这样为防止之间有混迭的截止频率在-Read课件.ppt

《这样为防止之间有混迭的截止频率在-Read课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《这样为防止之间有混迭的截止频率在-Read课件.ppt（64页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第8章 M通道滤波器组,8.1 M通道滤波器组的基本关系8.2 M通道滤波器的多相结构8.3 混迭抵消和PR条件的多相表示 8.4 M通道滤波器组的设计8.5 余弦调制滤波器组,8.1 M通道滤波器组的基本关系,标准的M通道滤波器组:图8.1.1 M通道滤波器组,由第五章第七章的讨论，我们得到图中各处信号之间的如下相互关系：8.1.1及 8.1.3,滤波器组的最后输出令则这样，最后的输出 是 的加权和。,由于 8.1.7 在 时是 的移位，因此，是 及其移位的加权和。由上一章的讨论可知，在 时，是混迭分量，应想办法去除。显然，若保证(8.1.8)则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真.

2、再定义 8.1.9 显然，是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。（8.1.9）式的和（7.2.4）式的 一样，都称为“失真函数”。,由（8.1.5）式，能否为零取决于 的性质。将该式写成矩阵形式，有（8.1.10）令（8.1.11）并令（8.1.10）式右边的矩阵为，则在去除混迭失真的情况下，有（8.1.12）,由（8.1.12）式，我们有（8.1.13）为保证去除混迭失真,可选 这样，若 已知，即可求出综合滤波器组。（8.1.13）式在实际应用中有一系列的问题，这是因为：(8.1.14)式中 是 的伴随矩阵。,a.若 是FIR的，显然det 也是FIR的，这时 将变成IIR的；b.若选择，这

3、时 可保证是FIR的，但由于，因此 的阶次将远大于;c.若 有零点在单位圆上，的幅度将会产生较大的失真。,8.2 M通道滤波器的多相结构,仿照（7.6.9）和（7.6.10）式，在多通道情况下的分析滤波器组可表为：(8.2.1)写成矩阵形(8.2.2)记,并记（8.2.2）式右边的矩阵为，则(8.2.4)称为多相矩阵，而 是由上一节的AC矩阵的 第一列构成的。同理，对综合滤波器组 按第二类多相结构展开，有(8.2.5)写成矩阵形式：,记该式右边的多相矩阵为，则（8.2.6）式可写为如下更简洁的形式(8.2.7),式中已在（8.1.11）式中定义，。利用（8.2.2）和（8.2.6）式，图8.1

4、.1的M通道滤波器组可改为图8.2.1(a)的形式。再利用恒等变换，又可改成图（b）和（c）的形式。在图（c）中 该图的得到过程与图7.6.1和图7.6.2的导出过程相类似。因此，对整个滤波器组的分析可集中到矩阵 和 的分析，或简单的 的分析。若 为单位阵，我们可以想象，那么该滤波器组一定可以实现准确重建。,我们讨论一下，AC矩阵和多相矩阵的关系。由（8.2.3）式对 的定义及（8.1.10）式对 的定义，我们有(8.2.8)由（8.2.2）式，又可表为,记(8.2.9)(8.2.10)则(8.2.11a)或(8.2.11b)（8.2.11）式即是混迭分量矩阵 和多相矩阵 的关系。,8.3 混

5、迭抵消和PR条件的多相表示,定理8.1 一个M通道最大抽取滤波器组混迭抵消的充要条件是多相矩阵 为伪循环矩阵。所谓的伪循环矩阵，它是由一个循环矩阵 将其主对角线以下的元素都乘以 所得到的矩阵，即,该伪循环矩阵所对应的时域关系是：现证明定理8.1。由图8.2.1（c），有,(8.3.1)(8.3.2)于是最后的输出 该式是M通道滤波器组中输入、输出关系的多相表示。交换求和顺序，有,(8.3.4)因为 为混迭分量，为使混迭抵消，我们应设法令其等于零。也就是说，使混迭抵消的充要条件是使 时的(8.3.5)记(8.3.6),则（8.3.5）式可表为：(8.3.7)式中c为不等于零的常数。为便于观察矩阵

