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1、食饵捕食者数学模型 摘要：在自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵捕食者系统。为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。本文根据它们之间的特殊关系与这种潜在的规律，建立了具有自滞作用的食饵捕食者模型。我们利用matlab软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察猜测解析构造，然后研究平衡点及相轨线的形状，验证猜测的正确性关键词：自滞作用 数值解matlab 平衡点 相轨线分析 稳定性一、 问题重述自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠
2、捕食甲为生，形成食饵捕食者系统。为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。 二，问题背景 一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降（食用鱼和鲨鱼同时捕捞），但是其中鲨鱼的比例却增加，这是为什么？Volterra建立的模型回答了这个问题 三，问题分析首先，在复杂的自然界中，存在着许多影响种群发展的因素。假如给食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）一个理想的环境，它们是呈J形增长的。现实情况中，由于受到环境的限制，种群增长一般符合阻滞增长的模型。我们利用软件matlab求出微分方程的数值
3、解，并通过对数值和图形观察做出猜测，然后分析相轨线，验证猜测的的正确性。最后对数学模型进行修改和确定。 四、基本假设1，假设它们是处于封闭的自然条件下，人类活动对其生存不产生影响2，假设食饵和捕食者在封闭的环境中可以正常生长，没有疾病等促使他们死亡3，假设食饵和捕食者在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施一直维持这以结构4，假设捕食者离开食饵无法生存5，食饵和捕食者不会因为捕食关系导致物种灭绝 五，符号说明X（t）：食饵（食用鱼）在时刻t的数量Y（t）：捕食者（鲨鱼）在时刻t的数量r1：食饵在独立生存时以指数规律增长，（相对增长率）r2：捕食者独立生存时以指数规律增长，（相对
4、增长率）N1：食饵的最大容量N2：捕食者的最大容量1：单位数量乙（相对于N2）提供的供养甲的食物量为单位甲（相对于N1）消耗的供养甲食物量1倍2：单位数量甲（相对于N1）提供的供养甲的食物量为单位乙（相对于N2）消耗的供养甲食物量2倍d：捕食者离开时独立存在的死亡率 六，模型建立食饵（甲）数量x（t），捕食者（乙）数量y（t） 甲独立生存的增长率r =rx乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比（t）=（r-ay）x=rx-axy （1）a捕食者掠取食饵的能力乙独立生存的死亡率d =-dy甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比（t）= -（d-bx）y=-dy+bxy （2）b食饵供养捕食者的能力方
5、程（1），（2）无解析6.1模型建立我们考虑自身的阻滞增长作用，建立以下模型1（t）=r1x1（1-1） (3)2(t)=r2x2(-1+2-) (4)6.2 模型求解利用数学软件matlab分别求解（3），（4）两个微分方程的数值解。记食饵和捕食者的初始数量为X（0）=x0 y（0）=y0求数值解（t），（t）及相轨线y（x），设r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02，x0=25，y0=2，用matlab软件编制程序如下：r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2);function xdot=shier(t,
6、x)ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,s,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot(x(:,1),x(:2),grid,可得数值解（t），（t）及相轨线y（x）数值解（t），（t）的图形相轨线y（x）的图形根据图形和数值结果可以猜测，x（t），y（t）是周期函数，相应的y（x）是封闭曲线，从数值解近似的定出周期为10.7，x的最大最小值分别为99.3和2.0，y的最大值最小值分别为28.4和2.0.并且用数值积分容易算出x（t），y（t）在一个周期的平均值为=25，=10。七、模型分析
7、、评价及改进7.1 平衡点及稳定性分析首先求得（3），（4）方程的两个平衡点为P（d|b，r|a），p（0，0） （5） 对于p，q0，p不稳定；对于p，p=0，q0，处于临界状态，不能用判断线性方程平衡点稳定性的准则研究非线性方程，所以用相轨线分析解决7.2 用相轨线分析的稳定性消去dt得取指数，c由初始条件确定 为了从理论上验证y（x）是封闭曲线，记 f（x） g（y）可以用软件画出它们的图形，将它们的极值点记为，极大值记为，则时，无相轨线，以下设相轨线f（x）g（y）=cx=,y=相轨线退化为p点，p中心C，设 令存在使f（x1）=f（x2）Q1(X1,y0),Q2(X2,y0)考察存在
8、Q3（x，y1）Q4（x，y2），x是内任意点，所以相轨线是封闭曲线。7.3，x（t）y（t）在一周期内的平均值相轨线是封闭曲线，所以x（t）y（t）是周期函数，周期为T，求x（t），y（t）在乙周期内的平均值，。（t）= -（d-bx）y=-dy+bxyx（t）=（+d）=（t）= -（d-bx）y=-dy+bxy =轨线中心:所以= =即x（t）y（t）的平均值正式相轨线中心p点的坐标。7.4、模型的缺点与改进1、多数食饵捕食者系统观察不到周期震荡，而是趋向某个平衡状态即存在稳定平衡点Volterra模型 改写：加logistic项有稳定平衡点 2、 相轨线是封闭曲线，结构不稳定，一旦离开
9、某一条闭轨线线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。3、自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。相轨线趋向极限环，所以结构稳定 八、参考文献【1】、姜启源、谢金星、叶俊编数学模型第三版【2】【3】附：r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2);function xdot=shier(t,x)ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,s,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot
10、(x(:,1),x(:2),grid,function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2); ts=0:0.1:15ts = Columns 1 through 7 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 Columns 8 through 14 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 Columns 15 through 21 1.4000 1.5000 1.6000 1.
