空间向量在立体几何中的应用.doc

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1、 空间向量在立体几何中的应用1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。要点诠释：平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为

2、。（注意：线线角的范围00,900）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）3.用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。要点诠释：（1）点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。（2）直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。（3）两平行平面之间的距离：，其中， 是平面的法向量。题组一一、填空题1（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）一个正方体形状的无盖铁桶的容积是，里面装有体积为的水，放

3、在水平的地面上（如图所示）.现以顶点为支撑点，将铁桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点处流出时，棱与地面所成角的余弦值为答案2.（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）平面内有两定点A，B，且|AB|=4，动点P满足，则点P的轨迹是.答案：以AB为直径的圆；二、简答题3（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2。 （I）求证：C1D/平面ABB1A1；（II）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；（）求二面角DA1C1A的余弦值。答案 （I）证明

4、：四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1/CC1，又面ABB1A1，所以CC1/平面ABB1A1，2分ABCD是正方形，所以CD/AB，又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD/平面ABB1A1，3分所以平面CDD1C1/平面ABB1A1，所以C1D/平面ABB1A14分（II）解：ABCD是正方形，ADCD因为A1D平面ABCD，所以A1DAD，A1DCD，如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，5分在中，由已知可得所以，6分因为A1D平面ABCD，所以A1D平面A1B1C1D1A1DB1D1。又B1D1A1C1，所以B1D1平面A1C1D，7分所以平面A1C1D的一个法向量

5、为n=（1，1，0）8分设与n所成的角为，则所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为9分（III）解：平面A1C1A的法向量为则所以令可得11分则所以二面角的余弦值为12分4（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）如图，正三角形边长2，为边上的高，、分别为、中点，现将沿翻折成直二面角，如图(1)判断翻折后直线与面的位置关系，并说明理由(2)求二面角的余弦值(3)求点到面的距离图 图 答案 解：（1）平行（证明略）（2）取AE中点M,角BMD即所求,余弦值为（），可得点到面的距离为5（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷）（本题满分13分）如图，在直三棱柱ABCA1B1

6、C1中，ACBCCC12，ACBC，D为AB的中点.（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求证：；（3）求证：答案5.解：（1）在直三棱柱中是所成的角（或其补角）2分在中，4分（2）连结交于，连结。5分则为的中点又为的中点7分9分（3）在直三棱柱中10分11分 12分同理：13分6（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）（本小题满分12分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2（1）求证：AE/平面DCF；（2）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为【分析】（1）只要过点作的平行线即可；（2）由于点是点在平面内

7、的射影，只要过点作的垂线即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。【解析】方法一：（）证明：过点作交于，连结， 可得四边形为矩形，又为矩形，所以， 从而四边形为平行四边形，故因为平面，平面， 所以平面6分 （）解：过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角 在中，因为， 所以，又因为，所以，从而，于是，因为所以当为时，二面角的大小为12分方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系设， 则， （）证明：， 所以，从而， 所以平面因为平面，所以平面平面 故平面6分 （）解：因为，所

8、以，从而 解得所以，设与平面垂直，则，解得又因为平面，所以， 得到所以当为时，二面角的大小为12分【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何。【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用。7（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（本题满分14分）如图，在四棱锥中

9、，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点（）当为侧棱的中点时，求证：平面；（）求证：平面平面；（）（理科做）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由答案7.（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点（）当为侧棱的中点时，求证：平面；（）求证：平面平面；（）（理科做）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由解法一：证明：（）连接，由条件可得因为平面，平面，所以平面（）由已知可得，,是中点，所以又因为四边形是正方形，所以因为，所以又因为，所以平面平面（）解：连接，由（）知而,所以又所以是二面

10、角的平面角，即设四棱锥的底面边长为2，在中，,所以又因为,所以是等腰直角三角形由可知，点是的中点解法二：（）同解法一（）证明：由（）知，建立如图所示的空间直角坐标系设四棱锥的底面边长为2，则，所以，设（），由已知可求得所以，设平面法向量为，则即令，得易知是平面的法向量因为，所以，所以平面平面（）解：设（），由（）可知，平面法向量为因为，所以是平面的一个法向量由已知二面角的大小为所以，所以，解得所以点是的中点8（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）（本小题满分13分） 已知：如图，长方体中，、分别是棱,上的点，,.（1） 求异面直线与所成角的余弦值； （2） 证明平面； （3） 求二面