6、中元素的规律，现对（8.3.6）式作进一步的展开。假定M=4，有(8.3.8a)(8.3.8b)(8.3.8c)(8.3.8d),注意式中省去了 的。同时，（8.3.7）式可表为 由于，所以上式又变为：(8.3.9)常数c包含了常数c和M。由于W是DFT矩阵，其第一行和第一列全为。因此，（8.3.9）式意味着,(8.3.10)由（8.3.8）和（8.3.10）式可知，矩阵中各元素应有如下规律（以M=4为例）1.同为 的系数应该相等，即 2.同为 的系数应该相等，即 3.同为 的系数应相等，即 4.由于，因此，在（8.3.8）的前两个式子中，必应有,5.同理，由（8.3.8b）和（8.3.8c）

7、式，应有由（8.3.8c）和（8.3.8d）式，应有因此矩阵P的各元素之间应有,注意式中由 改成 是因为矩阵 实际上是。由此我们可以看出，确实是一伪循环矩阵。,定理8.2一个通道最大抽取滤波器组实现准确重建的充要条件是(8.3.11)式中 为整数，c为不等于零的常数。证明：PR条件意味着混迭抵消条件成立。由（8.3.4）式，在k=0时，有(8.3.12)由（8.3.6）式的定义，则,由（8.3.10）式，并定义(8.3.13)则(8.3.14)我们希望，则。由（8.3.8a）式，由于因此，要求，则等效要求 中只能包含一项。不失一般性，设 中下标为 的元素不为零，该项是。由于 又是伪循环矩阵，也

8、即从第一行开始，以下各行元素都是第行元素循环移位的结果，因此，必然具有如下形式：,即(8.3.15)于是定理得证。,8.4 M通道滤波器组的设计,定理8.1和定理8.2指出，对M通道最大抽取滤波器组，若去除混迭失真，则 应为伪循环矩阵。若再做到准确重建，则 的每一行（或列）只能有一个元素不为零，整个 的如（8.3.11）式所示。这样，实现PR的M通道滤波器组的 结构已确定，其余的任务即是寻求 来满足。直接求出 是比较困难的。由于，因此，由给定形式后 的来寻求 相对比较容易。又由于一旦求出 后为求 需要求逆运算，而求逆往往会带来数值上的不稳定或是使 为IIR的。因此，为避免求逆运算，我们往往假定

9、 是仿酉的。,这样(8.4.1)是一个极简单的计算。同时(8.4.2)保证了系统的PR性质。反之，若系统满足PR，由（8.4.2）和（8.4.1）式，必定是仿酉的。现在的问题是如何设计出 使之满足（8.4.2）式，一旦求出，由(8.4.3a)(8.4.3b)即可求出 和。,给定一个范数等于1的向量，其维数为，那么 是 的矩阵，定义(8.4.4)则 是仿酉矩阵，即(8.4.5)每一个，都是一个一阶的仿酉系统，该系统可由图8.4.1来实现。,图8.4.1 一阶仿酉系统 的实现 可以证明，一个J阶的仿酉矩阵 可由一阶的简单仿酉矩阵 的级联来构成，即(8.4.6)式中为常数酉矩阵，即，那么，可由图8.

10、4.2来实现。,图8.4.2 的实现 文献15进一步证明了常数酉矩阵可进一步作如下分解：(8.4.7)式中D是对角阵，其元素，而矩阵可表为(8.4.8),将 按（8.4.5）式分解，由（8.4.4）式的 表示，而将 可按（8.4.6）式分解后，又由（8.4.7）式的 表示。因此，决定的 主要是向量 和，现在的工作是选定一目标函数，然后对 和 求最优，从而得到所需要的“好的”分析滤波器。目标函数可选 这M个滤波器阻带能量的和，即(8.4.9)令 将对 和 最小可得到，再由 即可得到综合滤波器组。,(a)(b)图8.4.3(a)矩阵的实现(b)矩阵 的实现 文献15利用此方程设计了一个三通道的滤波

