的解法：（1）方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：“”的形式 （2）解方程：求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程（3）移项：定义：从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项 说明：移项的标准：看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项；移项一定改变符号，不移项的不变 移
4、项的依据：移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质 移项的原则：移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解（4）解一元一次方程的一般步骤及根据： 去分母等式的性质去括号分配律 移项等式的性质合并合并同类项法则 系数化为1等式的性质 检验把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等 （在草纸上）（5）一般方法： 去分母， 程两边同时乘各分母的最小公倍数去括号， 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律 移项， 方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的
5、另一边移项时别忘记了要变号（一般都是把未知数移到一起）合并同类项，合并的是系数，将原方程化为（）的形式系数化1， 两边都乘以未知数的系数的倒数检验，用代入法，在草稿纸上算（6）注意：（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数，局部变形； 去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）； 去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；系数化为1时，方程两
6、边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算）； 不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算（7）补充：分数的基本性质：与等式基本性质不同 分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变3一元一次方程的应用：（1）解决实际应用题的策略： 审题：就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤 设出适当未知数，往往问什
7、么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量 找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程（2）分析问题方法：文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系（3）设未知量方法： 一个应用题，往往涉及到几个未知量，为了利用一元一次方程来解应用题，我们总是设其中一个未知量为x，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程 设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系；有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量（4
8、）找等量关系的方法： “等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系标关键词语，抓住关键句子确定等量关系（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系 紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系（比如体积公式，单价数量总价，单产量数量总产量，速度时间路程，工效时间工作总量等这些常见的基本数量关系，就是等量关系） 通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系 借助线段图确定等量关系。线段图能使抽象的
9、数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系（5）列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点： “审” 要沉着冷静，耐下心去，慢读细读多读，透彻理解题意即弄清已知量、未知量及其相互关系 “设” 设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项式加单位括号“列” 根据等量关系列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位统一，用题目中的原数；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用，重复用一个条件会得到恒等式，解不出来 “解” 解出方程，一定在草纸上一步步认真计算，先化简往往会简化计算“验” 检验两方面，一是解得是否正确，用代入
10、法；二是是否符合实际情况“答” 写出答案，一定要答完整，有单位要加单位一、消费者分析为此，装潢美观，亮丽，富有个性化的店面环境，能引起消费者的注意，从而刺激顾客的消费欲望。这些问题在今后经营中我们将慎重考虑的。（6）解应用题关键与核心：5、就业机会和问题分析根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系（这是关键一步）就是抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程核心是设出适当未知量，根据关系表示出其它量，表示出等量关系中的各个部分，从而列出方程目前，上海市创业培训中心已开办大学生创业培训班，共招收上海交通大学、上海商业职业技术学院等应届毕业生人。（8）实际问题的常见题目类型：基本量、基本关系
11、、等量关系： “和、差、倍、分类问题”：弄清和谁比，比谁多，比谁少 而手工艺制品是一种价格适中，不仅能锻炼同学们的动手能力，同时在制作过程中也能体会一下我国传统工艺的文化。无论是送给朋友还是亲人都能让人体会到一份浓厚的情谊。它的价值是不用金钱去估价而是用你一颗真诚而又温暖的心去体会的。更能让学生家长所接受。增长量=原有量增长率， 现有量=原有量+增长量 为了解目前大学生对DIY手工艺品制作的消费情况，我们于己于人2004年3月22日下午利用下课时间在校园内进行了一次快速抽样调查。据调查本次调查人数共50人，并收回有效问卷50份。调查分析如下：“等积变形问题”：锻造前的体积=锻造后的体积 精明的
12、商家不失时机地打出“自己的饰品自己做”、“DIY(Do It Yourself)饰品、真我个性”的广告，推出“自制饰品”服务，吸引了不少喜欢标新立异、走在潮流前端的年轻女孩，成为上海的时尚消费市场。其市场现状特点具体表现为： 长方体的体积=长宽高， 圆柱的体积=底面积高“打折利润问题”：利润是和成本比的 据调查统计，有近94%的人喜欢亲戚朋友送给自己一件手工艺品。无论是送人，个人兴趣，装饰还是想学手艺，DIY手工制作都能满足你的需求。下表反映了同学们购买手工艺制品的目的。如图（1-4）利润=售价-进价， 利润率=， 售价=标价折扣 “行程问题”：（相遇问题和追及问题） 路程=时间速度，时间=，速度= （注意单位：路程米、千米；时间秒、分、时；速度米秒、千米小时）“销售问题” 总价=单价数量， 总钱数=各部分钱数和培养动手能力 学一门手艺 打发时间 兴趣爱好“利率（息）问题” 本息和=本金+利息， 利息=本金利率时间（期数）“工程问题” 工作总量=工作时间工作效率， 工作总量=各部分工作量的和（1）价格低数字问题（包括日历中数字规律） 比例分配问题 调配问题 注意：应用题分类只是帮助同学们理解记忆，切不可死记题型，生搬硬套，实际上法无定法，要多加练习，培养分析问题解决问题的能力，熟练掌握列方程解应用题的一般方法