11、角的正弦值.答案解：法一：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设,依题意得,（1）易得, 于是 所以异面直线与所成角的余弦值为（2）已知, 于是=0，=0. 因此，,又 所以平面（3）设平面的法向量，则,即 不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是，从而, 所以二面角的正弦值为法二：（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1DB1C， 由,可知EFBC1. 故是异面直线EF与A1D所成的角， 易知BM=CM=, 所以, 所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）连接AC，设AC与DE交

12、点N因为，所以，从而，又由于,所以，故ACDE,又因为CC1DE且，所以DE平面ACF，从而AFDE. 连接BF，同理可证B1C平面ABF,从而AFB1C, 所以AFA1D因为，所以AF平面A1ED.（3）连接A1N.FN,由（2）可知DE平面ACF, 又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故为二面角A1-ED-F的平面角.易知，所以， 又所以， 在, 连接A1C1,A1F在。所以 所以二面角A1-DE-F正弦值为.9（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考理）（本题满分14分）如图，在长方体中，且（I）求证：对任意，总有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）

13、是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在,求出的值,若不存在，说明理由答案解：（I）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，从而，即（分）（II）由（）及得，设平面的法向量为，则，从而可取平面的法向量为，又取平面的法向量为，且设二面角为，所以（分）（III） 假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，即，即，解得所以存在满足题意得实数，使得在平面上的射影平分（14分）空间向量在立体几何中的应用题组二一、选择题1（浙江省菱湖中学2011届高三上学期期中考试理）三棱锥SABC中，SA底面ABC，SA=4，AB=3，D为AB的中点ABC=90，则点

14、D到面SBC的距离等于（）A B C D答案C.2（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）向量与共线（其中等于（）A B C2 D2答案A.二、填空题3（浙江省桐乡一中2011届高三文）如图，边长为a的正ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知AED是AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题：动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；三棱锥AFED的体积有最大值；恒有平面AGF平面BCED；异面直线与BD不可能互相垂直；异面直线FE与所成角的取值范围是.其中正确命题的序号是（将正确命题的序号都填上）答案三，解答题4.（河北省唐山一中2011届高三文）（本题满分12分）已知四棱

15、锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD.异面直线PB与CD所成的角为45.求：二面角BPCD的大小；直线PB与平面PCD所成的角的大小.答案4.解：ABCD，PBA就是PB与CD所成的角，即PBA=45,1分于是PA=AB.作BEPC于E，连接ED，在ECB和ECD中，BC=CD，CE=CE，ECB=ECD，ECBECD，CED=CEB=90,BED就是二面角BPCD的平面角.4分设AB=a，则BD=PB=，PC=，BE=DE=,cosBED=,BED=120二面角BPCD的大小为120；6分还原棱锥为正方体ABCDPB1C1D1，作BFCB1于F,平面PB1C1D1平面B1BCC1，B

16、F平面PB1CD,8分连接PF,则BPF就是直线PB与平面PCD所成的角. 10分BF=,PB=,sinBPF=,BPF=30.所以就是直线PB与平面PCD所成的角为30. 12分注：也可不还原成正方体,利用体积求出点B到平面PCD的距离，或用向量法解答.5.（广东省河源市龙川一中2011届高三文)（14分）如图，一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC。（1）证明：平面ACD平面；（2）若，试求该几何体的体积V答案 5.解：（）证明：DC平面ABC ,平面ABC -2分AB是圆O的直径且平面ADC-4分四边形DCBE为平行四边形DE

17、/BC平面ADC -6分又平面ADE 平面ACD平面-7分（2）解法：所求简单组合体的体积：-9分，,-11分-12分-13分该简单几何体的体积-14分解法5：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱-8分如图，,-10分=-12分 =-14分6.（广西桂林十八中2011届高三第四次月考试卷文）（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，,点E是棱PB的中点.（1）证明：;（2）若AD=1，求二面角的大小.答案7（广东省河源市龙川一中2011届高三第一次月考理）（本小题满分14）如图， 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点（）求证：ACBC1；（）求

18、二面角的平面角的正切值答案7.（）证明：直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，ACBC， 2分又AC，且AC平面BCC1，又平面BCC14分ACBC15分（）解法一：取中点，过作于，连接 6分是中点，又平面平面，又平面，平面又且平面，平面 8分又是二面角的平面角 10分AC3，BC4，AA14，在中， 13分二面角的正切值为 14分解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系6分AC3，BC4，AA14，平面的法向量， 8分设平面的法向量，则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小 9分则由令，则，12分，则13分二面角是锐二面角二面角的正切值为 14考点梳理知识点二：空间向量在立体几何中的应用