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1、椭圆一知识清单1.椭圆的两种定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的动点P的轨迹，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M=P| ，0e1的常数。（为抛物线；为双曲线）（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.2 标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）；焦点F1（c，0）， F2（c，0）。其中（一个三角形）（2）焦点在y轴上，中心在原点：
2、（ab0）；焦点F1（0，c），F2（0，c）。其中注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB），当AB时，椭圆的焦点在x轴上，AB时焦点在y轴上。3 参数方程：焦点在x轴， （为参数）4 一般方程：5.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）有以下性质：坐标系下的性质： 范围：|x|a，|y|b； 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）； 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（半长轴长，半短轴长
3、）；椭圆的准线方程：对于，左准线；右准线 对于，下准线；上准线焦点到准线的距离（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0 ，左加右减，上减下加通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=平面几何性质：离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越扁，是圆。焦准距；准线间距两个最大角焦点在y轴上，中心在原点：（ab0）的性质可类似的给出。6焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r1r22
4、a(2) 余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3) 面积：r1r2 sin2c| y0 |= c| y0 |= (其中P()为椭圆上一点，|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2)7.共焦点的椭圆系设法：把椭圆（ab0）的共焦点椭圆设为8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.9.弦长公式： （a,b,c为方程的系数考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用例1 (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发
5、的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是OxyDPABCQA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的运行路径分三种情况:(1),此时小球经过的路程为2(ac);(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为
6、（ ）A.3 B.6 C.12 D.24解析C. 长半轴a=3，ABF2的周长为4a=122.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，的最小值为10-1-2=7题型2 求椭圆的标准方程 例2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来解析设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c4.则所求的椭圆的方程为或.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系警示易漏焦点在
7、y轴上的情况【新题导练】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.解析(0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则2，即k0，0k0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2时，上式不成立；m2时，k2，因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1） 【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能例7椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且
8、.、求该椭圆的离心率.、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程.解析 、 ，,， 又，, 而. 、为准线方程，, 由 所求椭圆方程为【新题导练】14.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ） A. B. C. D. 解析 ，选A.15. 如图，在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）设直线l的斜率为k，若MBN为钝角，求k的取值范围。解：（1）以AB所在直线为x轴
9、，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（1，0），B（1，0）由题设可得动点P的轨迹方程为，则曲线E方程为（2）直线MN的方程为由方程有两个不等的实数根MBN是钝角即解得：又M、B、N三点不共线综上所述，k的取值范围是二典型例题考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用例2.点P为为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求：取得最值时的点坐标。题型2 求椭圆的标准方程 例3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程.考点2 椭圆的几何性质 题型1:求椭圆的离心率（或范围）例4. 在中，若以为焦点的椭圆
10、经过点，则该椭圆的离心率 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例5. 已知实数满足,求的最大值与最小值考点3 椭圆的最值问题题型1: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例6.椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为_题型2.一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。例7. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例8 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，
11、求的最大值与最小值。三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。例9. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例10. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。考点4 直线与椭圆相交问题题型1 直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有还不够，且用数形结合的思想。(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但0这一制约条件不同意。 （a,b,c为方程的系数）例11.已知直线过椭圆的一个焦点
12、，斜率为2，与椭圆相交于M、N两点，求弦的长。题型2“点差法”解题。“设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤：1.设A(x1,y1) B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设为AB的中点。两式相减，3.得出注：一般的，对椭圆上弦及中点，有例12.已知椭圆， 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程考点五.轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动点Q(x0,y0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x
13、,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4.参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用(t为参数)来反映x，y之间的关系。常用的参数有斜率k与角等。例13：的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程：基础训练A组1椭圆的焦距是（ ）A2BCD2F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（ ）A椭圆B直线C线段D圆3P是椭圆上一点，P到右焦点F2的距离为1，则P到相应左焦点
14、的准线距离为（ ）ABCD4若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（ ）ABCD4若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为，这个椭圆方程为（ ）ABCD以上都不对6离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为 _ .7与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(3，)的椭圆方程为_8.设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于_9.已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=_10已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程11已知A、B