11、7000 1.8000 1.9000 2.0000 Columns 22 through 28 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 2.5000 2.6000 2.7000 Columns 29 through 35 2.8000 2.9000 3.0000 3.1000 3.2000 3.3000 3.4000 Columns 36 through 42 3.5000 3.6000 3.7000 3.8000 3.9000 4.0000 4.1000 Columns 43 through 49 4.2000 4.3000 4.4000 4.5000 4.6000 4.70
12、00 4.8000 Columns 50 through 56 4.9000 5.0000 5.1000 5.2000 5.3000 5.4000 5.5000 Columns 57 through 63 5.6000 5.7000 5.8000 5.9000 6.0000 6.1000 6.2000 Columns 64 through 70 6.3000 6.4000 6.5000 6.6000 6.7000 6.8000 6.9000 Columns 71 through 77 7.0000 7.1000 7.2000 7.3000 7.4000 7.5000 7.6000 Column
13、s 78 through 84 7.7000 7.8000 7.9000 8.0000 8.1000 8.2000 8.3000 Columns 85 through 91 8.4000 8.5000 8.6000 8.7000 8.8000 8.9000 9.0000 Columns 92 through 98 9.1000 9.2000 9.3000 9.4000 9.5000 9.6000 9.7000 Columns 99 through 105 9.8000 9.9000 10.0000 10.1000 10.2000 10.3000 10.4000 Columns 106 thro
14、ugh 112 10.5000 10.6000 10.7000 10.8000 10.9000 11.0000 11.1000 Columns 113 through 119 11.2000 11.3000 11.4000 11.5000 11.6000 11.7000 11.8000 Columns 120 through 126 11.9000 12.0000 12.1000 12.2000 12.3000 12.4000 12.5000 Columns 127 through 133 12.6000 12.7000 12.8000 12.9000 13.0000 13.1000 13.2
15、000 Columns 134 through 140 13.3000 13.4000 13.5000 13.6000 13.7000 13.8000 13.9000 Columns 141 through 147 14.0000 14.1000 14.2000 14.3000 14.4000 14.5000 14.6000 Columns 148 through 151 14.7000 14.8000 14.9000 15.0000 x0=25,2; t,x=ode45(shier,ts,x0);t,x,ans = 0 25.0000 2.0000 0.1000 27.0818 2.0041
16、 0.2000 29.3344 2.0170 0.3000 31.7689 2.0394 0.4000 34.3961 2.0726 0.5000 37.2258 2.1178 0.6000 40.2673 2.1767 0.7000 43.5012 2.2534 0.8000 46.9360 2.3503 0.9000 50.6072 2.4683 1.0000 54.5301 2.6106 1.1000 58.6999 2.7819 1.2000 63.0917 2.9891 1.3000 67.6604 3.2411 1.4000 72.3409 3.5484 1.5000 77.047
17、9 3.9238 1.6000 81.6759 4.3819 1.7000 86.0996 4.9391 1.8000 90.1732 5.6140 1.9000 93.7311 6.4268 2.0000 96.5873 7.4000 2.1000 98.5360 8.5577 2.2000 99.3055 9.9234 2.3000 98.6143 11.5085 2.4000 96.2851 13.3067 2.5000 92.2472 15.2882 2.6000 86.5853 17.3947 2.7000 79.5349 19.5427 2.8000 71.5364 21.6225
18、 2.9000 63.0848 23.5300 3.0000 54.6236 25.1819 3.1000 46.5441 26.5163 3.2000 39.1860 27.4921 3.3000 32.7932 28.0978 3.4000 27.3368 28.3766 3.5000 22.7375 28.3764 3.6000 18.9134 28.1426 3.7000 15.7771 27.7178 3.8000 13.2354 27.1426 3.9000 11.1873 26.4556 4.0000 9.5278 25.6911 4.1000 8.1758 24.8740 4.