11、器组，其幅频响应如图8.4.4所示，的数值如表8.4.1所示。,表8.4.1三通道滤波器组各滤波器的系数 0-0.0429753-0.0927704 0.0429888 1 0.0000139 0.0000008-0.0000139 2 0.1489104 0.0087654-0.1489217 3 0.2971954 0.0000226 0.2972354 4 0.3537539 0.1864025-0.3537496 5 0.2672266-0.0000020 0.2672007 6 0.0870758-0.3543303-0.0870508 7-0.0521155-0.0000363-0

12、.052090 8-0.0875973 0.3564594 0.0875786 9-0.0427096-0.0000049-0.042706710 0.0474530-0.1931082-0.047445211 0.0429618 0.0000230 0.042967712 0.0 0.0 0.013-0.0232765-0.0000026-0.023274914 0.0000022 0.0 0.0000022,图8.4.4 三通道滤波器组的幅频响应,8.5 余弦调制滤波器组,8.5.1余弦调制滤波器组的基本概念及伪QMFB 我们在6.2节介绍了DFT滤波器组。其思路是给定一个原型滤波器组，令

13、(8.5.1a)则(8.5.1b),即M个分析滤波器组是由 作调制所得到的，调制因子是，相应的频谱是 做均匀移位所得到的。移位距离是。这样，为防止 之间有混迭，的截止频率在，带宽为。如图6.1.2所示。DFT滤波器是一种复数调制滤波器组，即使 是实的，也是复的，这样，对实信号，经分析滤波器组的分析后，M个子带信号也都变成复信号。这是DFT滤波器组的缺点。,为了克服DFT滤波器组的这一缺点，人们又提出了“余弦调制”滤波器组的概念。假定我们给定两个原型滤波器 和，令(8.5.2a)(8.5.2b)则可得到M个分析滤波器和M个综合滤波器，但它们都是实系数的滤波器。式中(8.5.3),D是整个滤波器组

14、输出相对输入的延迟.由于,是原型的,乘以余弦函数所得到的，因此称它们为“余弦调制”滤波器组。现就（8.5.2）及（8.5.3）式的给出做一些说明。对给定的原型低通滤波器，我们首先由它得到一个2M大的DFT分析滤波器组，即令(8.5.4a)(8.5.4b),式中。我们假定 是实的，所以 是偶对称的，并假定 是低通的，其截止频率在 处，带宽为，如图8.5.1a所示。由于(8.5.4c)所以 如图8.5.1b所示。由该图可以看出，和 是相对 为对称的。这样，如果我们把 和 相结合形成一个滤波器，那么该滤波器将具有实系数，且带宽度为。现在讨论如何实现这两个滤波器的结合。,图8.5.1 余弦调制滤波器组

15、的频率响应(a)原型低通(b)2M个分析滤波器组 令(8.5.5a)(8.5.5b),式子中 为模为1的范数。令(8.5.6)式中 也是模为1的范数。由于(8.5.7)是阶次为N-1的FIR实系数低通滤波器，所以，由（8.5.6）式得到的(8.5.8),也是N-1阶的FIR滤波器，由于 的共轭特性，因此 也是实系数。显然，是低通的，是高通的，其余则是带通的。由前述各类滤波器的讨论可知，综合滤波器组一般应和分析滤波器组具有相同的幅频响应。因此，我们可选(8.5.9)这样，由（8.5.5）（8.5.9）式保留了三个常数待确定，即。如同所有的滤波器组一样，需要研究如何实现混迭抵消及去除幅度失真和相位

16、失真的问题。,由（8.1.9）式，在M通道滤波器组中失真函数 总有如下的形式：(8.5.10)若选择(8.5.11a)或等效地选择(8.5.11b)则(8.5.12a)或(8.5.12b),这样，如果 具有线性相位，从而去掉了相位失真。若 再是功率互补的，则可去掉幅度失真。文献15证明了如下关系：1.为去除混迭失真，应选择；2.选择，可保证，和 有着同样的相频响应；3.选择，可使，从而使 具有线性相位，从而去除相位失真；4.选择 及，保证了第1条的 条件，即去除混迭失真。对 的此种制约，可选,(8.5.13)这时，可简化为(8.5.14)5.总之，按（8.5.13）式选择 及使 如（8.5.1