15、为椭圆+=1上两点，F2为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程12.求椭圆的内接矩形面积的最大值13.已知圆，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段，求线段的中点M的轨迹.14.（2009全国卷文）（本小题满分12分）已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（）求a,b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。综合训练B组1下列命题是真命题的是（ ）A到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B到定直线和定
16、点F(c，0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆C到定点F(c，0)和定直线的距离之比为(ac0)的点的轨迹 是左半个椭圆D到定直线和定点F(c，0)的距离之比为(ac0)的点的轨迹是椭圆2若椭圆的两焦点为（2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）ABCD3若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）A（0，+） B（0，2） C（1，+） D（0，1）4设定点F1（0，3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）A椭圆 B线段 C不存在D椭圆或线段5椭圆和具有（ ）A相同的离心率 B相同的焦点C相同的顶点 D相同的长、短轴6已知是椭圆上的点，则
17、的取值范围是_ 7已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于，则椭圆的离心率等于_8.已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则_9.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是_10.（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为_11求中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P（3，2）的椭圆方程.12已知地球运行的轨迹是长半轴长为a，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离. 13ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另
18、两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.14过椭圆引两条切线PA、PB、A、B为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点（1）若，求P点坐标；（2）求直线AB的方程（用表示）；（3）求MON面积的最小值（O为原点） 15椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围提高训练C组1若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）ABCD 2已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是（ ） ABCD3椭圆上的点到直线的最大距离是（ ） A3BCD4在椭圆内有一点P（1，1），F为椭圆右焦点，在
19、椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A BC3 D45过点M（2，0）的直线m与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（ ）A2B2CD6中心在原点，离心率为，且一条准线方程是y=3的椭圆方程是 .7过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦AB，那么弦AB的长= .8已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 .9. 过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为_ 10.(2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是
20、_11已知椭圆的焦点是,为椭圆上一点，且是和的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且120，求.12已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为，且离心率的等比中项.（1）求椭圆方程，（2）是否存在直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰为直线平分？若存在，求出直线l的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由.13椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.基础训练
21、A组答案：1A 2C 3D 4C 5C 6 7 8.解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得: . 9解：过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得 10解析:由 ，椭圆的方程为：或.11解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦半径公式有aex1+aex2=，x1+x2=，即AB中点横坐标为，又左准线方程为，即a=1，椭圆方程为x2+y2=112 13解：设点M的坐标为，则点P的坐标为.P在圆上，即.点M的轨迹是一个椭圆14解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利
22、用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：（）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 故 ， 由 得 ，=（）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 （）知C的方程为+=6. 设 () C 成立的充要条件是， 且整理得 故 将 于是 , =, 代入解得，此时 于是=， 即 因此， 当时， ； 当时， 。（）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.综合训练B组答案1.D 2.D 3.D 4.A 5.A 6 7 8【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），
23、且或.不妨去，则，.9【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有，因10【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。11 12. 最大距离为a（1+e），最小距离为a（1e）13.解：设顶点A的坐标为.依题意得 ，顶点A的轨迹方程为 .说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（，）与(0，6)应舍去.14(12分)解析：（1） OAPB的正方形 由 P点坐标为（）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）则PA、PB的方程分别为，而PA、PB交于P（x0，y0）即x
24、1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，AB的直线方程为：x0x+y0y=4（3）由、 当且仅当.15（12分）解析：设，由OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 又将，代入化简得 . (2) 又由（1）知，长轴 2a .提高训练C组答案1.D 2.B 3.D 4.C 5.D 6 7 89【解析】因为，再由有从而可得10【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是联立可得由可解得 11解：(1)由题设4， 2c=2， 椭圆的方程为.（）设，则60由正弦定理得：由等比定理得：整理得： 故.12解（1） 对应准线方程为椭圆中心在原点，则椭圆方程为（2）假设存在直线l，且l交椭圆
25、所得的弦MN被直线平分，l的斜率存在，设l:y=kx+m.由.直线l交椭圆于不同两点M、N.自制性手工艺品。自制饰品其实很简单，工艺一点也不复杂。近两年来，由于手机的普及，自制的手机挂坠特别受欢迎。设M“碧芝”最吸引人的是那些小巧的珠子、亮片等，都是平日里不常见的。店长梁小姐介绍，店内的饰珠有威尼斯印第安的玻璃珠、秘鲁的陶珠、奥利的施华洛世奇水晶、法国的仿金片、日本的梦幻珠等，五彩缤纷，流光异彩。按照饰珠的质地可分为玻璃、骨质、角质、陶制、水晶、仿金、木制等种类，其造型更是千姿百态：珠型、圆柱型、动物造型、多边形、图腾形象等，美不胜收。全部都是进口的，从几毛钱一个到几十元一个的珠子，做一个成品
26、饰物大约需要几十元，当然，还要决定于你的心意。“碧芝”提倡自己制作：端个特制的盘子到柜台前，按自己的构思选取喜爱的饰珠和配件，再把它们串成成品。这里的饰珠和配件的价格随质地而各有同，所用的线绳价格从几元到一二十元不等，如果让店员帮忙串制，还要收取的手工费。代入得.存在满足条件的直线l1的倾斜角注：第（1）小题还可利用椭圆的第二定义解决朋友推荐 宣传广告 逛街时发现的 上网13(14分) 解析：（1）由题意，可设椭圆的方程为.由已知得解得，所以椭圆的方程为，离心率.（2） 缺乏经营经验（2）解：由（1）可得A（3，0） .设直线PQ的方程为 .由方程组（三）大学生购买消费DIY手工艺品的特点分析得，依题意，得 .3、你是否购买过DIY手工艺制品？设，则， . ，由直线PQ的方程得 .于是 . ， . ，由得，从而.所以直线PQ的方程为或.而手工艺制品是一种价格适中，不仅能锻炼同学们的动手能力，同时在制作过程中也能体会一下我国传统工艺的文化。无论是送给朋友还是亲人都能让人体会到一份浓厚的情谊。它的价值是不用金钱去估价而是用你一颗真诚而又温暖的心去体会的。更能让学生家长所接受。（2）证明：.由已知得方程组注意，解得，因，故图1-4大学生购买手工艺制品目的 .（1）价格低而，所以.（二）大学生对DIY手工艺品消费态度分析