19、2000 7.0684 24.0245 4.3000 6.1592 23.1580 4.4000 5.4185 22.2853 4.5000 4.8129 21.4162 4.6000 4.3124 20.5582 4.7000 3.8967 19.7164 4.8000 3.5500 18.8948 4.9000 3.2601 18.0961 5.0000 3.0181 17.3219 5.1000 2.8154 16.5735 5.2000 2.6460 15.8515 5.3000 2.5047 15.1562 5.4000 2.3872 14.4875 5.5000 2.2898 13
20、.8454 5.6000 2.2099 13.2295 5.7000 2.1455 12.6393 5.8000 2.0953 12.0740 5.9000 2.0578 11.5330 6.0000 2.0317 11.0154 6.1000 2.0162 10.5207 6.2000 2.0106 10.0479 6.3000 2.0143 9.5964 6.4000 2.0270 9.1653 6.5000 2.0483 8.7539 6.6000 2.0781 8.3614 6.7000 2.1164 7.9870 6.8000 2.1632 7.6300 6.9000 2.2188
21、7.2897 7.0000 2.2833 6.9654 7.1000 2.3573 6.6565 7.2000 2.4410 6.3622 7.3000 2.5351 6.0821 7.4000 2.6401 5.8155 7.5000 2.7566 5.5618 7.6000 2.8855 5.3204 7.7000 3.0276 5.0910 7.8000 3.1837 4.8729 7.9000 3.3549 4.6656 8.0000 3.5424 4.4688 8.1000 3.7478 4.2819 8.2000 3.9723 4.1046 8.3000 4.2174 3.9365
22、 8.4000 4.4847 3.7773 8.5000 4.7761 3.6265 8.6000 5.0937 3.4838 8.7000 5.4398 3.3490 8.8000 5.8171 3.2217 8.9000 6.2283 3.1017 9.0000 6.6766 2.9888 9.1000 7.1653 2.8826 9.2000 7.6978 2.7831 9.3000 8.2781 2.6900 9.4000 8.9100 2.6032 9.5000 9.5980 2.5225 9.6000 10.3468 2.4479 9.7000 11.1620 2.3794 9.8
23、000 12.0494 2.3166 9.9000 13.0153 2.2596 10.0000 14.0665 2.2084 10.1000 15.2102 2.1629 10.2000 16.4541 2.1233 10.3000 17.8063 2.0898 10.4000 19.2755 2.0627 10.5000 20.8708 2.0422 10.6000 22.6016 2.0287 10.7000 24.4779 2.0228 10.8000 26.5102 2.0249 10.9000 28.7093 2.0355 11.0000 31.0844 2.0558 11.100
24、0 33.6416 2.0875 11.2000 36.3982 2.1308 11.3000 39.3680 2.1869 11.4000 42.5598 2.2573 11.5000 45.9776 2.3447 11.6000 49.6205 2.4525 11.7000 53.4829 2.5849 11.8000 57.5539 2.7468 11.9000 61.8180 2.9441 12.0000 66.2549 3.1834 12.1000 70.8428 3.4692 12.2000 75.5222 3.8129 12.3000 80.1900 4.2348 12.4000
25、 84.7213 4.7545 12.5000 88.9686 5.3918 12.6000 92.7622 6.1658 12.7000 95.9102 7.0955 12.8000 98.1986 8.1995 12.9000 99.3910 9.4962 13.0000 99.2287 11.0036 13.1000 97.4360 12.7384 13.2000 93.8972 14.6791 13.3000 88.6885 16.7638 13.4000 82.0129 18.9151 13.5000 74.2204 21.0377 13.6000 65.7971 23.0201 1
26、3.7000 57.2540 24.7617 13.8000 49.0238 26.1948 13.9000 41.4342 27.2791 14.0000 34.7062 28.0016 14.1000 28.9351 28.3802 14.2000 24.0660 28.4610 14.3000 20.0105 28.2919 14.4000 16.6759 27.9181 14.5000 13.9650 27.3821 14.6000 11.7742 26.7239 14.7000 9.9982 25.9788 14.8000 8.5540 25.1736 14.9000 7.3762 24.3300 15.0000 6.4158 23.4645 plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t), pause, plot(x(:,1),x(:,2),grid, 数学系 09(3) 20091022155 李蕊玲