17、1b）式，我们可近似消除混迭失真，并完全去除相位失真。在上述条件下，和 最后简化为（8.5.2）式，且在该式中 即分析和综合滤波器组来自于同一个原型低通滤波器。式中D=N-1,6.余下的问题是幅度失真。幅度失真的原因来自（8.5.12b）式的 不是全通的。由于余弦调制滤波器组的 和 均来自原型滤波器，因此，的形态便直接和 有关，也即余弦调制滤波器组的设计归结到 的设计。前已述及，的截止频率为，带宽为。我们自然希望 在通带内尽量地平，在阻带内具有最大的衰减。因此，定义(8.5.15a)(8.5.15.b),并令(8.1.15c)是通带和阻带性能之间的一个调节参数，,通过使 最小可得到最优的。由此

18、形成的 和 即为伪QMFB。,8.5.2 余弦调制滤波器组准确重建的条件我们以多相结构和仿酉矩阵来讨论余弦调制滤波器组实现PR的条件。对（8.5.2）式给出的余弦调制的基本形式，我们假定 和 可以不等长，如 的长度为，的长度为，并假定整个滤波器组的延迟D也是可变的，其变化范围是(8.5.16a)为讨论的方便，假定D取某一固定值，即(8.5.16b),近年来的研究表明，余弦调制滤波器组既可通过DCT-来实现，也可通过DCT-及DCT-来实现。有关四类DCT的定义见文献19。当用DCT-来实现时，D为奇数，当用DCT-来实现时，D为偶数。我们的任务是寻求分析滤波器组 的原型 及综合滤波器组的原型，

19、使得整个FB具有PR性质。为此，我们首先将 和 表成2M个多相分量的和，即：(8.5.17a)(8.5.18a),式中(8.5.17b)(8.5.18b)分别是 所对应的时域序列的长度。定义(8.5.19a)(8.5.19b),(8.5.20)再令(8.5.21)则分析滤波器组 的多相结构可表为：(8.5.22)同理，对综合滤波器组，我们可定义：,(8.5.23a)(8.5.23b)(8.5.24)(8.5.25)则综合滤波器组 的多相结构可表为：(8.5.26),在上面的讨论中，都是 的多相矩阵，这样，整个滤波器组的多相传递矩阵(8.5.27)文献66证明了具有如下形式：(8.5.28)式中

20、 为 的反单位阵。,将（8.5.28）代入（8.5.27）式，有(8.5.29)由定理8.2，一个通道FB实现PR的充要条件是(8.5.30)不失一般性，可假定c=1。对比（8.5.30）和（8.5.29）式，我们可得到在d取不同值时实现PR的 的表达式：,(8.5.31a)及(8.5.31b),现对上式中的一些参数作一简单的解释：在（8.5.30）式中，,且整个FB的延迟等于。由于我们在（8.5.16b）式中假定，因此，若，则；若，则。这即是（8.5.31）式中d在两种情况下取值时单位阵I的下标及 的幂的取值的原因。,由于，分别由原型 的多相分量所组成，因此，由（8.5.31）式可找到，为实

21、现PR所应遵循的关系。文献68经过冗长的推导给出了在 和d取不同值时的PR条件的表达式。文献10把它写为一简洁的形式，即：满足（8.5.32b）式的 和 有如下关系：,(8.5.33a)(8.5.33b)若选择，即，那么（8.5.32a）式变成(8.5.30)显然：这M/2个方程犹如M/2个两通道滤波器组的PR条件。,由（8.5.19）-（8.5.22）式，我们可得到分析滤波器组实现的信号流图，如图8.5.2所示 图8.5.2 余弦调制分析滤波器组的实现,总之，余弦调制滤波器的M个分析滤波器 均来自一个低通原型滤波器。因此将使设计简单化，即最优化时仅对 进行，从而使需要最优的参数大大减少。由 得到余弦调制 的可通过DCT的快速算法来实现，使整个计算的复杂性大大降低。有关M通道调制型滤波器组的理论与实现是一个很有吸引力的研究课题，至今这方面的论文仍是很多。,